Quelle est la limite presque partout de la suitefn

UNIVERSIT ´E BLAISE PASCAL - MASTER RECHERCHE DE MATH ´EMATIQUES M1 - 2015-2016

Analyse Fonctionnelle - Examen terminal du jeudi 7 janvier 2016 Les documents de cours et de TD ne sont pas autoris´es.

La pr´esentation de la copie compte pour un point dans la note.

Exercice 1[5 points]

1.) Rappeler l’in´egalit´e de Holder puis la d´emontrer.

2.) Soit Ω un ensemble de mesure de Lebesgue finie. Soient 1≤p ≤q ≤ ∞. Prouver que L^q(Ω) ⊂ L^p(Ω) avec injection continue : pr´ecis´ement, montrer qu’il existe une constante C >0 que l’on explicitera telle que

kfk_Lp(Ω) ≤Ckfk_Lq(Ω), ∀f ∈L^q(Ω).

3.) Donner un contre-exemple `a l’inclusion de la question 2.) si Ω n’est pas de mesure finie.

Exercice 2[5points]

1.) On consid`ere la suite (f_n) d´efinie sur Ω = (0,1) parf_n(x) =n e^−nxcos(x).

• Quelle est la limite presque partout de la suitefn ?

• fn est-elle born´ee dansL¹(Ω) ?

• f_n converge-t-elle fortement vers 0 dansL¹(Ω)?

• f_n converge-t-elle faiblement vers 0 pour la topologie faible σ(L¹, L^∞).

2.) Soit 1< p <∞ et la suite (gn) d´efinie sur Ω par gn(x) =n^1/pe^−nxcos(x).

• Quelle est la limite presque partout de la suitegn ?

• g_n est-elle born´ee dansL^p(Ω) ?

• g_n converge-t-elle fortement vers 0 dansL^p(Ω) ?

• gn converge-t-elle faiblement vers 0 pour la topologie faibleσ(L^p, L^p0) ?

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Exercice 3 (Fonctions de Rademacher) [5 points]

Soit 1< p≤ ∞et soitf ∈L^p(R). On suppose que f estT-p´eriodique. Soit

f = 1 T

Z T 0

f(t)dt

On consid`ere la suite (u_n)∈L^p(0,1) d´efinie par : u_n(x) =f(nx), x∈(0,1)

1) Prouver que un converge faiblement vers f pour la topologie σ(L^p, L^p0). Pour cela, on pourra montrer que

Z b a

u_n(t)→(b−a)f

quand n→ ∞, pour tout a, b∈(0,1) puis utiliser que les fonctions en escalier sont denses dans L^p0.

2) D´emontrer que

n→∞lim ku_n−fk_L^p= 1 T

Z T 0

|f−f|^p 1/p

.

3) D´eterminer la limite faibleσ(L^∞, L¹) deu_ndans les cas suivants:

i) un(x) = sin(nx)

ii) u_n(x) =f(nx) o`u f est 1-p´eriodique et

f(x) =

(α, x∈(0,1/2), β, x∈(1/2,1).

Les fonctions de ii) sont appel´ees les fonctions de Rademacher.

Exercice 4 (Th´eor`eme de Lax-Milgram) [5points]

Le th´eor`eme de Lax-Milgram s’´enonce de la fa¸con suivante: soit H un espace de Hilbert et soit a une forme bilin´eaire, continue et coercive sur H ×H → R. Soit l un ´el´ement quelconque de H⁰, le dual deH. Alors, il existe un uniqueu de H tel que

a(u, v) =< l, v >_H⁰_,H, ∀v∈H. (1) D´emontrer ce th´eor`eme. On pourra montrer au pr´ealable que u est solution de (??) si et seulementu est solution de

(Au, v)H = (m, v)H

o`u (,)H designe le produit scalaire surH etA etm des objets `a d´efinir rigoureusement.

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