Dénition: Une fonction f :] a ; b [ ! R est localement Riemann-intégrable si elle est Riemann-intégrable sur tout intervalle compact inclus dans ] a ; b [.
Dénitions et notations: Soit f localement Riemann-intégrable sur ] a ; b [. On dit que f admet une intégrale généralisée sur ] a ; b [ si lim
c!a; d!b
Z d
c f(t) dt existe1 dans R, la limite étant prise sur les couples (c; d) tels que a < c < d < b. La limite est alors notée
Z b
a f(t) dt.
C'est l'intégrale généralisée de f sur ] a ; b [, et on dit que cette intégrale converge. Lorsque la limite n'existe pas, ou si elle est innie, l'intégrale généralisée diverge.
L'erreur la plus courante sur cette notion consiste à confondre la fonction et son intégrale. Les deux variantes sont les suivantes:
"La fonction converge, donc l'intégrale converge" ou plus simplement "ça converge" ; sous-entendu lim
t!+1f(t) = 0 donc l'intégrale converge.
"La fonction diverge, donc l'intégrale diverge", sous-entendu lim
t !0+f(t) = +1 donc l'intégrale diverge en 0.
1La limite doit être réelle, donc nie.
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À la diérence du cas des séries, où la convergence de X+1 n=0
un entraîne2 lim
n!+1un = 0, la conver-gence de l'intégrale d'une fonction n'a aucun rapport logique, aux exceptions évidentes près3, avec la convergence de la fonction en question vers une valeur quelconque en un point quel-conque. L'expression lim
t !f(t) n'a pas de place dans les problèmes d'intégrales généralisées.
Remarque: Soit f localement Riemann-intégrable sur ] a ; b [ et c 2 ] a ; b [. Alors Z b
a f(t) dt converge si et seulement si
Z c
Notons que, vu l'hypothèse faite sur f, la convergence de Z c
a f(t) ne dépend pas du choix de c.
Notation: Pour une fonction f :] a ; b [ ! R localement Riemann-intégrable sur ] a ; b [, on écrit "
Z
af(t) dt converge " pour signier que Z c
a f(t) dt converge pour un choix quelconque de c 2 ] a ; b [. De même pour
Z b
f(t) dt.
Comme pour les intégrales de Riemann4, il est naturel d'étendre la notion d'intégrale générali-sée par recollement d'intégrales généraligénérali-sées sur des intervalles contigus.
Dénitions: Soit =
ai; 0 i n une subdivision de [ a; b ]. On dit que l'intégrale généralisée de f sur ] a ; b [ a un sens si f est localement Riemann-intégrable sur chaque intervalle ]ai; ai+1[, 0 i n 1. Enn "
Z b
a f(t) dt converge" signie que chacune des inté-grales Remarque: La divergence d'une des intégrales
Z ai+1
ai
f(t) dt entraîne celle de Z b
a f(t) dt.
Lorsqu'il est demandé d'étudier la convergence d'une intégrale généralisée Z b
a f(t) dt, la pre-mière étape doit toujours être d'identier les "singularités", c'est à dire les points ai avec la propriété suivante: sur tout intervalle contenant ai, f n'est pas Riemann-intégrable. En pra-tique cela signie soit que ai = 1, soit que f ne reste pas bornée5 au voisinage de ai. Une fois qu'on a identié les singularités, supposées en nombre ni, fai; 0 i ng et qu'on les a
2La contraposée de cette assertion donne le critère de divergence grossière.
3Il y en a deux: lim
5À ne pas confondre avec lim
t!aif(t) = +1 qui est une condition plus restrictive.
rangées par ordre croissant6, on vérie que f est Riemann-intégrable sur tout intervalle borné contenu dans ] a ; b [ mais ne rencontrant aucune des singularités. Dans la pratique cela provient souvent de la continuité de f sur ] a ; b [nfai; 0 i ng. La dernière étape est d'étudier les sut alors de vérier l'existence dans R de lim
x !a+i Fi(x) et lim
x !ai+1Fi(x).
Exemple: Etudions la convergence de Z 1
t converge si et seulement si > 1. On voit donc
Z +1
0
dt
t diverge pour toute valeur de . Elle diverge "aux deux bouts" si = 1, elle converge en 0 et diverge en +1 si < 1 et elle diverge en 0 et converge en +1 si > 1.
Dans le cas où on ne peut pas exprimer la primitive de f, il reste la possibilité d'utiliser le critère de convergence qui s'applique à tous les problèmes d'existence de limite, à savoir le critère de Cauchy.
Critère de Cauchy pour une intégrale généralisée. Soit f une fonction localement Riemann-intégrable sur ] a ; b [. Alors
Z
af(t) dt converge ssi lim
d !a+ sup
Une façon équivalente d'écrire la condition est: lim
c; d !a+
Z d
c f(t) dt = 0.
Il y a une formulation équivalente pour la convergence de Z b au voisinage (à droite) de a, voire continue à droite en a, il n'y aucune raison de mentionner a comme point problématique. Idem pour b. Néanmoins on le fait ici pour avoir des notations cohérentes, fai; 0 i ng désignant en général une subdivision de [ a; b ]. Dans les applications il est inutile de se précipiter aux bornes de l'intervalle ] a ; b [ lorsqu'elles sont nies et lorsque f reste bornée à leur voisinage.
critère de convergence étant une condition nécessaire et susante, si cette stratégie échoue, c'est que l'intégrale diverge, ou qu'on a mal fait ses majorations.
Exemple: Soit à étudier la convergence de
Z +1sin t
t dt. Notons que les rôles de c et d sont échangés car la borne est "en haut". On xe c 2 R+ et on veut majorer
Z d
c
sin t
t dt indépen-damment de d. Une intégration par parties donne
Z d
On passe aux majorations. Clairement
cos t
d. En additionnant on obtient Z d
Une conséquence immédiate du critère de Cauchy est le critère de domination. Si f et g sont localement Riemann-intégrables sur ] a ; b [ et si
8 c; d tels que a < c < d < b,
ag(t) dt entraîne celle de Z
af(t) dt et de même la divergence de Z
af(t) dt entraîne celle de Z
ag(t) dt converge, la limite de droite est nulle, celle de gauche idem et Z
af(t) dt converge.
Par contraposée, on obtient l'énoncé sur les divergences. La condition z est impliquée par une condition beaucoup plus forte et plus simple à vérier, à savoir: 8 t 2 ] a ; b [ ; f(t) g(t).
Critère de domination pour les intégrales généralisées. Soit f et g localement Riemann-intégrables sur ] a ; b [. On suppose que 8 t 2 ] a ; b [ ; f(t) g(t). Alors
En remplaçant b par une valeur arbitrairement proche de a, on voit qu'il sut de vérier f(t) g(t) au voisinage (à droite) de a.
Remarque: Ce critère de domination est l'occasion de pas mal d'erreurs. La pire est d'ou-blier les valeurs absolues dans f(t) g(t), voire de travailler avec une fonction g qui n'est
pas toujours positive. Viennent ensuite la confusion entre les conclusions et leurs réciproques, qui amène souvent à conclure que si "
Z
g diverge", "
Z
f diverge", et enn l'utilisation de majorations qui sont soit fausses, soit non démontrées.