1 LM 315 Feuille d'exercices n

LM 315 Feuille d'exercices n^o3 2007-2008 Exercice n^o1

On admet qu'une fonction h dénie sur R ou R^d est mesurable ssi pour tout t 2 R, l'ensemble H_t =

x 2 R^d; h(x) > t est mesurable.

Soit f : R ! R+ une application mesurable. On dénit Ft =

x 2 R ; f(x) > t .

1) Montrer que l'application g dénie sur R R par (x; t) ! g(x; t) = f(x) t; est mesurable.

2) Soit F = f(x; t) 2 R R₊; x 2 F_tg. Montrer que F est mesurable.

3) Montrer que : 2(F ) = Z

R+

(Ft) d(t) = Z

Rf d:

4) En déduire (en posant u = t^p) : 8p > 0;

Z

R+

(Ft)p t^{p 1}d(t) = Z

Rf^pd:

Exercice n^o2

Soit I un intervalle borné de R et f mesurable sur I.

1) Montrer que si f 2 L^p(I) pour une valeur de p, alors 8 r 2 [ 1 ; p [ ; f 2 L^r(I).

2) On suppose (I) = 1. Montrer l'application [ 1; +1) ! R+; p ! kfkp, est croissante.

3) On suppose (I) = 1. Montrer que lim

p!+1kfk_p existe et est nie si et seulement si f 2 L¹(I) et qu'alors lim

p!+1kfkp = kfk1:

4) Etendre le résultat du 3) à tout intervalle borné.

Exercice n^o3

Soit p > 1 et (un)n 2 N une suite de fonctions de L^p(R), à valeurs positives. On suppose que la série

X+1 n=0

un

p converge et on dénit la fonction S en posant S(x) = +1 si la série X⁺¹

n=0

u_n(x) diverge, S(x) =

X+1 n=0

un(x) si elle converge.

Montrer que S 2 L^p(R) et que kSkp X+1 n=0

un

p. Exercice n^o4

Soit (p_i)_1in; n réels de ]1; +1) tels que X

1in

1

pi = 1. Soit, pour 1 i n ; f_i 2 L^pi: Montrer

que Y

1in

fi

!

2 L¹ et que

Y

1in

fi

1

Y

1in

kfikpi.

Exercice n^o5

On rappelle que la fonction dénie sur R₊ par (s) = Z ₊₁

0 t^{s 1}e ^tdt est une fonction C¹. Montrer que 8 s 2 R₊ ln ₀₀

(s) 0.

Cela signie que ln est convexe ou encore que est "log-convexe".

Exercice n^o6

Soit f : R ! C une fonction intégrable. On rappelle que la transformée de Fourier f : R ! C est dénie par ^^ f() =

Z

Re ^2ixf(x) d et que cette intégrale a bien un sens.

Montrer que si f est la fonction x ! e ^x2, alors ^f = f.

On remarquera que cette identité est équivalente au fait que l'intégrale Z

Re ^(x+iy)2d(x) est indépendante de y et on utilisera une relation entre @

@xe ^(x+iy)2 et @

@ye ^(x+iy)2. Exercice n^o7

Pour deux fonctions f; g : R ! C , mesurables, on note D(f; g) =

x;

Z

Rjf(x y)g(y)j d(y) < +1

et on dénit la fonction f ? g : D(f; g) ! C par la relation f ? g(x) = Z

Rf(x y)g(y) d(y).

Dans le cas où les fonctions f et g sont à valeurs positives on peut dénir la fonction f ? g : R ! R+ en posant f ? g(x) = +1 lorsque

Z

Rf(x y)g(y) d(y) = +1.

Soit f; g : R ! C , deux fonctions mesurables. On dénit F : R² ! C en posant 8 (x; y) 2 R²; F (x; y) = f(x y)g(y):

1) Montrer que F est mesurable.

2) Montrer que, si f et g sont intégrables sur R , alors :

| F est intégrable sur R²,

} f ? g est dénie presque-partout,

~ f ? g est intégrable,

 Z

Rf ? g d = Z

Rf d Z

Rg d:

La fonction f ? g est appelée le produit de convolution de f et g.

Soit p 2 ]1; 2[ et r 2 ]1; +1) tels que 2=p = 1 + 1=r:

3) Soit h : R ! R , une fonction mesurable positive. Vérier l'inégalité : Z

Rh d Z

Rh^p=2d

_{2=p 2=r}Z

Rh^pd _1=r

:

4) Soit f et g : R ! R , deux fonctions mesurables positives. Vérier l'inégalité : Z

Rfg d Z

Rf^pd Z

Rg^pd

_{1=p 1=r}

Z

Rf^pg^pd _1=r

: 5) Montrer que si f et g sont dans L^p(R ; d), alors :

[ jfj^p? jgj^p est nie presque partout et f ? g est denie presque partout,

\ f ? g est mesurable On étudiera d'abord le cas où f et g sont à valeurs dans R+ , ] kf ? gkr kfkpkgkp.

Exercice n^o8

Pour toute fonction f : R ! C , -intégrable, on dénit sa transformée de Fourier ^f : R ! C en posant :

8t 2 R; ^f(t) = Z

Re ^2itxf(x) d(x) : On rappelle¹ que l'intégrale de Riemann

Z ₊₁

0

sin x

x dx est semi-convergente et vaut 2. 1) Montrer que pour toute fonction intégrable f : R ! C, ^f est une fonction bornée et continue et donner une majoration simple pour k ^f k₁:

Soit g : R ! C intégrable. On suppose que ^g est intégrable et que g vérie :

9 C > 0; 9 2]0; 1] tels que 8x; x⁰ 2 R; jx x⁰j < 1 =) j g(x) g(x⁰)j < Cjx x⁰j z:

On xe un réel x pour les questions 3), 4) et 5).

2) Soit A > 0 . Montrer que : Z

[ A; A]e ^2ixy^g(y) d(y) = Z

R

sin 2(x + u)A

(x + u) g(u) d(u) : Quelle est la limite du membre de gauche de cette égalité lorsque A ! +1 ?

3) En appliquant le lemme de Riemann-Lebesgue à des fonctions à déterminer où x joue le rôle d'un paramètre, montrer les égalités suivantes :

[ lim

A!+1

Z

( 1; x 1]

sin 2(x + u)A

(x + u) g(u) d(u) = 0 ;

\ lim

A!+1

Z

[ x+1; +1)

sin 2(x + u)A

(x + u) g(u) d(u) = 0 ; ] lim

A!+1

Z

] x 1; x+1[

sin 2(x + u)A

(x + u) (g(u) g( x)) d(u) = 0 :

1Voir l'exercice 7 de l'envoi 2

4) Calculer lim

A!+1 ] x 1; x+1[

sin 2(x + u)A

(x + u) d(u) puis calculer

A!+1lim Z

R

sin 2(x + u)A

(x + u) g(u) d(u) : 5) Quelle identité déduit-on de 2) et 4) ?

6) Soit g : R ! R , la fonction dénie par g(x) = e ^jxj. Calculer sa transformée de Fourier ^g ainsi-que la valeur, pour tout x 2 R de l'intégrale L(x) =

Z

R+

cos sx

1 + s² d(s) : Exercice n^o9

Soit la fonction dénie par (x) = 1

1 + 4x². On admet que ^() = 1

2e ^jj ce qui entraîne Z

R^d = 1: (1)

On note C_c¹(R) l'espace des fonctions de classe C¹ nulles en dehors d'un intervalle borné. Ces fonctions sont intégrables ainsi que leurs dérivées premières

1) Vérier que pour f 2 C_c¹(R), 8 2 R ; ^f() 12kf⁰k1. 2) Vérier que pour f 2 C_c¹(R), ^f 2 L²(R).

On suppose f et g dans C_c¹(R).

Dans les questions 3), 4) et 5) on montrera d'abord que les intégrales introduites sont bien dénies, i.e. que les fonctions apparaissant sous les intégrales sont intégrables. Il n'y a pas de question de mesurabilité.

3) Pour tout n 2 N, on pose In = Z

R²f(t)g(s) n ^ n(t s)

d2(s; t). Montrer que Z

R

f()^g() =n) d() = I^ n: (2)

4) Pour tout n 2 N, on pose Jn = Z

R²f(t)g(t) n ^ n(t s)

d2(s; t). Montrer que Jn=

Z

Rf g d; (3)

In Jn kfk¹ kg⁰k1

n : (4)

5) Montrer que

Z

R

f ^g d =^ Z

Rf g d.

Exercice n^o10

1) On désigne par ; ; et des paramètres à valeurs dans R₊.

Déterminer pour chaque intégrale l'ensemble des paramètres pour lesquels elle est nie.

 Z

R+R+

1

1 + x+ y d₂(x; y). ~ Z

R+R+

x ¹ y ¹

1 + x+ y d₂(x; y):

} Z

R+R+

1

1 + x+ xyd2(x; y). | Z

R+R+

1

1 + x+ y²+ xyd2(x; y) 2) Montrer que l'intégrale F (z) =

Z

R+R+

x^z

1 + x⁴+ y² d2(x; y), dénie pour z 2 R, est nie si et seulement si jzj < 1.

3) Montrer que l'application F dénie sur ] 1; 1[ admet un minimum unique en 0.

4) Montrer que F admet en 0 un D.S.E. de rayon de convergence R = 1.

5) Reprendre les questions 2) et 3) avec G(z) = Z

R+R+

x^z

1 + x⁴+ y²+ 2x²yd2(x; y), en mon- trant que le minimum de G est atteint pour une valeur z0 > 0.

Exercice n^o11

On note E [0; 1]ⁿ l'ensemble des n uplets (x₁; :::; x_n) croissants, i.e. 0 x₁ ::: x_n 1.

On note u₁ = x₁; u_i = x_i x_{i 1} pour 2 i n et u_n+1 = 1 x_n.

Pour toute permutation sur f1 i n + 1g; on note F le sous-ensemble de E des n uplets tels que (u(1); :::; u(n+1)) soit également croissant.

A part dans la solution de la question 6) on a toujours = Id et on note simplement F . Pour (x1; :::; xn) 2 F on pose v1 = u1 et vi = ui ui 1 pour 2 i n + 1 et pour 1 k n, on pose y_k =

Xk i=1

(n + 2 i) v_i. 1) Calculer _n(E).

2) Montrer que (x1; :::; xn) 2 F () (y1; :::; yn) 2 E.

3) Calculer n(F ).

4) Calculer la moyenne sur E des fonctions u_i pour 1 i (n + 1) 5) Même question sur F .

6) Calculer la moyenne sur E de sup

1in+1ui. 7) En déduire la moyenne sur E de sup

2inu_i. Que représente-t-elle ?