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LM300
« Histoire des Mathématiques »
niveau L3 --- Printemps 2012–2013
L’ENSEIGNANT : David Aubin
– Examen final –
22 mai 2013, de 8h30 à 10h30, amphi 56A.
Enoncé des questions
Toute documentation interdite, à l’exception des notes manuscrites ou copie des notes de cours.
L’examen comporte deux parties ; vous devez répondre à toutes les questions de chacune des deux parties. L’examen sera corrigé sur un total de 20 points.
Partie 1 : Extraction de la racine carrée chez Descartes [5 pts]
Vous trouverez en annexe 1 un texte de Descartes tiré de la Géométrie (1637). Rédigez un commentaire de ce texte en répondant notamment aux questions suivantes :
a) Exprimez de façon moderne la preuve que le segment GI est la racine carrée du segment GH.
b) Pourquoi Descartes doit-il définir une unité ?
c) Quelle est la place de cet ouvrage de Descartes dans l’histoire des mathématiques ?
Partie 2 : L’extraction des racines de binôme chez Girard [6 pts]
Vous trouverez la règle générale pour l’extraction des racines de binômes du type 𝑎+√𝑏 en annexe 2. Reportez-vous y pour répondre aux questions suivantes :
a) [1 pt] Vérifiez que �7 +√48 = 2 +√3, tel qu’énoncé.
b) [2 pts] Pouvez-vous transformer la règle donnée par Girard en une expression algébrique ? Si oui, laquelle ?
2/5 c) [2 pts] A l’aide des notations modernes, prouvez la règle de Girard. Vous pourrez suivre les
étapes suivantes :
1. Soit 𝑥+𝑦=�𝑎+√𝑏.
Montrez alors qu’on peut écrire : 𝑎 = 𝑥2+𝑦2
√𝑏 = 2𝑥𝑦
2. De là découle que les quantités X = x2 et Y = y2 sont solutions d’une équation algébrique du second degré. Montrez que ces solutions correspondent bien à la formule de Girard.
d) [1 pt] Interprétez historiquement la manière dont Girard a pu dériver cette règle sans passer par la manipulation d’inconnues littérales.
Partie 3 : Parallélisme chez Lobatchevski [9 pts]
Vous trouverez en annexe 3 l’énoncé des propositions 17 et 18, de même que l’énoncé et la preuve de la proposition 25 des Études géométriques sur la théorie des parallèles de Nikolai Lobachevski.
a) [1 pt] Rappelez quelle est l’énoncé du 5e postulat (ou axiome des parallèles) chez Euclide.
b) [2 pts] Rappelez la définition de l’angle de parallélisme Π(𝑝) proposé par Lobachevski dans la proposition 16 de son traité. Dans quel cas est-ce que la géométrie de Lobachevski diffère de la géométrie euclidienne ? Comment Lobatchevski définit-il le parallélisme ?
c) [2 pts] Dans les proposition suivantes 17 et 18, Lobachevski établit deux propriétés importantes du parallélisme tel qu’il le définit : lesquelles ?
d) [4 pt] Commentez la preuve de la proposition 25.
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ANNEXE 1 : Descartes.
Source : René Descartes, La Géométrie (1637).
4/5
ANNEXE 2 : Girard.
Albert Girard, Invention nouvelle en algèbre (Amsterdam, 1629), n.p.
ANNEXE 3 : Lobachevski.
Source : Nikolai Lobachevski, Études géométriques sur la théorie des parallèles,
trad. J. Hoüel, Gauthier-Villars, Paris, 1866.
5/5 B
A C
G K
D F
M
H
E L
