LM300
« Histoire des Mathématiques »
niveau L3 --- Printemps 2011–2012
LES ENSEIGNANTS : David Aubin et Alexandre Guilbaud
– Examen final –
29 mai 2012, de 16h30 à 18h30, amphi 56A.
Enoncé des questions
Toute documentation interdite, à l’exception des notes manuscrites.
L’examen comporte trois parties ; vous devez répondre à toutes les questions de chacune des trois parties.
PARTIE 1 : Nombres premiers chez Euclide (5 pts)
Vous trouverez en annexe1 le texte de la proposition 20 du livre 9 des Éléments d’Euclide. En vous aidant de ce texte, répondez aux questions suivantes :
1. (1 pt) L’énoncé de cette proposition exprime une propriété bien connue des nombres premiers. Ré-exprimez-la en langage moderne.
2. (2 pts) Rédigez une preuve moderne de cette propriété en suivant le plus fidèlement possible le raisonnement d’Euclide. Lorsque vous ferez références aux propositions 38 et 33 du livre 7, n’oubliez pas de préciser de quelle propriété bien connue des nombres entiers vous faites usage.
3. (2 pts) Cette proposition fait-elle intervenir l’infini ? Discutez plus généralement la place de l’infini chez Euclide et dans les mathématiques grecques de l’Antiquité.
Montrez en quoi la distinction faite par Aristote entre infini actuel et infini potentiel est utile pour mieux saisir le raisonnement d’Euclide.
PARTIE 2 : L’analyse chez Euler (8 pts)
Vous trouverez en annexe un extrait des premières pages du chapitre IV, « Du développement des Fonctions en Séries infinies », de l’Introductio in analysin infinitorum [Introduction à l’analyse infinitésimale] de Leonhard Euler, publiée en 1748.
2/8 1. (2 pts) Rappelez la définition que donne Euler d’une fonction dans ce traité, ainsi que
ce qu’il entend par « fonctions transcendantes ». Comment interprétez-vous, dans ce cadre, la dernière phrase de l’article 59 (« Ainsi il ne restera aucun doute, que toute fonction de z … exprimant les nombres quelconques ») ?
2. (2 pts) Le développement en série de la fraction rationnelle 𝑎
𝛼+𝛽𝑧 par le « moyen d’une division continue », présenté dans l’article 60, a été étudié en TD sur la base d’un extrait de La méthode des fluxions et des suites infinies d’Isaac Newton.
Rappelez en quoi consiste cette méthode et montrez avec soin comment elle permet d’obtenir les trois premiers termes du développement en série de la fraction rationnelle considérée par Euler.
3. (2 pts) Retrouvez l’expression générale du terme d’ordre n du développement en série de la même fonction grâce à la méthode proposée par Euler dans l’article 60.
4. (1 pt) Que pensez-vous de la rigueur de ces deux méthodes ?
5. (1 pt) Quel rôle joue plus généralement la méthode du développement en série dans le cadre du développement de l’analyse de la fin du XVIIe siècle jusqu’au début du XIXe siècle et, en particulier, quelle est l’importance du traité d’Euler dans le cadre du développement de l’analyse au XVIIIe siècle ?
PARTIE 3 : La théorie des parallèles selon Gergonne (7 pts)
Vous trouverez en annexe 3 un texte de Joseph Diaz Gergonne intitulé « Essai sur la théorie des parallèles ».
1. (1 pt) Comment expliquez-vous historiquement la forme et le contenu de cet extrait ? Rappelez ce que vous savez au sujet de Gergonne, de ses Annales de mathématiques pures et appliquées, et de la situation de l’enseignement et de la recherche en
mathématiques au début du XIXe siècle.
2. (2 pts) Discutez la preuve du 5e postulat d’Euclide présentée par Gergonne. Expliquez quel est son raisonnement et en quoi il est, à la lumière de ce que nous savons
aujourd’hui, fautif.
3. (2 pts) Comparez le travail de Gergonne avec celui de Lobatchevski. Quels sont les points communs et les différences principales entre ces deux approches ?
4. (1 pt) Gergonne fait référence aux travaux de Legendre. A la lumière des textes vus en TD, comment interprétez-vous l’opinion de Legendre, les objections qu’il soulève et la réponse de Gergonne ?
ANNEXES : Documents
ANNEXE 1 : Proposition 20 du Livre 9 des Éléments d’Euclide.
Voici la traduction française par F. Peyrard de la proposition 20 du Livre 9 des
Éléments d’Euclide.
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ANNEXE 2 : Euler
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ANNEXE 3 : Essai sur la théorie des parallèles par Gergonne.
Voici un extrait d’un article publié dans les Annales de mathématiques pures et appliquées, tome 3 (1812–1813), p. 353–356. La figure correspondante (fig. 1) a été reproduite à la suite de l’extrait.
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