Universit´e Paris-Dauphine 2011-2012 M1 MMD, Processus Continus Approfondis
Examen du Mardi 29 Mai, 16h30 - 18h30
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Dans tous les exercices B = Bt un mouvement brownien r´eel standard d´efini sur un espace probabilis´e (Ω,A,P) etF=FtB est la filtration canonique associ´ee.
Exercice 1
a) - Rappeler la d´efinition d’un PAI.
b) - Soit (Xt) un PAI tel queE(eaXt)<∞pour toutt≥0;a∈Rfix´e. Montrer queez Xt/E(ezXt) est une martingale siℜe z≤a.
Exercice 2
a) - Montrer queB2t−t est une martingale.
b) - SoitT := inf{t; Bt∈]/ −a, a[}le temps de sorti de l’intervalle ]−a, a[,a >0. Pour toutM >0, montrer queE(BT2∧M) =E(T∧M). En d´eduireE(T) =a2.
c) - Rappeler la formule d’Itˆo pour le processus B et une fonction f ∈ Cb2(R+×R). En d´eduire que le processusB4t−6t B2t+ 3t2 est une martingale.
d) - ExprimerE(BT4∧M) en fonction deBT2∧M et T∧M. En d´eduire queE(T2) = 5a4/3.
Exercice 3
PourT >0 fix´e, on d´efinit
H := n
X∈L2(FTB); ∃φ∈L2(P rog) (1) X =E(X) +
Z T
0
φsdBs
o.
a) - Montrer que siX ∈ Halors le processusφ∈L2(P rog) pour lequel (1) a lieu est unique.
b) - Montrer que siXn v´erifie (1) pour le processusφn∈L2(P rog) et Xn→X dansL2, alors (φn) est une suite de Cauchy dansL2(P rog). En d´eduire queHest un sev ferm´e de L2.
c) - Pour deux suites 0 =t0< ... < tn=T etλ1, ..., λn, on d´efinit Mt:= exp[i Xt], Xt:= (φ•B)t, φs:=
n
X
k=1
λk1]tk−1,tk](s) En notant
f(t, X) := exph i X+1
2 Z t
0
φ2sdsi , montrer que
f(T, XT) = 1 +i Z T
0
f(s, Xs)φsdBs.
1
En d´eduire queMT ∈ H.
d) - Avec les notations de la question pr´ec´edente, montrer que l’espace engendr´e par les variables exp
i
n
X
k=1
λk(Btk−Btk−1) est dense dansL2(Ω,FTB). En d´eduire queHest dense dans L2(Ω,FTB).
e) - Pourquoi H= L2(Ω,FTB)? Soit maintenant (Mt) une FB-martinagle born´ee dans L2. Montrer qu’il existe un unique processusφ∈L2(P rog) tel que
MT =E(MT) + Z T
0
φsdBs.
En d´eduire que touteFB-martinagle (Mt) born´ee dansL2peut s’´ecrire sous la forme d’une int´egrale brown- ien: ∃φ∈L2(P rog)
Mt=E(M0) + Z t
0
φsdBs, ∀t∈[0, T], pui ∀t≥0.
Exercice 4
SurE =R, on se donne une chaˆıne de Markov (Yn) d´efinie par
E(f(Yk+ℓ)fk(Yk)... f1(Y1)) =E(Uℓf(Yk)fk(Yk)... f1(Y1)), pour toutk, ℓ≥1,f, fk, ..., f1∈Cb(R), et avec
(U g)(x) :=
Z
R
g(y)µ(x, dy),
pour un taux de transition de Markov µ : R× B(R) → [0,1] donn´e. On rappelle que Uℓ est d´efini par r´ecurrence, en posant pourℓ≥2
(Uℓg)(x) = Z
R
(Uℓ−1g)(y)µ(x, dy) =:
Z
R
g(y)µℓ(x, dy).
On se donne un processus de Poisson (Nt) d’intensit´eλ >0 ind´ependant de (Yn) et on poseXt:=YNt. a) - Montrer que (Xt) est un processus de Markov homog`ene et de taux de transition
pt(x, A) :=
∞
X
n=0
µn(x, A)(λ t)n n! e−λt, avec la conventionµ0(x, dy) =δx(dy).
b) - On d´efinit pour toutf ∈Cb1(R)
(Ttf)(x) =E(f(Xt)|X0=x) = Z
R
f(y)pt(x, dy) =
∞
X
n=0
(Unf)(x)(λ t)n n! e−λt. Montrer que
(Lf)(x) := d
ds(Ttf)(x)t=0= Z
R
(f(y)−f(x))µ(x, dy).
2
