Examen du Vendredi 4 Septembre, 14h30-16h30

Universit´e Paris-Dauphine 2008-2009 M1 MMD, cours de Processus Continus

Examen du Vendredi 4 Septembre, 14h30-16h30

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Exercice 1 (4 points)

Soit (B^t) un mouvement Brownien standard. Montrer que les processus suivants sont des (Ft^B)-martingales a) - (B^t)^t≥0;

b) - (Bt²−t)^t≥0;

b) - (exp(λ B^t−λ²t/2))^t≥0, o`uλest un r´eel quelconque.

Exercice 2 (6 points)

Soient (X^t) et (Y^t) deux processus d’Itˆo r´eels et L².

a) - Rappeler la d´efinition d’un processus d’Itˆo `a valeurs dansR^d, d≥1, et ´enoncer la formule d’Itˆo pour une fonctionF :R^d→Ret un tel processus.

b) - Etablir la formule d’int´egration par partie:

X^tY^t=X0Y0+ Z ^t

0

X^sdY^s+ Z ^t

0

Y^sdX^s+ Z ^t

0

dhX, Yi^s.

c) - Montrer que le processusM^td´efini par M^t:=X^tY^t−

Z ^t

0

φ^sψ^sds, X^t:=

Z ^t

0

φ^sdB^s, Y^t:=

Z ^t

0

ψ^sdB^s, (0.1)

est uneF^B-martingale continue centr´ee pour toutφ, ψ∈ L²(F^B-Prog).

d) - Avec les notations de la question pr´ec´edente, montrer que pourt≥s≥0 E(X^tX^s) =

Z ^s

0

E(φ²u)du.

Exercice 3 (5 points)

Pour toutt≥0, on d´efinit la variable al´eatoire : Y^t=

Z ^t

0

e^−sdB^s a) - Rappeler la d´efinition d’un processus Gaussien.

b) - Montrer qu’une limite dans L²(Ω) d’une suite de variables al´eatoires Gaussiennes est encore une va Gaussienne.

c) - Montrer que (Y^t)^t≥0 est un processus gaussien.

d) - Calculer son esp´erance et sa covariance.

e) - Montrer que (Yt) est une martingale de carr´e int´egrable et que la famille E[Yt²]

t≥0 est born´ee. En d´eduire que (Y^t) converge p.s. et dansL² vers une variable al´eatoireY. Quelle est la loi deY?

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Exercice 4 (5 points)

Soient (Yⁿ)ⁿ≥1 et (Tⁿ)ⁿ≥1 deux suites ind´ependantes de variables al´eatoires r´eelles. On suppose que les variablesYⁿ sont ind´ependantes et identiquement distribu´ees de loiν, de fonction caract´eristiqueϕ, et que (Tⁿ)ⁿ≥1 est un processus ponctuel de Poisson surR₊, de param´etreλ >0. On d´efinit, pour toutt >0,

Xt=X

n≥1

Yn1_{T_n≤t}

On poseX0= 0 etT0= 0.

a) - ExpliciterX^t sur{Tⁿ≤t < Tn+1}, pour toust≥0 etn∈N. b) - Calculer la fonction caract´eristique deX^tpour toutt >0.

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