S2 - Alg`ebre
Examen Septembre
Sans documents ni calculatrices.
Question de cours
(a) SoitM une matrice carr´ee de taillen`a coefficients dans un corps commutatif K. Rappeler la d´efinition de l’inversibilit´e de M.
(b) Donner deux exemples de matrice carr´ee non-inversible.
(c) Montrer que si M et N sont deux matrices inversibles dans l’espace des matrices carr´ees de taille n `a coefficients dans le corps K, alors M N est inversible et (M N)−1=N−1M−1.
Exercice 1
SoientEetF deux espaces vectoriels sur un corps commutatifK. Montrer que sif est un isomorphisme deE dansF, alors l’application r´eciproquef−1est un isomorphisme deF dansE.
Exercice 2
SoitR2[X] l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, `a coefficients dans le corpsRdes r´eels.
On consid`ere le sous-ensembleA deR2[X] d´efini par : A=
a(X2+ 1) +bX+c(X2−X+ 1)|a∈R, b∈R, c∈R . 1. Montrer queAest un sous-espace vectoriel deR2[X].
2. Quelle est la dimension deA? Justifier. Donner une baseBdeA.
Exercice 3
SoitC∈ M3,3(R) la matrice circulante d´efinie par trois r´eelsa, b, c:
C=
a b c b c a c a b
.
1. Calculer le d´eterminant detC de la matriceC.
2. On notele nombre complexe=−12 +ı√23. Montrer que detC=−(a+b+c)(a+b+2c)(a+c+2b).
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1Exercice 4
Soitmun complexe et A(m)∈ M3,3(C) la matrice suivante :
A(m) =
0 1 ı
1 m 0
ı 0 1
.
1. D´eterminer le rang de la matriceA(m) en fonction du param`etrem.
2. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur le r´eel m pour que la matriceA(m) soit inversible.
3. Quand cette condition est v´erifi´ee, trouver l’unique solution du syst`eme
suivant
0 1 ı
1 m 0
ı 0 1
x1
x2
x3
=
a b c
.
o`u a, b, csont trois complexes fix´es.
Exercice 5
Dans l’espace vectorielE =R2, rapport´e `a sa base canoniqueB= (e~1, ~e2), on consid`ere l’endomorphismef d´efini par
f(~e1) =e~1+ 3e~2 ; f(~e2) =−~e1+e~2.
1. D´eterminer la matriceMB,B(f) def dans la base canoniqueB.
2. Soit~u=x ~e1+y ~e2∈E. Calculer les coordonn´eesx0 ety0 (en fonction de xety) def(~u) dans la base canoniqueB.
3. Soiente~01=e~1+e~2et e~02=−e~1+e~2. D´emontrer queB0 = (e~01, ~e02) est une base deE.
4. Ecrire la matrice de passageP deB`aB0. CalculerP−1.
5. D´eterminer la matrice MB0,B0(f) de f dans la base B0. En d´eduire les expressions def(e~01) etf(e~02) comme combinaison lin´eaire dee~01et e~02.
