LM 315 Partiel du 29 Mars 2008 10 h - 12 h Barème sur 45 Exercice n

LM 315 Partiel du 29 Mars 2008 10 h - 12 h

Barème sur 45

Exercice n^o1 2 4 1 6 4 1 10 2 1 Exercice n^o2 2 2 10

La rédaction est primordiale dans les questions à 4 points et plus. Les autres peuvent être traitées rapidement.

Exercice n^o1

Pour x 2 R, soit F (x) = Z ₊₁

0

sin²t

t^2+x dt, F1(x) = Z ₁

0

sin²t

t^2+x dt et F2(x) = Z ₊₁

1

sin²t t^2+x dt.

Pour (x; t) 2 R R₊, on notera f(x; t) = sin²t t^2+x : 1) Montrer que si n 1, =2

(n + 1)_2+x

Z _(n+1)

n

sin²t

t^2+x dt =2 (n)^2+x. 2) Déterminer l'ensemble des x tels que F2(x) converge.

3) Montrer que F (x) est absolument convergente si et seulement si x appartient à un intervalle ]; [, où et sont à préciser.

4) Montrer, sans utiliser le 7), que F est continue sur ]; [.

5) Montrer, sans utiliser le 7), que F est dérivable sur ]; [.

Rappel :8 (y; t) 2 R R₊, t^y = e^{y ln t} =X⁺¹

0

(ln t)ⁿyⁿ n! , et 1

t^y = e ^{y ln t}=X⁺¹

0

( ln t)ⁿyⁿ n! . Ces séries convergent absolument pour tout y 2 R.

6) Simplier l'expression X+1

0

j ln tjⁿjxjⁿ

n! en distinguant deux cas selon que t > 1 ou 0 < t 1.

7) Montrer que F admet un développement en série entière valide pour x 2 ]; [.

On doit trouver F (x) = X+1

0

xⁿ In, où les In sont des intégrales en t, indépendantes de x.

8) Montrer que lim

x! F (x) = +1.

9) Quel est le rayon de convergence du développement en série entière de F ?

Exercice n^o2

Soit f :]0; 1=3[ ! R; t ! f(t) = 1 t²+ t³. On pose pour n 2 N, I_n=

Z ₁₌₃

0 f(t)_n dt.

On dénit gn : R+ ! R pour 0 < u <p

n=3, par gn(u) =

f u=p nⁿ

et par gn(u) = 0 pour u pn=3.

On rappelle que Z ₊₁

0 e ^u2 du = p

2 . 1) Calculer la limite de la suite

gn(u)

n 2 N pour tout u 2 R+. 2) Montrer que pour 0 < t < 1=3; 0 < f(t) e ^t2=2.

3) Montrer que, lim

n!+1

pn I_n = p

2 .