H Exercice 2. H Exercice 1.

(1)

Exercice 1. (TD cours page 6)

On pioche simultanément 8 lettres dans l'alphabet, puis on les inspecte une par une. Le succès, pour une lettre tirée, est : "c'est une voyelle". La variable aléatoire X donne, à l'issue de l'expérience, le nombre de succès.

1) Justifier que X suit une loi hypergéométrique et donner ses paramètres.

* Une lettre piochée est une voyelle (succès) ou une consonne. N = 26, a = 6.

* 8 lettres sont tirée au hasard (n = 8), sans remise.

* A la fin des 8 tirages, X désigne le nombre de voyelles.

La loi de X est donc

H

(8 ; 6 ; 26).

2) Calculer p(X = 0), p(X = 3), p(X = 8).

( )

⁰⁶ 8 ⁸²⁰ ^;

( )

⁶⁴ 8 ⁴²⁰ ^;

( )

26 26

C C C C

p 0 0,0806 p 4 0,0465 p 8

C C

X = = × ≈ X = = × ≈ X = impossible

3) Calculer l'espérance et l'écart type de X, puis interpréter l'espérance.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

, ;

2 2

6 N N 6 20 18

E 8 1 846 V 8 1,0225

N 26 N N 1 26 25

V 1,0112

a a

a n

X n X n

X X

σ

− − ×

= = × ≈ = = × × ≈

−

= ≈

L’espérance montre que le plus probable est d’obtenir deux voyelles en piochant simultanément 8 lettres dans l’alphabet. En moyenne : 1,846 voyelles dans 8 lettres.

4) Représenter graphiquement cette loi de probabilité (bâtons) (on obtiendra au préalable un tableau de valeurs sur calculatrice).

Exercice 2.

Le rayon fruits d'une enseigne de grande distribution propose 24 espèces de fruits, dont 8 sont de label bio. Un contrôle consiste à choisir au hasard 10 espèces de fruits différentes. La variable aléatoire X donne le nombre d'espèces bio sélectionnées, parmi les 8.

1) Donner, en justifiant, la loi de probabilité de X.

* Pour une espèce sélectionnée, il y a deux issues : bio (succès) ou pas bio (échec). a = 8, N = 24

* Les dix espèces à sélectionner doivent être différentes, donc nous avons un tirage sans remise. n = 10.

* X compte les succès au bout de 10 essais.

H

(10 ; 8 ; 24).

2) Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X.

E(X) = 10×8/24 = 3,333 espèces bio.

V(X) = 10×8/24×16/24×14/23 = 1,3527. σ(X) = 1,163 espèce bio

3) Quelle est la probabilité que moins de deux espèces sélectionnées soient bio ? p(X < 2) = p(X = 0) + p(X = 1) = 0,0041 + 0,0467 = 0,0508.

(2)

____________________________________________________________________________

Exercice 3.

On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses. Calculer la probabilité des événements :

A : au moins une ampoule est défectueuse B : les 3 ampoules sont défectueuses

C : exactement une ampoule est défectueuse

* Pour une ampoule sélectionnée, il y a deux issues : défectueuse (succès) ou pas (échec). a = 5, N = 15

* On effectue un tirage sans remise de trois ampoules. n = 3.

* X compte les succès au bout de 3 essais. La loi de X est donc

H

(3 ; 5 ; 15).

( ) ( ) ( )

⁰⁵ 3 ³¹⁰

15

C C 120 335

p A p 0 1 p 0 1 1 0,7352

C 455 455

X X ×

= > = − = = − = − = ≈

( ) ( )

³⁵ 3 ⁰¹⁰ 15

C C 10

p B p 3 0,02198

C 455

X ×

= = = = ≈

( ) ( )

¹⁵ 3 ²¹⁰ 15

C C 225

p C p 1 0,4945

C 455

X ×

= = = = ≈

Exercice 4.

L’oral d’un concours comporte au total 100 sujets ; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent alors le sujet traité parmi ces trois sujets. Un candidat se présente en ayant révisé 60 sujets sur les 100.

Quelle est la probabilité pour que le candidat ait révisé : a. les trois sujets tirés ?

b. exactement deux sujets sur les trois sujets ? c. aucun des trois sujets ?

* Pour un sujet sélectionné, il y a deux issues : il a été révisé (succès) ou pas (échec).

* On effectue un tirage sans remise de trois sujets. a = 60, N = 100, n = 3.

* X compte les succès au bout de 3 essais. La loi de X est donc

H

(3 ; 60 ; 100).

a.

( )

³⁶⁰3 ⁰⁴⁰ 100

C C 34220

p 3 0,2116

C 161700

X = = × = ≈ b.

( )

²⁶⁰3 ¹⁴⁰

100

C C 70800

p 2 0,4378

C 161700

X = = × = ≈

c.

( )

⁰⁶⁰3 ³⁴⁰ 100

C C 9880

p 0 0,0611

C 161700

X = = × = ≈

Une roue de type "roulette" est divisée en 26 secteurs de même taille. 6 secteurs sont blancs et les autres sont rouges. Après avoir fait tourner la roue, le succès est : "elle s'arrête sur un secteur blanc".

La variable aléatoire X donne, à l'issue de 8 essais d'affilée, le nombre de succès.

1) Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

* A chaque essai, la roue s’arrête sur un secteur blanc (succès) ou rouge.

* Au fil des 8 essais (n = 8), la probabilité de succès est invariable : p = 6/26.

* Au bout des 8 essais, X désigne le nombre de succès obtenus.

B

(8 ; 6/26).

2) Calculer p(X = 3). Obtenir sur la calculatrice la liste des probabilités de toutes les valeurs de X.

Formulaire : p(X = k) = C^k_n×p^k×q^{n k}⁻ ; dans les conditions de l’exercice : p(X = k) =

8 8

6 20

C 26 26

k k

k

    −

×  × 

    ; ainsi : p(X = 2) =

2 6

2 8

6 20

C 26 26

   

×  ×  ≈

    0,3089.

Sur la calculatrice, avec le formulaire :

On saisit manuellement les valeurs k possibles en List1 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 On saisit la formule générale en List2 : 8CList1*(6/26)^List1*(20/26)^(8-List1)

Au lieu de cela, on peut bien entendu utiliser l'outil "loi binomiale" de la calculatrice (voir vidéo).

(3)

3) Calculer l'espérance et l'écart type de X, puis interpréter.

E(X) = np = 8×6/26 ≈ 1,846 ; σ^{(X) =} npq _≈ 1,192

On s’attend à long terme à 1,846 succès, en moyenne, tous les 8 essais. L’événement « 2 succès » est donc le plus probable.

En ajoutant et en retranchant l’écart type à la moyenne, on construit un intervalle qui englobe les

événements « de loin » les plus probables. Ici, l’intervalle formé est, en arrondissant, [0,6 ; 3], qui englobe les valeurs 1, 2 et 3. Dans la grande majorité des cas, nous aurons 1, 2 ou 3 succès en 8 essais.

4) Représenter graphiquement cette loi de probabilité (bâtons) sur le graphique de l'exercice 1.

Exercice 6.

Un automobiliste rencontre sur son trajet 5 feux tricolores à la suite, identiques dans leurs durées : le feu vert dure 40 secondes, le feu orange/rouge dure 20 secondes. Malheureusement, ces feux ne sont pas

synchronisés, et l'état de l'un n'a aucune influence sur l'état du suivant.

1) Lorsque l'automobiliste arrive au niveau du premier feu, quelle est la probabilité que celui-ci soit vert ? Sur une plage d'une minute, le feu vert dure les deux tiers du temps.

A un instant quelconque indéterminé, le feu a 2 chances sur 3 d'être vert. p = 2/3 2) Déterminer la probabilité pour que, dans son trajet, il ait rencontré tous les feux au vert.

Ici, on répète 5 fois de suite la même expérience.

A chaque fois, la probabilité de succès est p, 2/3.

On désigne par X la variable aléatoire comptant le nombre de succès (feux verts) sur 5 tentatives.

Alors la loi de X est

B

(5 ; 2/3) et

( )

5⁵ ⁵ ⁰ ⁵

2 1 2

p 5 0,1317

3 3 3

X C      

= = ×  ×  =  ≈

     

3) Quelle est la probabilité pour qu'il ait eu un et un seul feu rouge ? Au moins deux feux rouges ?

( )

5⁴ ⁴ ¹ ⁴

2 1 2 1

p 4 5 0,3292

3 3 3 3

X C      

= = ×  ×  = ×  × ≈

     

( ) ( ) ( )

p X ≤ = −3 1 p X = −5 p X =4 ≈0,5391 4) A combien de feux verts peut-il s'attendre, en moyenne, à chaque trajet ?

E(X) = np = 5×2/3 = 3,333 feux verts environ, en moyenne.

Exercice 7.

Le pouvoir germinatif d'une graine d'une certaine espèce est 0,8 (probabilité de germer).

1) On sème 8 graines. Quelle est la probabilité pour que…

a. 5 graines exactement germent ?

On répète 8 fois la même expérience, dont le succès a pour probabilité p = 0,8.

X sera la v.a. comptant le nombre de graines germées sur les 8 semées.

Alors la loi de X est

B

(8 ; 0,8). p

(

X = =5

)

C8⁵×

( ) ( )

0 8^, ⁵× 0 2^, ³≈0 1468^, b. Au moins 7 graines germent ?

( )

⁷8

( ) ( )

^, ⁷ ^, ¹ ⁸8

( ) ( )

^, ⁸ ^, ⁰ ^,

p X ≥ = ×7 C 0 8 × 0 2 + ×C 0 8 × 0 2 ≈0 5033

(4)

____________________________________________________________________________

2) Quand une graine est germée, la probabilité pour que les limaces détruisent le jeune plant est 0,4.

a. Calculer la probabilité pour qu'une graine semée donne un plant bon à repiquer.

Il faut, pour une graine, l'événement "la graine germe ET sachant qu'elle a germé, les limaces ne le détruisent pas". (on pourrait aussi construire un arbre, dont seule une des branches nous intéresse ici) La probabilité cherchée est 0,8×0,6 = 0,48.

b. Combien devra-t-on semer de graines pour que la probabilité d'avoir au moins un plant bon à repiquer soit supérieure à 0,99 ?

La variable aléatoire Y compte ici les plants bons à repiquer (psuccès = 0,48) parmi n graines semées.

La loi de Y est

B

(n ; 0,48).

L'événement contraire de celui de la question est plus simple : Il faut que p(Y = 0) soit inférieure à 0,01.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

ln ln

0 0 0,01

p 0 0,01 C 0,48 0,52 0,01 1 1 0,52 0,01

0,52

n n

Y = < ⇔ n× × < ⇔ × × < ⇔ n>

On doit donc avoir n > 7,042, il faut semer au moins 8 graines.

Exercice 8.

D'après un sondage, 80 % des acheteurs d'un produit A se déclarent satisfaits. Sur un groupe de 10 acheteurs du produit, choisis au hasard, quelle est la probabilité que :

a. Tous soient satisfaits ?

* Un acheteur interrogé sera satisfait (succès) ou non.

* Les personnes sont interrogées selon le mode d’un tirage sans remise (p non constant).

* Sur 10 personnes interrogées, X désignera le nombre d'acheteurs satisfaits.

X est distribuée par la loi

H

(10 ; ? ; ?), qui ne peut pas être utilisée (des paramètres sont inconnus). On fera l’hypothèse que N > 20n, ce qui nous autorise à considérer la probabilité de succès à chaque essai comme constante (et donc égale à 0,8) et à utiliser la loi

B

(10 ; 0,8).

( )

¹⁰10

( ) ( ) ( )

¹⁰ ⁰ ¹⁰

p X =10 =C × 0,8 × 0,2 = 0,8 ≈0,1074 b. 80 % soient satisfaits ?

( )

⁸10

( ) ( )

⁸ ²

( ) ( )

⁸ ²

p X =8 =C × 0,8 × 0,2 =45× 0,8 × 0,2 ≈0,3020 c. Au moins 80 % soient satisfaits ?

( ) ( ) ( ) ( )

⁹10

( ) ( )

⁹ ¹

p X ≥8 =p X = +8 p X = +9 p X =10 =0,3020+C × 0,8 × 0,2 +0,1074≈0,6778 Exercice 9.

6 % des français sont clients de l'opérateur de téléphonie mobile "MAUVE". Lors d'un sondage, on interroge 50 français sur leur opérateur de téléphonie mobile. La population étant très grande, on peut assimiler le choix de ces 50 personnes à un tirage avec remise.

La variable aléatoire X donne le nombre de clients de "MAUVE" parmi ces 50 personnes.

1) a. Donner, en justifiant, la loi de probabilité de X.

* Pour chaque personne il y a deux issues : client (succès) ou pas client.

* Sur 50 personnes interrogées, X désigne le nombre de succès.

H

B

(50 ; 0,06).

b. Quelle est la probabilité que la proportion de 6 % soit respectée à l'issue du sondage ? 6% de 50 personnes = 3 personnes. p(X = 3) = 0,2311

c. Quelle est la particularité de la probabilité trouvée à la question précédente ? C'est la probabilité la plus forte, car E(X) = 50×0,06 = 3

d. Quelle est la probabilité qu'aucune des 50 personnes ne soit cliente de "MAUVE" ? p(X = 0) = 0,04533

(5)

e. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 4 clients de "MAUVE" ? p(X ≥ 4) = 1 – p(X ≤ 3) = 1 – 0,6473 = 0,3527

2) Ici, on ne connaît pas le nombre de personnes que l'on va interroger. Combien de personnes faudrait-il interroger pour que la probabilité qu'il y ait au moins un client de "MAUVE" dépasse 99 % ?

p(X = 0) < 0,01 ssi 0,94ⁿ < 0,01 ssi n > ln(0,01)/ln(0,94) ssi n > 74,43 Il faut interroger au moins 75 personnes.

La loi de la variable aléatoire X est binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,06.

1) Calculer (liste calculatrice) p(X = k) pour k entier de 0 à 7.

On saisit manuellement les valeurs k demandées en List1 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 On saisit la formule générale en List2 : 50CList1*0,06^List1*0,94^(50-List1) On peut aussi utiliser l'outil "loi de Poisson" de sa calculatrice.

2) Justifier l'approximation de cette loi par une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre.

n > 30 ? oui (n = 50) ; p < 0,1 ? oui (p = 0,06) ; np < 10 ? oui (np = 3).

Donc il existe une loi de Poisson dont les résultats sont proches de la réalité.

λ = np = 3. La loi de Poisson à utiliser est la loi

P

(3).

3) Donner, à l'aide de votre calculatrice (et vérifier sur la table de la loi de Poisson), les probabilités demandées plus haut. Comparer à celles obtenues par une loi binomiale.

Dans la table de la loi de Poisson, on peut lire les valeurs ci-contre.

On remarque de légers décalages avec les probabilités trouvées en question a., mais ces deux listes sont similaires.

Exercice 11.

Le nombre de micro-ordinateurs vendus chaque jour dans le magasin HIGHTECH suit la loi de Poisson de paramètre 4. Donner ou calculer la probabilité que dans une journée :

a. On ne vende aucun ordinateur ^p

(

^X ⁼⁰

)

^≈^0,01832

b. On vende au moins un ordinateur ^p

(

^X ^{≥ = −}¹

)

^{1 p}

(

^X ⁼⁰

)

^≈^0,98168

c. On vende deux ordinateurs ^p

(

^X ^{= ≈}²

)

^0,14653

Exercice 12.

Lors d'un sondage national portant sur un grand nombre d'individus, seulement 2% des personnes acceptent de na pas rester anonymes. Vous décidez d'interroger au hasard 250 personnes.

1) Définir la variable aléatoire, déterminer sa loi de probabilité, puis justifier l'emploi d'une loi de Poisson (et donner son paramètre).

* Une personne acceptera de donner son nom (succès) ou pas.

* Sur 250 personnes interrogées, X désigne le nombre de celles qui auront donné leur nom.

H

B

(250 ; 0,02).

Vérifions les conditions de passage à une loi de Poisson : n > 30 ? Oui ; p < 0,1 ? Oui ; np < 10 ? np = 250×0,02 = 5 < 10

B

(250 ; 0,02) peut donc être approximée par

P

(5).

2) Donner ou calculer la probabilité que :

a. Ces 250 personnes souhaitent rester anonymes ;

( )

p X =0 ≈0,00674

(6)

____________________________________________________________________________

b. Au moins 5 personnes acceptent de ne pas rester anonymes.

( ) ( )

p X ≥ = −5 1 p X ≤4 ≈0,5595 (directement à la calculatrice) Exercice 13.

Une boîte contient 250 allumettes. Elle a été exposée à l’humidité, si bien que 20% des allumettes sont inutilisables : elles ne s’allumeront pas. On choisit au hasard 10 allumettes. La variable aléatoire X désigne le nombre de celles qui s’allumeront, parmi les 10.

1) Montrer que la loi de X peut se ramener à une loi binomiale dont on donnera les paramètres et l'espérance.

* Une allumette s’allumera (succès) ou pas. N = 250, a = 80% x 250 = 200

* Les allumettes sont testées selon le mode d’un tirage sans remise (p non constant).

* Sur 10 allumettes testées, X désigne le nombre de celles qui vont s’allumer.

H

(10 ; 200 ; 250), mais l’énoncé nous conduit à utiliser une loi binomiale.

Comme N > 20n (250 > 200), nous pouvons effectivement utiliser la loi

B

(10 ; 0,8).

E(X) = np = 8.

2) Calculer la probabilité des événements suivants :

a. Aucune ne s’allume ^p

(

^X ⁼⁰

)

⁼^C¹⁰⁰ ^×^0,8⁰^×^0,2¹⁰ ⁼^0,2¹⁰ ^≈¹⁰⁻⁷

b. Toutes s’allument ^p

(

^X ⁼¹⁰

)

⁼^C¹⁰¹⁰^×^0,8¹⁰^×^0,2⁰⁼^0,8¹⁰ ^≈^0,1074

c. Au moins trois ne s’allument pas

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

p X <8 = −1 p X > = −7 1 p X = −8 p X = −9 p X =10 = −1 0,3020−0,2684−0,1074≈0,3222 ou ^p

(

^X ^{≤ ≈}⁷

)

^0,3222 directement à la calculatrice.

3) a. Déterminer les probabilités ci-dessus en se basant sur une loi de Poisson de paramètre bien choisi.

λ = E(X) = 8 ; p(X = 0) = 0,00034 ; p(X = 10) = 0,09926 ; p(X < 8) = p(X = 0) + p(X = 1) + ... + p(X = 7) = 0,45296

b. Expliquer les différences observées entre les résultats des deux lois.

La loi de Poisson est plutôt inexacte, car les conditions d'approximation de la loi binomiale vers une loi de Poisson ne sont pas respectées : il faut n > 30, or n = 10, il faut p < 0,1, or p = 0,8…

Par contre, np < 10 est respectée, car np = 8.

Exercice 14.

Dans une population très nombreuse, on rencontre en moyenne 0,4 % de non-voyants.

1) Dans un échantillon de 100 personnes, quelle est la probabilité…

a. de n'avoir aucun non-voyant ?

* Une personne choisie est non-voyante (succès) ou pas.

* Les personnes sont choisies selon le mode d’un tirage sans remise (p non constant).

* Sur 100 personnes interrogées, X désignera le nombre de non-voyants.

H

(100 ; ? ; ?), qui ne peut pas être utilisée (des paramètres sont inconnus).

On fera l’hypothèse que N > 20n, ce qui nous autorise à considérer la probabilité de succès à chaque essai comme constante (et donc égale à 0,4% = 0,004) et à utiliser la loi

B

(100 ; 0,004).

( )

¹⁰⁰⁰

( ) (

⁰

)

¹⁰⁰

( )

¹⁰⁰

p X =0 =C × 0,004 × 0,996 = 0,996 ≈0,6698 b. qu'il y en ait au moins 2 ?

( ) ( ) ( )

¹⁰⁰¹

( ) (

¹

)

⁹⁹

p X ≥ = −2 1 p X = −0 p X = = −1 1 0,6698−C × 0,004 × 0,996 ≈0,06123 ou ^p

(

^X ^{≥ = −}²

)

^{1 p}

(

^X ^{≤ ≈}¹

)

^0,06123 directement à la calclatrice.

2) Répondre à ces questions en justifiant puis en utilisant la loi de Poisson appropriée.

n > 30 ; p < 0,1 ; np = 0,4 < 10. Donc

B

(100 ; 0,004) est bien approchée par

P

_(0,4)

D'après la table de la loi de Poisson (λ = 0,4) : ^p

(

^X ⁼⁰

)

^≈^0,6703

( ) ( ) ( )

p X ≥ = −2 1 p X = −0 p X = = −1 1 0,67032 0,26813− ≈0,06155

Ces résultats, légèrement faussés, sont tout de même très proches de la réalité (binomiale).

(7)

1) Considérons des données statistiques distribuées avec une majorité de valeurs centrales, sur une population relativement grande. Par exemple : des objets produits en grande quantité ont été pesés. Leur masse

théorique est 3,8 kg, le résultat statistique de la pesée de 200 objets est le suivant :

masse (kg) [3,5 ; 3,7[ [3,7 ; 3,77[ [3,77 ; 3,8[ [3,8 ; 3,83[ [3,83 ; 3,9[ [3,9 ; 4,1[

effectif 9 27 63 60 29 12

fréquence 0,045 0,135 0,315 0,3 0,145 0,06

Représentons l'histogramme des fréquences de cette série. En abscisses : la variable relevée (masse en kg), en ordonnées : la concentration de fréquences (en % d'individus par kg), aires des rectangles : proportionnelles aux fréquences Quelle est la probabilité qu'un objet tiré au hasard pèse moins de 3,77 kg ?

Il suffit d'additionner les fréquences des classes correspondantes : 0,045 + 0,135 = 18%.

2) Imaginons maintenant que les mesures aient été effectuées plus précisément et que les 200 résultats aient été collectés dans des intervalles plus nombreux et de moindre

amplitude. On obtient alors un nouvel histogramme des fréquences (chaque point est le milieu du sommet d'un rectangle)

On peut voir se dessiner une "courbe en cloche", caractéristique de nombreuses distributions statistiques observées concrètement (production, économie, biologie, écologie, etc…).

De quelle façon pouvons-nous trouver, à l'aide de cet histogramme, la probabilité qu'une pièce prise au hasard ait une masse inférieure à 3,7 kg ? Comprise entre 3,7 kg et 3,9 kg ?

Là aussi, il faudrait additionner les fréquences correspondantes, donc les aires des rectangles.

3) On pourrait envisager de peser un nombre beaucoup plus important de pièces, avec une précision maximale (donc un nombre très élevé d'intervalles). L'histogramme ne serait alors pas aisé à représenter : on s'en tiendrait au nuage de points, à l'image du graphique ci-dessus, très rapprochés, qui tendraient, à la limite, à former une courbe, modélisable par une fonction f.

Comment, à partir d'une telle fonction, calculer les probabilités demandées ci-dessus ?

Cette fois, la somme des aires des rectangles se traduit par l'aire de la zone située sous la courbe, à savoir l'intégrale de la fonction densité, entre les deux abscisses voulues.

Obtenir les probabilités demandées, à partir de la table de la loi normale centrée réduite et des formules mettant en relation des probabilités, puis contrôler les résultats à l'aide de l'outil "loi normale" de la calculatrice.

en vert : ce qui est directement lisible dans la table du formulaire

« = » : règle des deux transformations : p(U > –) = p(U < +) ; p(U < –) = 1 – p(U < +) ; p(U > +) = 1 – p(U < +) p(U < 1) = 0,8413 p(U < 1,96) = 0,9750 p(U < 2,58) = 0,9951

p(U > 1) = 1 – p(U < 1) = 1 – 0,8413 = 0,1587 p(U > 1,63) = 1 – p(U < 1,63) = 1 – 0,9484 = 0,0516 p(U > 0,35) = 1 – p(U < 0,35) = 1 – 0,6368 = 0,3632

p(1 < U < 2) = p(U < 2) – p(U < 1) = 0,9772 – 0,8413 = 0,1359

p(0,42 < U < 1,07) = p(U < 1,07) – p(U < 0,42) = 0,8577 – 0,6628 = 0,1949

(8)

____________________________________________________________________________

p(U < –1) = 1 – p(U < 1) = 1 – 0,8413 = 0,1587 p(U < –0,88) = 1 – p(U < 0,88) = 1 – 0,8106 = 0,1894 p(U > –0,5) = p(U < 0,5) = 0,6915

p(U > –2,23) = p(U < 2,23) = 0,9871

p(–1,85 < U < –1,07) = p(1,07 < U < 1,85) = p(U < 1,85) – p(U < 1,07) = 0,1101

p(–1,12 < U < 0,6) = p(U < 0,6) – p(U < –1,12) = p(U < 0,6) – (1 – p(U < 1,12)) = 0,5943 Exercice 17. (TD cours page 12)

Obtenir les probabilités demandées, en passant par la loi normale centrée réduite et sa table, puis contrôler les résultats à l'aide de l'outil "loi normale" de la calculatrice.

1) loi de X:

N

(50 , 10). Calculer p(X < 60), p(X < 43), p(45 < X < 55) p(X< 60) = p(U < 60 50

10

− ) = p(U < 1) = 0,8413

p(X < 43) = p(U < 43 50 10

− ) = p(U < –0,7) = 1 – p(U < 0,7) = 0,2420

p(45 < X < 55) = p(45 50 10

− < U < 55 50 10

− ) = p(–0,5 < U < 0,5)

= p(U < 0,5) – p(U < –0,5) = p(U < 0,5) – (1 – p(U < 0,5)) = 0,3830 2) loi de X :

N

(3 , 0,45). Calculer p(X > 4), p(X < 2,55), p(3,2 < X < 3,7)

p(X> 4) = p(U> 4 3 0,45

− ) = p(U> 2,22) = 1 – p(U < 2,22) = 0,0132

p(X < 2,55) = p(U < 2,55 3 0,45

− ) = p(U < –1) = 1 – p(U < 1) = 0,1587

p(3,2 3 0,45

− < U< 3,7 3 0,45

− ) = p(0,44 < U< 1,56) = p(U < 1,56) – p(U < 0,44) = 0,9406 – 0,6700 = 0,2706

Exercice 18.

La variable "masse d'un nouveau-né" suit ici la loi normale de moyenne 3,4 kg et d’écart-type 0,5 kg.

1) Quelle est la probabilité qu’un nouveau-né pèse plus de 4 kg ? p(masse > 4) = 0,1151 2) Quelle est la probabilité qu’un nouveau-né pèse moins de 3 kg ? p(masse < 3) = 0,2119 3) Quelle est la probabilité pour que sa masse soit comprise entre 3 kg et 4 kg ?

p(3 < masse < 4) = 1 – 0,1151 – 0,2119 = 0,673 Exercice 19. (TD cours page 13)

30 % des PME d'une région exportent. On doit choisir 80 PME au hasard et on désigne par X le nombre de celles qui exportent parmi les 80.

1) Quelle est la loi de probabilité de X et quels sont ses paramètres ?

Le choix des 80 entreprises s'effectue sans remise et la variable compte le nombre de succès (entreprises qui exportent). Sa loi est donc hypergéométrique, mais on ne connait pas la taille de la population.

2) Justifier qu'une loi binomiale peut être utilisée à la place de cette loi.

On suppose la population comme étant plus de vingt fois plus grande que l'échantillon, ce qui nous autorise à considérer la probabilité de succès constante, p = 0,3, et à utiliser une loi binomiale.

La loi de X est donc à peu près :

B

(80 ; 0,3).

3) Justifier qu'une loi normale peut être employée, donner ses paramètres.

n = 80 > 30 ; np = 24 > 5 ; nq = 56 > 5 Donc :

B

(80 ; 0,3) ≈

N

(24 ; √16,8 ≈ 4,1) 4) Avec cette loi normale, puis en vérifiant avec l'outil "loi binomiale" de la calculatrice, donner :

a. la probabilité que plus de 30 PME exportent, sur les 80.

p(X > 30,5) = 0,05644 ; loi binomiale : p(X > 30) = 1 – p(X 30) = 0,05875 b. la probabilité que 30 PME exportent, sur les 80.

p(X = 30) = p(29,5 < X < 30,5) = 0,03344 ; loi binomiale : p(X = 30) = 0,03285

(9)

Une compagnie a mis en ligne son site web marchand. Des tests ont montré qu'un problème de connexion apparaît en moyenne une fois sur 500. Pour son image de marque, elle considère qu'une mauvaise semaine compte plus de 50 problèmes de connexion et que dans l'année il ne faut pas plus de 5 mauvaises semaines.

1) Sachant que 20000 connexions hebdomadaires d'utilisateurs sont espérées pour les semaines à venir, construire la loi de probabilité discrète du nombre X de problèmes de connexions hebdomadaires.

Chacun des 20000 essais de connexion a une chance sur 500 de poser problème, soit une probabilité de succès p = 0,002, considérée invariable puisque c'est une donnée de l'énoncé. Sur 20000 essais, le nombre X de problèmes est donc une variable aléatoire distribuée par la loi

B

(20000 ; 0,002).

2) Déterminer la loi normale qui peut être utilisée dans ce cas.

n = 20000 > 30, np = 40 > 5 et bien sûr nq > 5. On peut donc utiliser une loi normale de manière efficace : la loi

N

(40 ; 6,318).

3) Quelle est la probabilité qu'une semaine donnée compte plus de 50 problèmes de connexion ? Avec cette loi normale : p(X > 50,5) = 0,04826.

4) Quelle est la loi de probabilité du nombre Y de mauvaises semaines dans l'année ?

La probabilité précédente est celle de succès (mauvaise semaine), invariable d'une semaine à l'autre.

La variable Y est donc distribuée par la loi

B

(52 ; 0,04826).

5) Quelle est la probabilité que Y dépasse 5 ?

Avec l'outil loi binomiale de la calculatrice, on a : p(Y > 5) = 1 – p(Y 5) = 0,03854.

Exercice 21.

Une société fabrique des gyrophares pour tous types d’engins, en grandes quantités. La probabilité qu’un gyrophare soit défectueux est p = 0,04. Au cours de la production, on prélève un échantillon aléatoire de 600 gyrophares. X est la variable aléatoire qui donne le nombre de gyrophares défectueux parmi ces 600.

1) Montrer que la distribution de la variable X est binomiale et donner ses paramètres.

Chaque gyrophare est défectueux (succès), ou non, avec une probabilité de succès p = 0,04 considérée comme invariable si on estime la quantité produite supérieure à vingt fois 600.

La variable X est le nombre de succès parmi 600 articles. Donc, la loi de X est

B

(600 ; 0,04).

2) Montrer qu’on peut approximer cette loi par une loi normale.

n = 600 > 30, np = 24 > 5 et bien sûr nq > 5 : une loi normale approche correctement cette loi binomiale.

3) Déterminer µ^etσ, moyenne et écart type de la variable X selon cette loi normale.

np = 24 et npq= 4,8. La loi normale est

N

(24 ; 4,8).

4) Donner alors la probabilité d’avoir au moins 27 gyrophares défectueux parmi les 600.

p(X > 26,5) = 0,3012 Exercice 22.

Un agent commercial fait du phoning. En moyenne, un appel sur cinq conduit à une commande.

1) Soit X la variable aléatoire “nombre de commandes obtenues en 60 appels”.

a. Donner le nom et les paramètres de la loi de probabilité de X.

Un appel se conclut par une commande (succès) ou pas. La probabilité de succès, invariable, est p = 1/5

= 0,2. Donc, la loi de X est binomiale :

B

(60 ; 0,2).

b. Justifier que cette loi peut être approximée par une loi normale, dont on donnera les paramètres.

n =60 > 30, np = 12 > 5 et nq = 48 > 5, donc nous pouvons utiliser une loi normale à la place de la loi binomiale. np = 12 et npq= 3,098. La loi normale est

N

(12 ; 3,098).

c. En utilisant cette loi normale, calculer les probabilités d'avoir plus de 15 commandes, moins de 10 commandes, exactement 12 commandes.

* p(X > 15,5) = 0,1293 * p(X < 9,5) = 0,2098

(10)

____________________________________________________________________________

* p(X = 12) peut être calculée avec la loi normale ou avec la loi binomiale.

N

(12 ; 3,098) : p(X = 12) = p(11,5 < X < 12,5) = 0,1282

B

(60 ; 0,2) : p(X = 12) = C¹²₆₀×0,2¹²×0,8⁴⁸ = 0,1278

2) Quel est le nombre minimal d’appels qu’on doit passer pour avoir au moins 95% de chances d’obtenir au moins 15 commandes ?

Avec n appels, la loi de X est

B

(n ; 0,2), approximée par

N

(0,2n ; n×0,2 0,8× ) =

N

(0,2n ; 0,4 n).

Le changement de variable, entre X et U, est : 0,2 0,4

X n

U

n

= − .

D’un autre côté, la table de la loi normale centrée réduite nous informe que u0 doit être inférieur à –1,645 pour que p(U > u0) dépasse 95%.

Nous devons donc avoir 14,5 0,2

1,645 0,4

n n

− < − ⇔ 0,2n – 0,658 n – 14,5 > 0.

On peut tester quelques valeurs de n, ou résoudre cette équation (en posant n = N²).

On trouve que n doit être supérieur à 106 :

Il faut passer 107 appels pour avoir 95% de chances d’obtenir au moins 15 commandes.

Exercice 23.

En moyenne on se fait contrôler une fois tous les 20 trajets en bus. Mme Gruj fait 800 trajets par an.

1) Quelle est la probabilité que Mme Gruj soit contrôlée entre 30 et 50 fois dans l’année ? Chaque voyage conduit à un contrôle (succès, probabilité invariable : p = 1/20 = 0,05) ou non.

Soit X le nombre aléatoire de contrôles durant 800 trajets. La loi de X est

B

(800 ; 0,05).

n = 800 > 30, np = 40 > 5 et npq > 5, donc nous sommes en droit d’utiliser une loi normale à la place de la loi binomiale. np = 40 et npq= 6,164. La loi normale est

N

(40 ; 6,164). p(29,5 < X < 50,5) = 0,9118.

2) Mme Gruj voyage toujours sans billet. L’abonnement annuel serait 320 €. A combien l'amende doit-elle être fixée pour qu’au moins 99% des fraudeurs aient meilleur compte de prendre un abonnement ?

Cherchons le nombre de contrôles x0 que l’on a 99% de chances de dépasser : p(U > u0) = 0,99 donne u0 = –2,33 et, par changement de variable : x0 = 25,66. 99% des gens seront contrôlés au moins 25 fois.

Donc, 25 amendes doivent coûter plus cher que l’abonnement (320 €), soit une amende de 12,80 €.

1) Dans une population normale avec µ^{= 120 et}σ = 40, on prélève des EAS de tailles n = 10 et n = 50.

a. Quelle loi suit la distribution d'échantillonnage des moyennes des échantillons de taille 10 ? 50 ? Soit X la variable « valeur d’un individu quelconque dans la population », de loi

N

(120 ; 40).

La variable X désigne donc la valeur moyenne d’un échantillon quelconque de n individus.

En EAS, la loi de X est

N

_{(120 ;} ⁴⁰

n ). Pour n = 10 :

N

(120 ; 12,65) et pour n = 50 :

N

(120 ; 5,657).

b. Représenter schématiquement ces deux distributions de moyennes sur un même graphique.

(la plus étalée est celle dont l’écart type est le plus grand)

(11)

c. Quelle est la probabilité pour qu'un échantillon de taille 10 ait une moyenne supérieure à 130 ? p(X> 130) = 0,2146

d. Même question pour un échantillon de taille 50.

p(X> 130) = 0,03855

2) Dans la population mondiale, on a compté environ 3,38 milliards de femmes contre 3,12 milliards d'hommes. P est la v.a. donnant la proportion de femmes dans les échantillons de taille 100 personnes.

a. Quelle est la loi de probabilité de P ?

La proportion de femmes dans le monde était alors : 3,38 6,5 0,52

π = = .

Considérant que l’on est en EAS (manifestement, la population est plus de 20 fois plus grande que l’échantillon), la loi de P est : ^,

(

¹

)

^0,52^; ^{0,52 0,48}

(

0,52 0,04996^;

)

n 100

π π

π −   × 

 =  =

   

 

N N N

_.

(on attend majoritairement des échantillons contenant 52% de femmes, plus ou moins 5%) b. Quelle est la probabilité que parmi 100 personnes il y ait plus d'hommes que de femmes ?

Cette situation signifie P < 0,5. p(P < 0,5) = 0,3445. 34,45% des groupes de 100 personnes contiennent plus d’hommes que de femmes.

Exercice 25.

Une usine fabrique des ampoules LED et affirme que la durée de vie d’une ampoule est une variable aléatoire normale de moyenne 60 000 heures et d’écart type 10 000 heures.

Calculer la probabilité pour que dans un échantillon aléatoire simple de 100 ampoules la durée de vie moyenne des ampoules dépasse 62 000 heures.

Soit X la variable "durée de vie d'une ampoule", de loi

N

(60 ; 10). X désignera donc la "durée de vie moyenne d'un échantillon de 100 ampoules" et sa loi est

N

(60 ; 10/√100) =

N

_{(60 ; 1).}

p(X > 62) = 0,0228 Exercice 26.

Un candidat a obtenu 55 % des suffrages exprimés à une élection.

1) Quelle est la probabilité qu'il ait eu, dans un échantillon de 100 personnes, moins de 50 % de voix ?

La proportion de personnes ayant voté pour le candidat, dans les échantillons de taille 100, est une variable aléatoire réelle P dont la loi est

N

(0,55 ; √(0,55×0,45/100)) =

N

(0,55 ; 0,04975). p(P < 0,5) = 0,1574 2) Même question pour un échantillon de 2000 personnes.

Ici, la loi de P est

N

(0,55 ; 0,01112). p(P < 0,5) = 0,000003456

3) Combien de personnes faut-il interroger pour que la probabilité que moins de 50 % d'entre elles aient voté pour lui passe en-dessous de 1 % ?

Reprenons le raisonnement dans le sens contraire : p(U < -u0) < 0,01 signifie que p(U > u0) < 0,01, donc que p(U < u0) > 0,99 ce qui est vrai lorsque u0 vaut au moins 2,33.

Le changement de variable entre P et U est

0,55 0,45 U P

n π

= −

× .

Il faut donc que 0,05 0,55 0,45 2,33

2,33 0,55 0,45 537,46

2,33 0,05

0,55 0,45

P n n

n n

π

− < − ⇔ − > × ⇔ > × × ⇔ >

× −

Il faut interroger au moins 538 personnes pour que la probabilité que moins de 50% d'entre elles aient voté pour ce candidat passe en-dessous de 1%.

(12)

____________________________________________________________________________

Exercice 27.

Dans une région, pendant la période estivale, on admet que le nombre de touristes présents dans une journée suit une loi normale de moyenne 50 000 et d'écart-type 8 000.

1) La préfecture estime que le tourisme est "gérable" (accueil, environnement, nuisances, …) lorsque la probabilité d'accueillir moins de 55 000 personnes dans une journée dépasse 70 %. Est-ce le cas ? p(X < 55000) = 0,7340 > 70%.

2) Elle souhaite réfléchir sur la base d'échantillons de 10 journées de vacances.

a. Quelle loi suit la variable X : "nombre moyen journalier de vacanciers sur 10 jours" ? X a pour loi

N

(50000 ; 8000/√10) =

N

(50000 ; 2530)

b. Quelle est la probabilité que, sur 10 jours, ce nombre journalier moyen soit inférieur à 55 000 ? p(X < 55000) = 0,9759

Exercice 28.

Une population, contenant de nombreux individus, passe un test de Q.I. Les résultats forment une variable aléatoire X normale de moyenne µ = 102 et d’écart type σ^{= 15.}

1) Quelle est la probabilité pour qu'un individu pris au hasard ait un QI inférieur à 100 ? (attention : le QI d’un individu est une variable discrète qui ne peut prendre que des valeurs entières) p(X < 99,5) = 0,4338 2) On veut analyser les résultats de quelques échantillons de cette population. Pour cela, on formera des

groupes de 20 individus, choisis par échantillonnage aléatoire simple (EAS), et on calculera le QI moyen de chaque groupe.

a. Donner les paramètres de la loi normale selon laquelle se distribuent les QI moyens de tous les échantillons possibles de taille 20. moy : 102 ; écart type : 15/√20 = 3,354

b. Quelle est la probabilité pour que notre groupe sélectionné ait un QI moyen inférieur à 100 ? (le QI moyen de plusieurs individus n’est pas une variable discrète, il est à valeurs réelles)

p(X < 100) = 0,2755

c. Au lieu de 20, combien d'individus faudrait-il choisir au hasard pour avoir moins de 5% de risque que le QI moyen de ce nouveau groupe soit en-dessous de 100 ?

p(X < 100) < 0,05 ssi p(U < –u) < 0,05 (avec –u négatif) ssi p(U < u) > 0,95 ssi u ≥ 1,645.

Sachant que u vaut aussi 2/(15/√n) = 2√n /15 d'après le changement de variable, on obtient

√n > 1,645×15/2 = 12,33. n > 152,21. Il faut choisir au moins 153 personnes.

3) a. Quelle est la proportion d'individus de la population dont le QI est inférieur à 100 ? Sur la population, π = 0,4338.

b. Quelle est la probabilité pour que sur un groupe de 20 personnes cette proportion dépasse 50 % ? La variable P, proportion d'individus de QI < 100 dans un échantillon de 20 personnes, a pour loi

N

_,

(

¹

)

n

π π

π − 

 

 

=

N

(0,4338 ; 0,1108). p(P > 0,5) = 0,2751

Exercice 29.

Un ascenseur peut supporter une charge de 580 kg. On admet que la masse d'une personne est une variable aléatoire normale

N

₍_µ_,_σ_{) avec}_µ = 70 kg et σ = 16 kg. Quel nombre maximal de personnes devez-vous autoriser si vous voulez que le risque de surcharge ne dépasse pas 1%?

On peut considérer un groupe de n personnes montant dans l'ascenseur comme un échantillon. La moyenne et l'écart type individuels étant donnés, nous pouvons en déduire la distribution des masses moyennes des échantillons de taille n :

N

(70 ; 16/√n). La masse totale des personnes présentes dans cet ascenseur est donc distribuée par les paramètres précédents, amplifiés d'un facteur n :

N

(70n ; 16√n).

En loi normale centrée réduite, la valeur de U qui n'a que 1% de risque d'être dépassée est 2,33.

La formule du changement de variable X

U = −moyenne

écart type se traduit donc ainsi : n n

=580 70− 2,33

16 .

(13)

On peut tenter de résoudre l'équation ou tester quelques valeurs de n ; le résultat étant que pas plus de 6 personnes ne peuvent être autorisées à monter dans l'ascenseur (au-delà, n

n

− 580 70

16 passe en-dessous de 2,33 et donc la probabilité critique passe au-dessus de 1%).

Un échantillon d'entreprises d'un secteur a donné la série statistique suivante :

chiffre d'affaires (M€) [0 ; 2[ [2 ; 3[ [3 ; 4[ [4 ; 5[ [5 ; 7[

effectifs 6 12 17 10 5

1) Donner une estimation ponctuelle du CA moyen et de l'écart type du CA de l'ensemble des entreprises de ce secteur.

estimation de µ^:µ^ˆ= ≈^x 3,41 M€ ; estimation de σ^: ^ˆ

1 s n

σ = n ≈

− 1,358 M€

2) Donner une estimation de leur CA moyen par intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %.

σ est supposé inconnu ; on fait donc intervenir une loi de Student.

ddl = n – 1 = 49 ; confiance : 95%, donc α = 0,05 ; ainsi : t = 2,010 (table de la loi de Student)

; 1,3442; 1,3442

3,41 2,01 3,41 2,01

7 7

1 1

s s

I x t x t

n n

α

   

= − − + − = − × + ×  = [3,024 ; 3,796] (M€).

3) Donner une estimation ponctuelle de la proportion d'entreprises dont le CA dépasse 4,5 M€.

D’après le tableau, 10 entreprises ont un CA dépassant 4,5 M€, soit une proportion de l’échantillon : p = 10/50 = 0,2. Estimation ponctuelle de π^:π^ˆ= =^p ^0,2

4) Donner une estimation de cette proportion par intervalle de confiance au seuil de risque de 1 %.

On se servira de _I _p _u ^p

(

¹ ^p

)

_;_p _u ^p

(

¹ ^p

)

n n

α

 − − 

= − + 

 

 

. loi

N

(0, 1) ; confiance : 99%, soit risque α^{= 0,01} et donc on cherche u tel que p(U < u) = 0,995 : u = 2,58.

( )

_;

( )

I_α

 − − 

= − + 

 

 

0,2 1 0,2 0,2 1 0,2

0,2 2,58 0,2 2,58

50 50 = [0,054 ; 0,3459] = [5,4% ; 34,59%].

Exercice 31.

On a pesé le raisin sur 10 souches prises au hasard dans une vigne et on a obtenu les résultats suivants en kilogrammes : 2,4 ; 3,2 ; 3,6 ; 4,1 ; 4,3 ; 4,7 ; 5,3 ; 5,4 ; 6,5 ; 6,9.

1. Calculer la masse moyenne et l’écart type de cet échantillon.

La moyenne de la série est 4,64 kg et son écart type 1,348 kg. (calculatrice : mode stat, 1 variable) 2. Estimer la variance de la population dont ont été extraites ces souches.

2 2 10 2

1,348 2,019

1 9

n s

σ =n = × =

−

3. Donner un intervalle de confiance de la moyenne de la population au risque de 0,05.

L'écart type de la population étant inconnu, la loi de référence sera celle de Student.

L'intervalle de confiance de µ au seuil de 5% est : _{0 05}, ;

1 1

s s

I x t x t

n n

 

= − + 

− −

  où t = 2,262 (ddl = 9 et

α = 0,05). ^I^0,05⁼^ ⁻ ^× ^; ⁺ ^× ^⁼

[

^;

]

1,348 1,348

4,64 2,262 4,64 2,262 3,624 5,656

3 3

(14)

____________________________________________________________________________

4. Calculer le nombre minimum de souches qu’il aurait fallu étudier pour que cet intervalle ait une amplitude de 1 kg en supposant que la variance estimée est bien celle de la population.

L'hypothèse que la variance estimée (2,019) est bien celle de la population nous permet de construire un intervalle de confiance sur la base d'une loi normale : I x u ;x u

n n

α ₌^ ₋ σ ₊ σ ^

 

 ^dont^u n

σ est la demi-

amplitude. On nous impose donc : u n

σ = 0,5. Or u = 1,96 car α^{= 5%, et}σ = 2,019≈1,421 kg par

hypothèse. u n

σ = 0,5 donne n ≈5,57 et n = 31,02. Il faut donc un échantillon d'au moins 31 souches pour que l'amplitude de l'intervalle de confiance devienne inférieure à 1 kg.

Exercice 32.

Un laboratoire souhaite analyser l'état de contamination des arbres par une pollution des sols dans un territoire donné. Pour cela, un échantillon de 1000 arbres a été examiné : 142 arbres sont touchés.

Donner une estimation de la proportion π d'arbres touchés dans la population de ce territoire, par intervalle de confiance au seuil de risque de 10 %.

La proportion p relevée dans l'échantillon est 0,142. L'intervalle de confiance de π, proportion de la

population, au seuil de 10% est : 0,142 0,858 ^; 0,142 0,858

[

^;

]

0,142 1,645 0,142 1,645 0,124 0,160

1000 1000

 − × + × =

 

 

.

Exercice 33.

Dans la gestion d’un silo à blé, on s’interroge sur le stock de sécurité à prévoir pour « être sûr » à 99 % de pouvoir satisfaire le client à tout moment. Pour cela, pendant 15 semaines, on observe la consommation hebdomadaire de blé (en tonnes) c’est à dire la quantité de blé retirée du silo chaque semaine. On obtient les résultats suivants :

Consommation en tonnes 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 Effectifs (nombre de semaines) 1 0 2 3 5 2 1 1 1) Déterminer la moyenne x et l’écart type s de cette série.

x = 4,973 et s = 0,1652 , en tonnes

2) Soit X la variable aléatoire qui, à une semaine passée ou future, associe la consommation de blé (en tonnes) cette semaine-là. On suppose que la loi de X est normale

N

₍_µ_,_σ_).

a. Déduire de la question 1) l'estimation ponctuelle de µ et celle de σ^. Estimations : µˆ= =x 4,973tonnes et ˆ 15

0,1652 0,1710

1 14

s n tonne

σ = n ≈ ≈

−

b. Dans la loi normale munie des deux paramètres trouvés en question 2)a., quelle valeur de X a-t-on 99%

de chances de ne pas dépasser ? Conclure sur la question générale de l'énoncé.

Pour la loi

N

(0 ; 1), p(U < 2,33) = 0,9901.

Valeur de X correspondant à u = 2,33 : x = 2,33σ⁺µ^{= 5,371}

On peut estimer en première approche qu'avec un stock de secours hebdomadaire de 5,371 tonnes on pourra satisfaire la clientèle dans 99% des cas.

3) a. En utilisant l’échantillon de 15 semaines, déterminer une estimation de µ par un intervalle de confiance à 99%. (on considérera, et c'est le cas, que σ est inconnue)

σ étant inconnu, on utilise la loi de Student, à 14 ddl.

L'intervalle cherché est : I = [4,973 - 2,977×0,1652/√(14) ; 4,973 + 2,977×0,1652/√(14)] = [4,842 ; 5,104]

b. Quelle est la probabilité que µ soit supérieure à la borne supérieure de cet intervalle ? p(µ > 5,104) = 0,5%

(15)

Exercice 34.

Une entreprise veut se spécialiser dans la livraison de colis volumineux. Elle fait un état de ceux qu'elle a déjà eu l'occasion de transporter et le considère comme un échantillon représentatif de l'ensemble des colis futurs.

série statistique des colis déjà transportés :

volume en litres 200 à 400 400 à 500 500 à 600 600 à 1000

effectifs (nb colis) 15 40 60 10

1) Donner une estimation ponctuelle de la moyenne et de l'écart type du volume des futurs colis.

volume en L 300 450 550 800

effectifs (nb colis) 15 40 60 10

x = 508 L et s = 118,1 L

Estimation ponctuelle de µ : 508 L. Estimation ponctuelle de σ : 118,1×√(125/124) = 118,5 L.

2) Estimer le volume moyen des futurs colis par un intervalle de confiance à 99%.

σ étant inconnu, on détermine le coefficient t d'une loi de Student à 124 ddl au seuil de 1% : t = 2,576.

I = [508 - 2,576×118,1/√124 ; 508 + 2,576×118,1/√124] = [480,7 ; 535,3]

loi normale acceptée, au lieu de Student, avec u = 2,58

3) Dans cette question, on considère que l'écart type des futurs colis est connu et vaut l'estimation que vous en avez faite dans votre réponse à la question 1.

A quel niveau de confiance correspondrait un intervalle d'amplitude 50 L ? Interpréter.

La demi-amplitude de cet intervalle de confiance est u×118,5/√125 = 10,6u et doit valoir 25 d'après l'énoncé. Donc u doit valoir 2,36. p(-2,36 < U < 2,36) = 2×0,9909 - 1 = 0,9818.

Le niveau de confiance cherché est 98,18%, pour un intervalle d'amplitude 50 L qui est donc [483 ; 533].

Il y a donc 98,18% de chances que le volume moyen des futurs colis soit dans cet intervalle.

(16)

____________________________________________________________________________

On effectue 120 lancers d'un même dé. On obtient les résultats suivants :

nombre obtenu 1 2 3 4 5 6

effectif observé 26 15 14 24 25 16 effectif théorique

Peut-on considérer au vu de cet échantillon que le dé est juste (non truqué) au seuil de 0,02 (2 %) ? Organisons un tableau :

nombre obtenu 1 2 3 4 5 6

effectif observé 26 15 14 24 25 16

effectif théorique 20 20 20 20 20 20

(

^{obs th}

)

th

− ² _1,8 _1,25 _1,8 _0,8 _1,25 _0,8 _7,7

Hypothèse nulle : la distribution observée est conforme à la théorie Variable de décision :

Valeur de la variable aléatoire

χ

² calculée entre l'échantillon et la théorie :

χ

^²^calc^{= 7,7}

Détermination de la zone de non rejet de H0 :

Seuil de risque : α = 1 - p = 2% Nombre de ddl : k - 1 = 5 Valeur de la variable aléatoire

χ

² limite avant rejet :

χ

^²^lim^{= 13,39}

Comparaison et décision :

Au seuil de 2%, on ne peut rejeter H0.

Dit autrement : on ne peut dire avec 98% de confiance que le dé est truqué.

Exercice 36.

Une expérience consiste à essayer une épreuve trois fois de suite avec à chaque fois une chance sur trois de succès. X est la variable aléatoire qui prend pour valeurs 0, 1, 2 ou 3 : nombre de succès à l'issue de

l'expérience.

1) Justifier que p(X = 0) = 8/27, p(X = 1) = 12/27, p(X = 2) = 6/27 et p(X = 3) = 1/27.

La probabilité de succès étant invariable, le nombre de succès au bout de trois épreuves est distribué en probabilité par la loi binomiale

B

(3 ; 1/3), grâce à laquelle on aura les probabilités données.

2) On réalise l'expérience 54 fois.

a. Compléter le tableau suivant :

succès obtenus 0 1 2 3 total

nombre réel observé d'expériences 20 14 16 4 54 nombre théorique d'expériences 16 24 12 2 54 ex : « 0 succès » s’obtient en moyenne 8 fois tous les 27 essais, donc 16 fois sur 54

b. En effectuant un test du χ², dire, au seuil de 5 %, si les résultats observés sont compatibles avec les résultats théoriques attendus.

Hypothèse nulle H0 : le dé n'est pas truqué calcul des Khi² partiels : (obs - th)²/th

1 4,16667 1,3333 2 total : 8,5

Valeur de la variable aléatoire χ²observée sur l'échantillon : Khi²calc = 8,5

Valeur du Khi² limite à ne pas dépasser, au seuil de 5%, avec 3 ddl : Khi²lim = 7,815

Décision : Au seuil de 5%, on peut rejeter H0. (on prend moins de 5% de risques de se tromper en rejetant l'hypothèse nulle de conformité des résultats observés).

(17)

Exercice 37.

Rassemblons dans un tableau les éléments chiffrés dont nous aurons besoin :

entreprise A B C D E

budget internet (k€) 47 55 58 63 72

budget global (k€) 558 545 587 560 585

taux int/global observé 0,084229 0,100917 0,098807 0,1125 0,123077

10% du budget global 55,8 54,5 58,7 56 58,5

χ² partiels 1,387814 0,004587 0,008348 0,875 3,115385 Partie 1 : estimation

1) Déterminer dans cet échantillon la proportion d'entreprises pour lesquelles le budget internet dépasse 10% du budget global.

3 entreprises sur 5 sont dans ce cas, soit une proportion p = 3/5 = 0,6.

2) a. Déterminer l'intervalle de confiance à 95% de la proportion qui pourrait être observée dans l'ensemble des groupes français du même secteur.

La formule donne, avec p = 0,6 et u = 1,96 : I = [0,1706 ; 1,0294]

(on peut remarquer que cet intervalle est très large puisqu'une proportion est systématiquement comprise entre 0 et 1 ; l'intervalle dépasse même 1 !)

b. Cet ensemble se compose en fait de 58 groupes. Combien, au minimum, peut-on dire avec un degré de confiance de 80 % qu'ils ont un budget internet dépassant 10% du budget global ?

La probabilité d'être inférieur à ce nombre vaut 20%. C'est donc la borne inférieure d'un intervalle de confiance à 60%, pour lequel u = 0,85. La proportion correspondante est

0,6 0,4

0,6 0,85 0,4138

5

− × = et 41,38% de 58 entreprises donnent 24 entreprises.

Partie 2 : test

Effectuer un test du Khi-deux pour dire, au seuil de 5%, si les budgets internet observés pour ces cinq entreprises sont conformes à un budget internet valant 10% de leur budget global.

Le tableau au-dessus donne les Khi² partiels obtenus, dont le total vaut 5,391 (Khi²calc).

Pour 4 ddl et un seuil de 5%, la table donne Khi² limite = 9,488.

Donc au seuil de 5% on ne peut rejeter l'hypothèse qu'en France le budget internet représente 10% du budget global de communication.

Exercice 38.

Une étude a été conduite dans un échantillon de 50 entreprises de plasturgie. Sur chacune d'elles, on a relevé le résultat net de l'année 2016. La liste des résultats nets forme une variable que l'on note R, exprimée en M€.

Le tableau ci-dessous donne une répartition par classes des entreprises :

Résultat net R (M€) [-1 ; 1[ [1 ; 1,5[ [1,5 ; 2[ [2 ; 3[ [3 ; 5[

effectifs (nombre d'entreprises) 3 10 18 15 4

Partie 1 : estimation

1) Donner la moyenne et l'écart type du résultat net observé.

x = 1,950 et s = 0,8761 (en M€)

2) Ces 50 entreprises représentent un échantillon aléatoire simple pris parmi un grand nombre d'entreprises. Donner un intervalle de confiance à 99% du résultat net moyen de la population d'entreprises (on notera que l'écart type de la population est inconnu).

σ étant inconnu, on recherche le coefficient t (Student) à 49 ddl, pour α = 1% : 2,680.

L'intervalle cherché est alors : [1,615 ; 2,285].

(18)

____________________________________________________________________________

Partie 2 : test

L'objectif consiste ici à tester l'hypothèse que distribution des résultats nets des 50 entreprises est en accord avec la distribution normale

N

(2 ; 0,9) pour la population.

1) Soit une variable aléatoire X de loi normale de moyenne 2 et d'écart type 0,9.

a. Calculer p(-1 < X < 1) ; p(1 < X < 1,5) ; p(1,5 < X < 2) ; p(2 < X < 3) ; p(3 < X < 5).

p(-1 < X < 1) = 0,1328 p(1 < X < 1,5) = 0,1560 p(1,5 < X < 2) = 0,2107 p(2 < X < 3) = 0,3667 p(3 < X < 5) = 0,1328

b. Montrer que si ces probabilités étaient respectées dans l'échantillon de 50 entreprises, alors on obtiendrait la distribution d'effectifs théoriques suivante : 6,642 ; 7,8 ; 10,537 ; 18,337 ; 6,642 (dans l'ordre du tableau).

En multipliant les probabilités trouvées précédemment par 50, on trouve bien cette liste.

2) a. Effectuer un test du Khi-2, en comparant la distribution des effectifs observés et celle des effectifs théoriques, pour dire si, au seuil de 5%, on peut rejeter la distribution

N

(2 ; 0,9) pour R.

En comparant la liste d'effectifs observés (3 ; 10 ; 18 ; 15 ; 4) à la liste théorique ci-dessus, on obtient la liste des Khi-2 partiels : 1,996663421 ; 0,620606224 ; 5,285536856 ; 0,607268869 ; 1,050632649.

Le Khi-2 calculé en est la somme : 9,56. Pour une loi du Khi-2 à 4 ddl avec α = 5%, on trouve sur la table Khi-2 limite = 9,488.

On peut rejeter, au seuil de 5%, l'hypothèse selon laquelle le résultat net a pour loi

N

(2 ; 0,9).

b. Que signifie ce seuil de 5% pour votre conclusion ?

En rejetant cette hypothèse d'adéquation, on prend moins de 5% de risque de se tromper.

Exercice 39.

L'examen de 320 familles ayant 5 enfants s'est traduit par la distribution du tableau suivant.

Ce résultat est-il incompatible avec l'hypothèse que la naissance d'un garçon et d'une fille sont des événements équiprobables ?

enfants 5 garçons 4 garçons 3 garçons 2 garçons 1 garçon 0 garçon 0 fille 1 fille 2 filles 3 filles 4 filles 5 filles

effectif 18 56 110 88 40 8

La difficulté vient ici du calcul des effectifs théoriques attendus, car cela nous impose de calculer les probabilités que dans une famille de cinq enfants on ait tant de garçons et tant de filles (dans la situation

« garçon/fille équiprobables). Commençons par cela.

Un enfant est une fille (succès, p = 0,5 est invariable) ou un garçon (échec, q = 0,5).

Au bout du choix de cinq enfants (n = 5), X désigne le nombre de succès.

B

(5 ; 0,5) et l’application de la formule en loi binomiale permet d’obtenir les probabilités de toutes les valeurs possibles de X (voir tableau ci-dessous : « prob »).

Enfin, il suffira de multiplier ces probabilités par 320 pour obtenir les nombres de familles théoriquement attendus dans chaque catégorie (« eff th »).

enfants 5 garçons 4 garçons 3 garçons 2 garçons 1 garçon 0 garçon 0 fille 1 fille 2 filles 3 filles 4 filles 5 filles

eff obs 18 56 110 88 40 8

prob 0,03125 0,15625 0,3125 0,3125 0,15625 0,03125

eff th 10 50 100 100 50 10

Khi2 6,4 0,72 1 1,44 2 0,4

Le Khi2 total de ce tableau est : Khi²calc = 11,96 Valeurs des Khi² limites : 13,39 pour 2%, 11,07 pour 5%

Au seuil de 2%, on ne peut rejeter H0.

On peut rejeter H0 à un seuil de risque au moins égal à 5% d'après la table. Le seuil de risque correspondant à χ² = 11,96 est compris entre 2% et 5% ; autrement dit : on peut se permettre de rejeter l'hypothèse nulle d'équiprobabilité avec un niveau de confiance de 95%, mais pas de 98%.

(19)

Un marchand de légumes a contacté un nouveau fournisseur. Ce dernier prétend que ses haricots mesurent 10 cm en moyenne. Si cette valeur est plausible, voire si l'estimation qu'on peut en faire est supérieure, alors le marchand décidera de choisir ce fournisseur. Son choix sera contraire si un échantillon donne une moyenne trop basse. Le marchand sait d'après son expérience que l'écart type des longueurs est 2,3 cm pour cette variété de haricots. Il fixe son seuil de risque a à 5% et prélève un échantillon de 25 haricots dans lequel il trouve une longueur moyenne de 9,5 cm. Devra-t-il refuser d'acheter ?

a. Choix des hypothèses : Hypothèse nulle : H0 : µ = 10 ; hypothèse alternative : H1 : µ < 10 (test unilatéral à gauche : on refusera d'acheter ces haricots si on juge très probable que leur longueur moyenne est inférieure à 10 cm).

b. Choix de la statistique : Sous l'hypothèse H0, la loi deX est

N

_{(10 ;} ^2,3

25) =

N

(10 ; 0,46).

c. Zone de rejet : la valeur ulim à gauche de laquelle se trouve la zone de rejet (prob = 5%) est –1,645.

d. Règle de décision : La valeur uobs correspondant à la moyenne trouvée sur l'échantillon est

obs

10 1,09

0,46

u = x− = − . N'étant pas dans la zone de rejet, elle ne nous permet pas de rejeter l’hypothèse nulle selon laquelle la taille moyenne des haricots de la population vaut 10 cm (ou plus), au seuil de 5%.

C’est à dire : on ne peut affirmer avec 95% d’assurance que cette moyenne est inférieure à 10 cm.

Une carrière doit exploiter 300 tonnes de minerai en moyenne journalière, ni plus, ni moins. On admet que la masse journalière de minerai extrait se distribue normalement. Des quantités examinées sur 10 jours ont donné les résultats suivants, en tonnes :

302 287 315 322 341 324 329 345 392 289

Peut-on considérer au vu de cet échantillon que l'exploitation est conforme, au risque α^{de 5% ?}

a. Choix des hypothèses : Hypothèse nulle : H0 : µ = 300 ; hypothèse alternative : H1 : µ ≠ 300 (test bilatéral à gauche : on dira que l'exploitation est non conforme si on juge très probable que la production journalière est inférieure à 300 tonnes ou si on juge qu'elle est supérieure).

b. Choix de la statistique : sous H0, et avec σ inconnu, la loi deX est

St

_{(300 ;}

9

s ) =

St

(300 ; 9,74).

c. Zone de rejet : (9 ddl, α = 1%) les valeurs tlim au-delà desquelles se trouve la zone de rejet sont ±2,262.

d. Règle de décision : la valeur tobs issue de la moyenne trouvée sur l'échantillon est _obs 300

2,526 9,74

t = x− = . Etant dans la zone de rejet, elle nous permet de rejeter l’hypothèse nulle selon laquelle la production moyenne est 300 tonnes/jour, au seuil de 5%. C’est à dire : on peut dire avec 95% d’assurance que cette moyenne est différente de 300 t/j.

Exercice 42.

Un fabricant de cordes affirme que les objets qu’il produit ont une tension de rupture moyenne de 300 kg et un écart type égal à 30 kg. On admet que la tension de rupture suit une loi normale. Des expériences faites sur 10 cordes ont permis de constater les tensions de rupture suivantes :

251 277 255 305 341 324 329 314 272 289

Peut-on considérer au vu de cet échantillon que le fabricant remplit son engagement d’une tension moyenne de rupture au moins égale à 300 kg ? (au risque 10 % de répondre non à tort)

a. Choix des hypothèses : on décide de considérer qu’une corde remplit son rôle lorsque sa tension de rupture (sa résistance) vaut au moins 300 kg. On procédera donc à un test unilatéral : H0 « la tension moyenne vaut 300 kg » et H1 (rejet de H0) « la tension moyenne est inférieure à 300 kg ».

b. Choix de la statistique : l’écart type des tensions de rupture, dans la population des cordes produites, est inconnu. Nous aurons donc à utiliser une loi de Student pour ce test de conformité. Ecart type de l'échantillon : s = 30. Sous H0, et avec σ inconnu, la loi deX est

St

_{(300 ;}

9

s ) =

St

(300 ; 10).

c. Zone de rejet : Student (9 ddl, α = 10%), la valeur tlim en-dessous de laquelle se trouve la zone de rejet est –1,383. (attention : la table de Student est conçue pour des tests bilatéraux et des intervalles centrés)