Examen du 27 mai 2008

Licence de math´ematiques – UPMC – 2007-2008 LM383

Examen du 27 mai 2008

Dur´ee 3 heures. Les documents et calculatrices ne sont pas autoris´es.

Chaque exercice est sur environ 5 points. Il sera tenu grand compte de la r´edaction.

Exercice 1. On consid`ere la m´ethode de quadrature suivante sur l’intervalle [0,1] : Z 1

0

f(x)dx' 7 12f 2

7 + 7

36f 4 7

+2 9f(1).

1. Montrer que cette m´ethode est d’ordre exactement 2.

2. Montrer que le noyau de Peano K₂ est de signe constant sur [0,1]

Indication : Pourt∈[0,²₇] et t∈[⁴₇,1], on pourra utiliser la forme explicite deK₂, et pour t∈[²₇,⁴₇], on pourra calculerK₂⁰ et ´etudier le sens de variation deK2.

3. En d´eduire l’expression de l’erreur de cette m´ethode pour une fonctionf de classeC³. Exercice 2. On consid`ere l’´equation diff´erentielle surR`a valeurs dansR

(E) y⁰(t) = 1−y(t)²

1. Soit t0 ∈ R et y0 ∈ R. Que peut-on dire en g´en´eral sur l’existence (locale ou globale) et l’unicit´e d’une solution pour le probl`eme de Cauchyy(t₀) =y₀?

2. Quelles sont les solutions constantes de (E) ?

3. Soit t₀ ∈ R et y₀ ∈]−1,1[. Montrer que toute solution (locale) du probl`eme de Cauchy y(t0) =y0 est croissante.

4. On consid`ere la fonction ϕ: ]− ∞,0[−→Rd´efinie par

∀t <0, ϕ(t) = 1 +e^2t

−1 +e^2t.

Montrer que cette fonction est la solution maximale du probl`eme de Cauchy y⁰(t) = 1−y(t)²

y(−18) =ϕ(−18)

Exercice 3. On consid`ere l’´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 2 sur R`a valeurs dansR (E) y⁰⁰(t)−y(t) =e^t

et l’´equation homog`ene associ´ee

(EH) y⁰⁰(t)−y(t) = 0 1. Donner la solution g´en´erale de (EH).

2. Ecrire les syst`emes diff´erentiels lin´eaires (d’ordre 1) associ´es `a (E) et (EH).

3. Montrer que les fonctions y1(t) = cosh(t) ety2(t) = sinh(t) sont deux solutions (EH) avec y₁(0)

y₁⁰(0)

= 1

0

,

y₂(0) y⁰₂(0)

= 0

1

, et qu’elles sont ind´ependantes.

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4. Montrer que la r´esolvante du syst`eme diff´erentiel homog`ene v´erifie R(0, t) =

cosh(t) sinh(t) sinh(t) cosh(t)

5. En utilisant la m´ethode de variation de la constante pour le syst`eme correspondant, r´esoudre (E).

Exercice 4. On se donne une fonction f : [0, T]×R −→ R de classe C² et lipschtizienne par rapport `a la deuxi`eme variable sur [0, T]×R, de constante de LipschitzL >0. Notons y la solution sur [0, T] du probl`eme de Cauchy

y⁰(t) =f(t, y(t)), y(0) =y0

pour un certainy0 ∈Rfix´e. On cherche `a approximer cette solution par une m´ethode num´erique de pash= _N^T (N ≥1).

On consid`ere la m´ethode de Runge-Kutta associ´e au tableau suivant (q = 2, la premi`ere ligne, triviale, n’est parfois pas ´ecrite) :

0 0 0

(M2) 1 1 0 (M) 1 ¹₂ ¹₂ 1. `A quelles quadratures correspondent (M₂) et (M) ?

2. Montrer que cette m´ethode correspond au sch´ema explicite suivant, pourn= 1,2, . . . , N−1, y_n+1=y_n+hF(nh, y_n, h)

o`u

F(t, y, h) = 1

2f(t, y) + 1 2f

t+h , y+hf(t, y)

pour (t, y, h)∈[0, T]×R×[0, T −h].

3. V´erifier que ce sch´ema est bien consistant.

4. En ´ecrivant, pour la solutiony eth∈[0, T] ,t∈[0, T −h], η(t, y(t), h) := y(t+h)−y(t)

h −F(t, y(t), h)

= y(t+h)−y(t)

h − 1

2f(t, y(t))−1

2f t+h, y(t+h) +1

2f t+h, y(t+h)

−1 2f

t+h , y(t) +hf(t, y(t))

,

montrer que

|η(t, y(t), h)| ≤h² 5 12 sup

s∈[0,T]

|y⁽³⁾(s)|+L 4 sup

s∈[0,T]

|y⁰⁰(s)|

!

5. Montrer que le sch´ema num´erique est d’ordre au moins 2.