MATHEMATIQUES L3 -2006/2007 T.D. d’Analyse num´erique
Feuille 6
Exercice 1
a) On consid`ere une fonction continue sur [0,1], montrer que pour tout entiern >1
| Z 1
0
f(x)dx−
n−1
X
k=0
1 nf(k
n)| →
n→∞0
On utilisera pour cela l’uniforme continuit´e de f sur [0,1] et l’´egalit´e suivante : (∗)
Z 1
0
f(x)dx=
n−1
X
k=0
Z k+1n
k n
f(x)dx G´en´eraliser `a une somme de Riemann quelconque.
b) Erreur dans la m´ethode des rectangles `a gauche.
Pour f une fonction de classe C2 sur [0,1], montrer que pour tout entiern >1
| Z 1
0
f(x)dx−
n−1
X
k=0
1 nf(k
n)|≤ kf0 k∞
2n +O(1 n2)
On commencera par ´ecrire la formule de Taylor-Lagrange de f `a l’ordre 2 en x au point kn pourx∈]kn,k+1n [, puis on appliquera `a nouveau la relation (*).
c) Erreur dans la m´ethode du point milieu.
De mˆeme pour f une fonction de classeC3 sur [0,1], montrer que pour tout entier n >1
| Z 1
0
f(x)dx−
n−1
X
k=0
1 nf(k
n + 1
2n)|≤ kf00k∞
24n2 +O(1 n3)
d) Suivant les mˆemes id´ees trouver les formules d’erreurs pour la m´ethode du trap`eze et la m´ethode de Simpson.
Exercice 2
On consid`ere le probl`eme suivant :
y0 =y, y(0) = 1
On utilise la m´ethode d’Euler explicite avec un pas de temps h pour d´eterminer une solution approch´ee η(tj;h) dey(tj) o`utj=jh.
a) Ecrire explicitement η(tj;h) ete(tj;h) =η(tj;h)−y(tj).
b) Soit t fix´e, eth=nt. Montrer que l’erreur e(t, h) tend vers z´ero quand n→ ∞.
1
