Universit´e Paris 6 - Pierre et Marie Curie LM326 - G´eom´etrie Diff´erentielle
Examen du 28 mai 2008
2 h 00 - Documents non autoris´es
I. Question de cours .SoientV etW deux vari´et´es diff´erentielles etf une application deV dans W diff´erentiable enx0∈V.Donner la d´efinition de la diff´erentielle def en x0 (not´eedfx0) et montrer que d(g◦f)x0 = dgf(x0)◦dfx0 lorsque g est une application de W dans une vari´et´e diff´erentielle Z, diff´erentiable en f(x0). (On suppose connue la d´efinition de l’espace tangent)
II. On consid`ere la partie P de R4 suivante :
P ={(x, y, z, t)∈R4/ x2+y2+z2−6t2 = 0, x3+y4+z= 0, et x+z3+ 7 = 0}.
1. Montrer queP est uneC∞ sous vari´et´e de R4,et donner sa dimension.
2. Montrer queP n’est ni compacte ni connexe.
(Pour la non connexit´e, on pourra remarquer que si (x, y, z, t)∈P,alors t6= 0) 3. D´ecrire l’espace tangentT(1,1,−2,1)(P) (identifi´e `a un sous-espace vectoriel deR4).
III. Les 3 parties sont ind´ependantes.
1. SurR2 on consid`ere les 2 champs de vecteursX= 2y ∂x∂ −x ∂y∂ et Y = (x2−1) ∂x∂ −xy ∂y∂ . (Noter que l’´ecriture correcte est plutˆot :∀P = (x, y)∈R2, XP = 2y∂x∂ P −x∂y∂P )
a. De quelle classe sont ces 2 champs de vecteurs ? Calculer [XY].
b. On consid`ere dans R2 l’ellipseE d’´equationx2 + 2y2 = 1.
Dire rapidement pourquoiE est uneC∞ sous vari´et´e compacte de R2.
Montrer que ∀P ∈ E, XP, YP et [XY]P sont tangents `a E (via l’identification canonique de TP(E) `a un sous espace vectoriel de TP(R2)≈R2).
2. Soit W uneC∞ sous vari´et´e d’uneC∞vari´et´e V. On notei:W →V l’injection canonique. Soient X ∈ Γ∞(W) et Y ∈ Γ∞(W) (c’est-`a-dire 2 champs de vecteurs C∞ sur W). Soient ˜X ∈ Γ∞(V) et Y˜ ∈Γ∞(V) tels que ∀x∈W, dixXx = ˜Xx et dixYx = ˜Yx.
(X etY sont les restrictions de ˜X et ˜Y `aW.)
a. Montrer que pour tout h:V →R diff´erentiable surV, X(h)˜ ◦i=X(h◦i) surW. b. Montrer que∀x∈W, dix([XY]x) = [ ˜XY˜]x.
3. Soient V une vari´et´e de classe C2 et X ∈ Γ1(V). Montrer que si ∀Y ∈ Γ1(V),[XY] = 0, alors X= 0.(Indication : on pourra commencer par montrer que dans toute carte (U, ϕ),avec U connexe, les composantes deX sont constantes.)
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