Module STOM : Examen du 28 mai 2003
Durée : 3 heures.
Aucun document n'est autorisé. Les réponses aux questions doivent toujours être justifiées. Les parties A et B doivent être rendues sur des copies séparées.
A. Communications optiques
Une feuille de papier millimétré à rendre avec la copie est fournie en annexe.
Données physiques :
kB = 1,38 × 10-23 J/K
Température : T = 300 K
q = 1,6 × 10-19 C
h = 6,63 × 10-34 J.s
c = 3 × 108 m/s
On considère une liaison numérique par fibre optique constituée d’un diode laser, d’une section de fibre optique monomode standard, et d’un photodétecteur. Les principaux éléments de cette liaison point à point ont les caractéristiques suivantes :
♦ diode laser :
caractéristique statique puissance/courant donnée en Figure 1,
longueur d’onde d’émission : λ = 1,55 µm,
largeur spectrale effective : ∆λ = 0,1 nm,
♦ fibre optique monomode standard :
coefficient de dispersion chromatique : Dλ = 17 ps/(nm.km),
longueur : L = 200 km,
coefficient de pertes : α = 0,2 dB/km à la longueur d’onde d’intérêt,
♦ photodétecteur :
sensibilité : Rλ = 0,8 A/W,
courant d’obscurité : IOB = 50 nA,
impédance de charge : Rch = 1 kΩ.
On notera Be la bande passante électrique de la liaison et l’on assimilera pour toute l’étude Be au débit binaire (1 Hz ↔ 1 bit/s). Le rendement de couplage de la lumière depuis la diode laser dans la fibre optique est : η =60%.
Figure 1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0 4 8 12 16 20 24 28
Pu issan ce opti que (mW)
I (mA)
1. Quel est le matériau constitutif de la fibre optique : silicium, silice ou GaAs ?
2. Quel est le matériau constitutif de la couche active de la diode laser et pourquoi : silicium ou InGaAsP ?
3. Le matériau constitutif de la couche active du photodétecteur est-il le silicium et pourquoi ? (Rappel : largeur de la bande interdite de Si = 1,12 eV)
4. Calculer le débit maximal Bemax lié à la dispersion chromatique de la fibre. Vous expliquerez brièvement l’origine physique de la dispersion chromatique des fibres monomodes.
5. Exploitation de la Figure 1 :
a. Définir le courant de seuil ITH de la diode laser et donner sa valeur. Quels sont de part et d’autre du seuil les mécanismes d’émission de lumière ?
b. On module en direct le courant de la diode laser entre une valeur IDL0 = ITH + 1 mA et IDL1 = ITH + 11 mA. Donner les valeurs des puissances PoutDL0 et PoutDL1 émises par la diode pour coder respectivement les niveaux logiques « 0 » et « 1 ».
c. A l'aide de la Figure 1, illustrer le principe d’une telle modulation pour la transmission d’informations sous forme numérique en traçant les évolutions temporelles de Pout et du signal d'horloge. Le code choisi est le code NRZ, et le mot à transmettre est « 0101100101 ».
d. Même question que précédemment en utilisant cette fois-ci un code Manchester.
e. Quels sont les avantage(s) et inconvénient(s) des codes évoqués précédemment ?
6. Déterminer les deux niveaux de puissance injectés dans la fibre (P et P ), ainsi que les deux
7. Quels sont les différentes sources de bruit possibles à la réception ? Montrer que celui prédominant est le bruit thermique.
8. En déduire le facteur Q de la liaison en fonction de Be. Tracer sur papier millimétré l’évolution de log(Q) en fonction de log(Be) pour Be variant de 100 kHz à 10 GHz (un point par décade).
Quel débit binaire maximal peut-on transmettre en garantissant une taux d’erreur par bit inférieur à 10-15 (Q > 8 ⇒ TEB < 10-15) ? Quel est finalement le phénomène limitant le débit binaire maximal : dispersion chromatique ou atténuation de la fibre ?
9. On intercale à mi-distance entre les deux points de la liaison un amplificateur optique à fibre dopée Erbium (EDFA), caractérisé par :
gain GdB = 20 dB,
facteur d’inversion des populations : nsp = 2,
bande passante optique : Bo = 30 GHz,
puissance de bruit optique : PASE = 2nsphν(G - 1)Bo où ν est la fréquence des photons.
Quelle est l’origine physique du bruit optique généré par l’amplificateur optique ? Quels sont les deux niveaux de puissances en entrée de l’EDFA ?
10.On considère que le bruit optique de l’EDFA n’est pas gênant si le rapport signal à bruit optique en sortie de l’amplificateur est supérieur à 50. Est-ce le cas ? Conclusion ?
11.En négligeant totalement le bruit optique généré par l’amplificateur, calculer le nouveau facteur Q de la liaison pour Be = 10 GHz. On admettra pour cela que le bruit thermique domine les autres sources de bruit. Conclusion : quel est maintenant le mécanisme physique qui limite le débit binaire de la liaison ?
B. Antennes
Les vecteurs sont indiqués par des caractères gras. Une abaque de Smith à rendre avec la copie est fournie en annexe.
I. Dipôle oscillant
L'espace est muni du repère orthonormé (O,ex,ey,ez). Un dipôle oscillant, ou doublet de Hertz, placé le long de l'axe (Oz), centré en O, de longueur s et parcouru par un courant I0 cos(ωt) où ω = 2πf, rayonne en un point M situé à grande distance un champ électrique s'exprimant en notation complexe et coordonnées sphériques sous la forme :
θ
−
θ ω
ω
= πε e
E r
sin e sc 4 I
) j t , M
( 0 2 j( t kr)
dip 0
où c est la vitesse de la lumière dans le vide, milieu considéré, et k le vecteur d'onde. La longueur d'onde d'émission est λ = c/f. La direction (OM) est repérée par le vecteur unitaire u = OM/r où r = |OM| = OM. La caractéristique vectorielle de rayonnement de l'antenne dans la direction u est notée Fdip(u) (n'incluant pas la dépendance de Edip par rapport au temps).
θ z
y
x
r M(r,θ,ϕ)
ϕ O +q(t)
-q(t)
er
r
erθ
eϕ
r
Jr θ z
y
x
r M(r,θ,ϕ)
ϕ O +q(t)
-q(t)
er
r
erθ
eϕ
r
Jr
1. Quelles sont les propriétés générales de l'onde électromagnétique rayonnée en M ?
2. En déduire les expressions du champ magnétique Hdip(M,t) et du vecteur de Poynting P(M). On notera η0 =
0
µ0
ε = 120πΩ l'impédance d'onde dans le vide.
3. Donner l'expression de Fdip(u) puis tracer en le justifiant le diagramme de rayonnement
|Fdip/Fdipmax| du dipôle en coordonnées polaires. Dans quelle direction θ0 l'émission d'énergie est-elle maximale ? Quel est l'angle d'ouverture ∆θdip à -3 dB du maximum ?
4. Calculer la directivité du dipôle D0 dans la direction θ0. Application numérique en dB.
II. Antenne demi-onde
On considère une antenne filaire, de longueur
l
, centrée en O et parallèle à l’axe (Oz) (cf. figure suivante). La longueurl
est égale à la demi-longueur d'onde λ/2. Si I(z) cos(ωt) est le courant circulant sur le fil, ses variations le long de l'antenne sont données par :
−
= z
k 2 sin I ) z (
I 0
l
z
y
x
M(r,θ,ϕ)
O l/2
- l /2 I(z)
1. Démontrer que le champ Efil(M) rayonné par l'antenne demi-onde peut se mettre sous la forme du produit du champ rayonné par un dipôle oscillant de longueur
l
par une fonction g(θ) dont on donnera l'expression sous forme intégrale.2. Montrer que :
) ( sin
2cos cos 2 ) (
g 2
θ π
π θ
= θ
En déduire l'expression de la caractéristique vectorielle Ffil(θ) de rayonnement de l'antenne.
3. La figure suivante représente le diagramme de rayonnement de l'antenne 1/2 onde. Donner la direction θM de rayonnement maximal et mesurer l'angle d'ouverture ∆θfil à –3 dB. Comparer qualitativement ce diagramme avec celui du dipôle oscillant.
O
∆θfil
x z
2 1 / 1
|Ffil/Fmax|
4. Calculer la puissance totale WR (en W) rayonnée à travers une sphère de rayon R et de centre O en fonction de l'impédance d'onde dans le vide η0 et de I0. On utilisera les intégrales suivantes :
∫
∫
π θ θ= π − = ×
π θ 2
0 0
2
438 , 2 2 dv 1 v
v cos 1 2 d 1 ) sin(
2cos cos
En déduire l'expression de la résistance de rayonnement Rfil et de la directivité DM de l'antenne dans la direction θM. Application numérique en dB.
III. Antenne tourniquet
On considère une antenne "tourniquet" constituée de deux antennes croisées A1 (portée par l'axe Oz) et A2 (portée par l'axe Oy) alimentées en courant avec un déphasage de π/2 : I1(t) = I0 cos(ωt) et I2(t) = I0 cos(ωt + π/2). On s'intéresse au rayonnement émis par ces antennes dans le plan (yOz).
O y
z
I1 I2 θ
M(r,θ,π/2) A1
A2
1. Dans le cas où A1 et A2 sont deux dipôles élémentaires de même longueur s :
a. Calculer le champ total E1(M,t) rayonné par les deux antennes en un point M à grande distance dans le plan (yOz).
b. En déduire la caractéristique vectorielle rayonnement F1(θ), puis calculer |F1(θ)|.
c. Conclusion sur le rayonnement de l'antenne tourniquet ?
2. Les antennes A1 et A2 sont désormais des antennes du type demi-onde (dans ce cas, les résultats obtenus précédemment sur la nature du rayonnement de l'antenne tourniquet restent à peu près valables). A1 et A2 constituent deux charges d'impédance identique Ze = (75 + j.45) Ω (valeurs arrondies pour simplifier les tracés) placées en parallèle par rapport au générateur utilisé.
a. Réaliser à l'aide de l'abaque de Smith fournie, une adaptation d'impédance à un stub de l'antenne tourniquet par rapport à un générateur d'impédance interne Rg = 75 Ω.
L'impédance caractéristique des lignes utilisées est Zc = 75 Ω. La fréquence du générateur est f = 10 GHz.
b. La puissance totale rayonnée par chacune des deux antennes est WR = 10 W. Calculer dans la direction θ = π/4 la distance de sécurité RS de telle sorte que pour r > RS, la norme du
