EPFL 3 mars 2008 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 15
L'exercice 7 est à rendre le 10 mars au début de la séance d'exercices.
Le symbole F désigne soit R, soit C, et V unF-espace vectoriel de dimension nie, muni d'un produit scalaireϕ: V ×V →F.
Exercice 1. Soient F, G des sous-espaces vectoriels deV. Montrer que : (a) F ⊆G =⇒ G⊥⊆F⊥;
(b) (F +G)⊥=F⊥∩G⊥; (c) (F ∩G)⊥ =F⊥+G⊥.
Exercice 2. Soit F un sous-espace vectoriel de V engendré par (v1, . . . , vk) et soit w ∈ V. Montrer que w∈F⊥ si et seulement si ϕ(vi, w) = 0 pour tout i= 1, . . . , k.
Exercice 3. Trouver une base du complément orthogonal du sous-espace vectoriel de R4 en- gendré par les vecteurs (1,1,1,1) et(−1,1,−1,1), par rapport au produit scalaire usuel.
Exercice 4. Soit U un sous-espace vectoriel de V, projU: V → U la projection orthogonale surU etT ∈L(V). Montrer queT préserveU si et seulement si projUTprojU =T projU. Exercice 5. Soit(e1, . . . , ek)une liste orthonormale dans V,U = span(e1, . . . , ek),projU: V → U la projection orthogonale surU et soit v ∈V. Montrer que :
(a) kvk2 =Pk
i=1|ϕ(v, ei)|2 ⇐⇒ v ∈span(e1, . . . , ek); (b) projU(v) = Pk
i=1ϕ(v, ei)ei.
Exercice 6. Trouver la matrice de la projection orthogonale de R3 sur le plan P d'équation x+ 2y−3z = 0, par rapport au produit scalaire usuel.
Exercice 7. Soit V =P2(R), muni du produit scalaire ϕ(p, q) =R1
−1p(t)q(t)dt. (a) Trouver une base orthonormale{p0, p1, p2} deV telle que pi est de degré i.
(b) Considérons P1(R) comme sous-espace vectoriel de P2(R). Quel est son complément or- thogonal P1(R)⊥?
