EPFL 23 février 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2008-2009
Série 15
L’exercice 4 est à rendre le 2 mars au début de la séance d’exercices.
Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C.
Exercice 1. Soient S etT dans Mat(n, n,F), montrer ou donner un contre-exemple à l’égalité suivante :
det(T +S) = det(T) + det(S).
Exercice 2. Calculer
det
1 0 2 3
2 1 −1 1
3 2 0 1
−1 0 1 1
.
Indication : le groupe de permutations de{1, . . . , n}, notéSn, possèden!éléments, donc|S4|= 24.
Pour les nombres d’inversion des permutations, utiliser l’exercice 2.4 de la série 14.
Exercice 3. 1. Soit A∈Mat(n, n,F) telle que AAt=In. Montrer : |detA|= 1.
2. Soit A ∈ Mat(n, n,C), n impair, telle que At = −A (une matrice de ce type est dite antisymétrique). Montrer que detA = 0. Que peut-on dire si n est un nombre pair ? (Donner un contre-exemple.)
3. Soit A = (aij)1≤i,j≤n ∈ Mat(n, n,F). On définit A˜ = (˜aij)1≤i,j≤n ∈ Mat(n, n,F) par
˜
aij := (−1)i+jaij. Montrer quedet ˜A= detA.
Exercice 4. Soient x0, . . . , xn∈F etb0, . . . , bn∈F. On cherche un polynôme P =Pn
j=0ajXj à coefficients dans Fde degré ≤n tel que P(xi) = bi pour 0≤i≤n.
Montrer qu’ il existe exactement un polynôme de ce type si et seulement si
det
1 x0 x20 . . . xn0 1 x1 x21 . . . xn1 ... ... ... . .. ...
1 xn x2n . . . xnn
6= 0.
Remarque : Ce déterminant est nommé le déterminant de Vandermonde et a Q
1≤i<j≤n
(xj −xi)
pour valeur.
Exercice 5. La règle du parallélogramme.
Soit V unF-espace vectoriel muni d’un produit scalaire, soient v, w∈V. Montrer que kv+wk2+kv−wk2 = 2 kvk2+kwk2
Faire une esquisse de la situation (pour F=R). Quel est le rapport avec un parallélogramme ? Exercice 6. Soit V unR-espace vectoriel et B: V ×V →R une forme bilinéaire symétrique.
Montrer que pour toutv, w∈V, on aB(v, w) = 12 B(v+w, v+w)−B(v, v)−B(w, w) . B est donc uniquement déterminée par ses valeurs sur∆ = {(v, v)|v ∈V} ⊆V ×V.
Que peut-on dire si V est un C-espace vectoriel et B: V ×V →C une forme bilinéaire symé- trique ?
