EPFL 1er mars 2010 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 15
Dans cette série, le symboleFdésigne soit R, soit C.
L’exercice 3 est à rendre le lundi 8 mars au début de la séance d’exercices.
Informations : il y aura des séances de «réponses aux questions» tous les vendredis de 12h à 13h en salle MA A3 30.
Exercice 1. Considérer le R-espace vectoriel C0 [0,2π],R
=
f: [0,2π] → R
f est continue munie du produit scalairehf, giL2 :=R2π
0 f(x)g(x)dx (voir l’exercice 2.5 de la série 14).
Montrer que pour les fonctions fk, gk ∈C0 [0,2π],R
,k ∈N\ {0}, définies parfk(x) = √1πsinkx, gk(x) =
√1
π coskx,on a
hfk, fkiL2 =hgk, gkiL2 = 1 pour tout k∈N\ {0}
hfk, fjiL2 =hgk, gjiL2 = 0 pour tout k, j∈N\ {0},k6=j hfk, gjiL2 = 0 pour tout k, j∈N\ {0}.
Indication : penser aux théorèmes d’addition !
Exercice 2. SoitV l’espace vectoriel réel des fonctions continues et bornées f: [0,∞)→R. Démontrer que φ(f, g) =
Z ∞
0
f(t)g(t)e−tdt
définit un produit scalaire surV. Calculer la norme desin|[0,∞).
Exercice 3. Soit V un F-espace vectoriel muni d’un produit scalaire h·,·i et soit k · k:V → F la norme associée. Soientv, w∈V.
1. (La règle du parallélogramme) Montrer que
kv+wk2+kv−wk2= 2 kvk2+kwk2
Faire une esquisse de la situation (pourF=R). Quel est le rapport avec un parallélogramme ?
2. SiF=R, exprimer le produit scalairehv, wien fonctions des normes dev,wet dev+w. En déduire que le produit scalaire est uniquement déterminé par ses valeurs sur la diagonale∆ ={(v, v)|v∈V} ⊆V×V. Que peut-on dire dans le cas oùF=C?
3. Supposons quev, w∈V sont tels quekvk= 3,kv+wk= 4 etkv−wk= 6. Trouverkwk.
4. Prouver ou réfuter : Il y a un produit scalaire surR2 dont la norme associée est donnée park(x1, x2)k=
|x1|+|x2|pour tout (x1, x2)∈R2.
Exercice 4. On considère le F-espace vectoriel Fn muni du produit scalaire standard hv, wi = Pn i=1viwi
pour tout v = (v1, . . . , vn), w = (w1, . . . , wn) ∈ Fn. Une matrice A ∈ Mat(n;F) est dite définie positive si hv, TA(v)i ≥0 pour tout v∈Fn ethv, TA(v)i = 0 si et seulement siv = 0. On définit l’adjointA∗ de A par A∗ =At, c’est-à-dire(A∗)ij =Aji pour i, j= 1, . . . , n.
1. SoitA∈Mat(n,F). Montrer quehv, TA(w)i=hTA∗(v), wi pour toutv, w∈Fn.
2. SoitA∈Mat(n;F) définie positive et telle queA∗ =A. On définit h·,·iA:Fn×Fn→F parhv, wiA= hv, TA(w)ipour tout v, w∈Fn. Montrer queh·,·iA est un produit scalaire.
3. Soitφ:Fn×Fn→Fun produit scalaire quelconque. SoitAφ∈Mat(n;F)définie parAφ= (φ(ei, ej))i,j=1,...,n, où(e1, . . . , en) est la base canonique de Fn. Montrer que(Aφ)∗=Aφ.
4. Montrer que hv, TAφ(w)i =φ(v, w) pour toutv, w ∈Fn. En déduire que Aφ est définie positive et que φ=h·,·iAφ.
5. Quelle est la matrice Ah·,·i?
