Série 15

EPFL 12 mars 2007 Algèbre linéaire

1ère année 2006-2007

Série 15

L’exercice 1 est à rendre le 19 mars au début de la séance d’exercices.

Exercice 1 Soient f ∈ L(E), λ₁, . . . , λ_n des valeurs propres de f deux à deux distinctes.

Montrer que les sous-espaces propres def associés aux valeurs propresλ₁, . . . , λ_nsont en somme directe. En déduire que n ≤dim(E).

Exercice 2 Polynômes d’endomorphismes, polynômes de matrices Soit P =a₀+a₁X+. . .+a_NX^N ∈ P(F).

Pour T ∈ L(E) on note : P(T) =a₀ Id+a₁T +. . .+a_NT^N et P(T) est appellé un polynôme d’endomorphisme. On note ev_T :P(F)→ L(E)l’application définie par :ev_T(P) = P(T). Pour A∈M at(n, n,F) on note : P(A) =a₀ Id+a₁A+. . .+a_NA^N et P(A) est appellé un polynôme de matrice. On note ev_A :P(F)→M at(n, n,F) l’application définie par : ev_A(P) = P(A).

1. Montrer que ev_T et ev_A sont des applications linéaires.

2. Soient T ∈ L(E), B une base de E et P ∈ P(F) montrer que : [ev_T(P)]B,B =ev_[T]B,B(P).

3. Montrer que si A, B ∈ M at(n, n,F) commutent, alors tout polynôme en A commute avec tout polynôme en B.

Soient T ∈ L(E), P ∈ P(F). On dit que P annule T (ou P est un polynôme annulateur de T) si et seulement si P(T) = 0.

4. Soit pun projecteur (voir la série 11 pour la définition), trouver un polynôme annulateur de p.

5. Soient T ∈ L(E), λ une valeur propre de T et v un vecteur propre de T associé à la valeur propre λ. Montrer que pour tout P ∈ P(F) : (P(T))(v) =P(λ)·v.

6. Si P est un polynôme annulateur deT montrer que les valeurs propres de T sont des racines du polynôme P.

(Attention : Ceci n’est pas une équivalence ! i.e une racine d’un polynôme annulateur de T n’est pas forcément une valeur propre de T. Par exemple, (X−1)X² annule Id mais0 n’est pas valeur propre de Id.)

7. Application 1

Trouver un polynôme annulateur de degré 2 de la matrice





2 0 0

3 −4 3 3 −6 5





En déduire les valeurs propres de A et les vecteurs propres associés.

8. Application 2 (plus difficile...)

Pour toute matriceA∈M at(n, n,F) on appelle transposée deA la matrice de M at(n, n,F), notée A^t, et définie par : (A^t)_i,j = (A)_j,i.

Soit f :M at(n, n,F)→M at(n, n,F), tel que f(A) =A^t. Vérifier que f est linéaire.

Trouver les valeurs propres de f et les vecteurs propres associés.

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