Question d'examen (voir 2e série, t. XIV, p. 227)

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Question d’examen (voir 2e série, t. XIV, p. 227)

Nouvelles annales de mathématiques 2

^e

série, tome 14 (1875), p. 370-371

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QUESTION D'EXAMEN

(Toir 2* série, t. XIV, p. 227I).

Dans l'intégrale / T—I ^a fonction reste finie

& Jo l oSz loZz

pour les valeurs de z comprises entre zéro et i , mais devient infinie pour z = i . Dans ce cas, si Ton désigne par e une quantité positive, 1 integrale j p y - est, par

X

^{I—6 fa}^{logz ^}^{, quand}

s tend vers zéro.

Faisons dans cette intégrale les deux substitutions z = j :m, z = an, la limite inférieure restera la même;

mais /a limite supérieure changera, et Ton aura, en toute rigueur,

_

Soit /n > w, il en résultera ^ i — e > ^ 1 — e , et Téqua- tion

X

^{log^: J}^o^log*^£^r"-¹ ^d.r.^{— o}

pourra s'écrire

X

y/1 — e yjn—i / * Vl—s xm~l f*vl—s .rM~'

_ dx -\- I dx — I dx =. O,

l°i>«r J»r.—: '%r<r «/o l oöf < r OU

'l — c ~m—

dx = I <tx.

J i

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( 37« )

L'intégrale du second membre rentre dans la caté- gorie de celles que Cauchy a appelées intégrales défi- nies singulières, et sa valeur est, d'après la règle qu'il a donnée,

£ étant compris entre ^i — e et yi — s. Les deux mem- bres, étant égaux quel que soit g, auront des limites égales, s tendant vers zéro; £ tend alors vers i, et la règle de L'Hôpital doune

i m

log —

pour la valeur du second membre, qui ne se réduit à zéro

que si m = n, CH. B.

Note. — MM. de Virieu, Moret-Blanc et Pellet expliquent à très-peu de chose près le paralogisme de la même manière. Quant au calcul de M. Allaretti, MM. Laisant et Küss font observer qu'il renferme des er- reurs manifestes qui interdisent toute conclusion.