Corrigé de la série 15

EPFL

Algèbre linéaire 1ère année 2008-2009

Corrigé de la série 15

Exercice 1. On a

det

1 0 0 1

+

−1 0 0 −1

= det

0 0 0 0

= 06= 1 + 1

= det

1 0 0 1

+ det

−1 0 0 −1

. Exercice 2. On a

S₄ =











(123) (132) (134) (143) (234) (243) (124) (142) (12)(34) (13)(24) (14)(23) Id

(12) (13) (14) (23) (24) (34)

(1243) (1342) (1234) (1324) (1432) (1423)









 .

D’après les points 2 et 4 de l’exercice 2 de la série précédente, les douze premières permutations de cette liste ont un nombre d’inversion pair, et les douze suivantes ont un nombre d’inversion impair. On a donc, d’après la définition du cours :

det









1 0 2 3

2 1 −1 1

3 2 0 1

−1 0 1 1









=0·(−1)·3·1 + 2·2·2·1 + 2·1·1·(−1) + 3·1·3·1

+ 1·(−1)·1·0 + 1·1·2·1 + 0·1·0·(−1) + 3·2·0·0 + 0·2·1·1 + 2·1·3·0 + 3·(−1)·2·(−1) + 1·1·0·1

−0·2·0·1−2·1·3·1−3·1·0·(−1)−1·(−1)·2·1

−1·1·0·0−1·1·1·1−0·1·3·1−2·2·1·0

−0·(−1)·1·(−1)−2·1·2·(−1)−3·2·2·1−3·(−1)·3·0

=0 + 8−2 + 9 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 6 + 0

−0−6−0 + 2−0−1−0−0−0 + 4−12−0

=10.

Exercice 3. 1. On sait que detI_n = 1 (en utilisant par exemple le troisième point de la Proposition 6.8 du polycopié). D’après le Théorème 6.2 et le point 1 de la Proposition 6.8, on a donc

1 = det(In) = det(AA^t)^Th.6.2= det(A)·det(A^t)Prop.6.8,1)

= det(A)·det(A) = (det(A))², d’où detA=±1.

1

2. D’après les points 1 et 4 de la Proposition 6.8, on a

det(A^t) = det(A) = det(−A^t) = (−1)ⁿdet(A^t) = −det(A^t), car n est un nombre impair. Cela implique det(A) = det(A^t) = 0.

Pour n= 2, on a par exemple :

A:=

0 1

−1 0

est antisymétrique mais det(A) = 0·0−(−1)·1 = 16= 0.

3. On a

det( ˜A) = X

σ∈S_n

(−1)^NI(σ)·a˜_1σ(1)·. . .·˜a_nσ(n)

= X

σ∈Sn

(−1)^NI(σ)·(−1)^1+σ(1)·. . .·(−1)^n+σ(n)·a_1σ(1)·. . .·a_nσ(n)

= X

σ∈Sn

(−1)^NI(σ)·(−1)(^{Pni=1i+Pni=1σ(i)})·a_1σ(1)·. . .·a_nσ(n).

On a n

X

i=1

i+

n

X

i=1

σ(i) = 2

n

X

i=1

i

pour toutσ ∈S_n, car σ :{1, . . . , n} → {1, . . . , n}est une bijection. Le nombre Pn i=1i+ Pn

i=1σ(i)est donc pair pour tout σ ∈S_n, et on obtient det( ˜A) = X

σ∈S_n

(−1)^NI(σ)·a_1σ(1)·. . .·a_nσ(n) = det(A).

Exercice 4. On cherche un polynômeP =Pn

j=0ajX^j, aveca0, . . . , an∈Fet de degré inférieur à n tel que b_i =P(x_i) =Pn

j=0a_jx_i^j. Cela revient à chercher à résoudre le système











a₀ + x₀a₁ + x²₀a₂ + . . . + xⁿ₀a_n = b₀ a0 + x1a1 + x²₁a2 + . . . + xⁿ₁an = b1

... ... ... . .. ... ...

a₀ + x_na₁ + x²_na₂ + . . . + xⁿ_na_n = b_n d’inconnues a₀, . . . , a_n. Écrit à l’aide de matrices, cela donne











1 x₀ x²₀ . . . xⁿ₀ 1 x₁ x²₁ . . . xⁿ₁ ... ... ... . .. ...

1 x_n x²_n . . . xⁿ_n



















 a₀ a₁ ... a_n











=









 b₀ b₁ ... b_n









 .

Il existe exactement une solution à ce système si la matrice à gauche est inversible. D’après le Théorème 6.1, ceci est le cas si et seulement si

det











1 x₀ x²₀ . . . xⁿ₀ 1 x₁ x²₁ . . . xⁿ₁ ... ... ... . .. ...

1 x_n x²_n . . . xⁿ_n









 6= 0.

2

Exercice 5. On calcule

kv+wk²+kv−wk² =< v+w, v+w >+< v−w, v−w >

=< v, v >+< v, w >+< w, v >+< w, w >

+< v, v >−< v, w >−< w, v >+< w, w >

=2 < v, v >+2< w, w >

=2 kvk²+kwk² . Exercice 6. On calcule en utilisant la définition 7.1 :

B(v+w, v+w)−B(v, v)−B(w, w) =B(v, v) +B(v, w) +B(w, v) +B(w, w)

−B(v, v)−B(w, w)

=B(v, w) +B(w, v) =B(v, w) +B(v, w)

=B(v, w) +B(v, w) = 2B(v, w) car, comme F=R, on a B(v, w) =B(v, w).

Si F=C, le même calcul donne

B(v+w, v+w)−B(v, v)−B(w, w) =B(v, w) +B(v, w)

=2<(B(v, w)).

3