D´EVELOPPEMENT 21 IRR´EDUCTIBILIT´E DE Φ

D´ EVELOPPEMENT 21 IRR´ EDUCTIBILIT´ E DE Φ

Lemme. — Si f, g∈Q[X] sont unitaires et v´erifientf g∈Z[X], alors f, g∈Z[X].

D´emonstration. — Soita >0 le plus petit entier tel queaf ∈Z[X], on poseaf =f₁. Soitb >0 le plus petit entier tel quebg∈Z[X], on posebg=g1. Supposons queab >1 et soitpun diviseur premier deab, on consid`ere alors les morphismesπ :Z→Z/pZet π_P :Z[X]→ (Z/pZ)[X]. On a f₁g₁ =abf g∈Z[X]

d’o`u

π_P(f₁)π_P(g₁) =π_P(f₁g₁) =π_P(ab)π_P(f g) = 0

et il en r´esulte (puisque (Z/pZ)[X] est int`egre) queπ_P(f₁) = 0 ouπ_P(g₁) = 0, par exempleπ_P(f₁) = 0.

On peut alors ´ecriref1=pf2o`uf2 ∈Z[X]. Commef est unitaire et puisquef1 =af,aest le coefficient dominant def₁, doncp diviseaet on ´ecrita=pa⁰. Il vient donc pa⁰f =f₁=pf₂ i.e. a⁰f =f₂ ∈Z[X], ce qui est impossible puisque a⁰< a. Donc ab= 1 i.e.a=b= 1.

Proposition. — φn,Q est le polynˆome minimal sur Q d’une racine primitive n-`e de l’unit´e. En par- ticulier, φ_n,Q est irr´eductible dans Q[X].

D´emonstration. — Soitζ une racine primitiven-i`eme de l’unit´e et montrons queφ<sub>n,Q</sub> = Irr(ζ,Q). Soit p premier ne divisant pas nalorsζ<sup>p</sup> est aussi une racine primitive n-`e de l’unit´e ; on posef = Irr(ζ,Q) etg= Irr(ζ^p,Q).

•Puisqueφ_n,Q(ζ) = 0,φ_n,Q est divisible parf donc on peut ´ecrireφ_n,Q(ζ) =f q avecq ∈Q[X]. Comme f etφn,Q sont unitaires, il en est de mˆeme deq. Puisqueφn,Q∈Z[X], il r´esulte du lemme quef ∈Z[X].

On obtient de mˆeme queg∈Z[X].

• Puisque g(ζ^p) = 0, ζ est racine de g(X^p) donc f(X) divise g(X^p) i.e. f(X)h(X) = g(X^p) avec h ∈ Z[X] d’apr`es le lemme. On consid`ere les morphismes π : Z → Z/pZ et π_P : Z[X] → (Z/pZ)[X], alors

π_P(f(X))π_P (h(X)) =π_P(f(X)h(X)) =π_P(g(X^p)). Notonsg=X^d+ad−1X^d−1+· · ·+a1X+a0, alors

π_P (g(X^p)) =X^dp+ad−1X^(d−1)p+· · ·+a₁X^p+a₀ et d’apr`es le th´eor`eme de Fermat on a

π_P(g(X^p)) =X^dp+ad−1pX^(d−1)p+· · ·+a₁^pX^p+a₀^p or l’anneau (Z/pZ)[X] est de caract´eristiquep donc

πP(g(X^p)) =X^d+ad−1X^d−1+· · ·+a1X+a0

p = (πP(g(X)))^p

d’o`u

π_P (f(X))π_P(h(X)) = (π_P (g(X)))^p.

60 Irr´eductibilit´e de Φ_n

•Soitπ_P(f₁)∈(Z/pZ)[X] un diviseur irr´eductible deπ_P(f(X)), alorsπ_P(f₁) divise (π_P(g(X)))^pdonc π_P(f₁) diviseπ_P(g(X)). Sif etgsont distincts, alorsf g= ppcm(f, g) diviseφ_n,Qorφ_n,Q diviseXⁿ−1 doncf g diviseXⁿ−1, on ´ecritXⁿ−1 =f gq1, d’o`u

Xⁿ−1 =π_P(f)π_P(g)π_P(q₁).

OrπP(f1) diviseπP(f) etπP(g) donc (πP(f1))² diviseXⁿ−1. Soit (Z/pZ)(ξ) un corps de rupture de π_P(f₁) surZ/pZ, alorsπ_P(f₁) (ξ) = 0 doncξ est une racine multiple deXⁿ−1. Commepne divise pas n, on a Xⁿ−10

=nXⁿ⁻¹ i.e.Xⁿ−1 n’admet pas de racine multiple. Doncf =g i.e.si p ne divise pasn, alors Irr(ζ,Q) = Irr(ζ^p,Q).

• Soit ζ⁰ une autre racine primitive n-i`eme de l’unit´e alors on a ζ⁰ = ζ^m pour un entier m premier avec n. Ecrivons m = p^ε₁¹· · ·p^ε_r^r, aucun des pi ne divise n donc on a Irr(ζ,Q) = Irr(ζ^pi,Q), puis Irr(ζ^pi,Q) = Irr((ζ^pi)^pi,Q) et par r´ecurrence, il vient Irr(ζ,Q) = Irr(ζ^pεii ,Q). Il vient ensuite

f = Irr(ζ,Q) = Irr

ζ^p

ε1

1 ···p^εrr ,Q

= Irr(ζ^m,Q) = Irr(ζ⁰,Q).

Ainsi, toutes les racines primitives n-i`emes de l’unit´e sont racines de f donc degf ≥ ϕ(n). Or on a f q=φn,Q avec degφn,Q=ϕ(n) et f et φn,Q unitaires, doncq = 1i.e. φn,Q= Irr(ζ,Q).

Le¸cons concern´ees

14 Polynˆomes irr´eductibles `a une ind´etermin´ee. Corps de rupture. Exemples et applications 15 Groupe des nombres complexes de module 1. Applications

R´ef´erences

X. Gourdon,Alg`ebre, Ellipses, 1994.

I. Gozard,Th´eorie de Galois, Ellipses, 1997.

S´ebastien Pellerin