Suites numériques-intégral+Correction

Classe de terminale S

1

Calcul intégral et suites numériques Enoncé

L'objectif est d'étudier la suite (u_n) définie pour tout entier n ≥ 0 par :

∫

₊

= ¹

0 2

0 d

1

1 x

x

u et, pour n ≥ 1, x

x u x

n

n d

1

1

0 2

∫

₊

= .

1. a) Soit f la fonction numérique définie sur [ 0 ; 1 ] par : ).

1 ln(

)

(x x x²

f = + +

Calculer la dérivée f ' de f. En déduire u0 . b) Calculer u1.

2. a) Prouver que la suite (u_n) est décroissante (on ne cherchera pas à calculer u_n).

En déduire que la suite (un) est convergente.

b) Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 1], on a : 1 ≤ 1 x+ ² ≤ 2.

En déduire que, pour tout entier n ≥ 1, on a :

(1) 1

1 2

) 1 (

1

≤ +

+ ≤u n

n ⁿ .

Déterminer la limite de (un).

3. Pour tout entier n ≥ 3, on pose : I 1 d .

1 0

2

2 x x

xⁿ

n ⁼

∫

^{− +}

a) Vérifier que, pour tout entier n ≥ 3, on a : un + u_n−2 = In.

Par une intégration par parties portant sur In, montrer que, pour tout entier n ≥ 3, on a : nu_n + (n − 1) u_{n −2} = 2.

b) En déduire que, pour tout entier n ≥ 3, on a : (2) (2n − 1)un ≤ 2.

c) À l'aide des inégalités (1) et (2), montrer que la suite (nu_n) est convergente et calculer sa limite.

Classe de terminale S

2 Correction

( )

1 1

2 0 2

0 0

2

Pour tout entier naturel 1, et 1 .

1 1

1)a) On considère la fonction définie sur [0;1] par: ( ) ln 1 . est dérivable comme composée de fonctions dérivables et :

'( )

n n

n u x dx u dx

x x

f f x x x

f

f x

≥ = =

+ +

= + +

=

∫ ∫

[ ] ( )

2

2 2

2 2 2

1 1

0 0 2 0 0

1 1

1 1 1 2

1 0 2 0 2 0 0 0 1

2 1

1 2 1 '( ) 1 '( ) 1 .

1 1 1

D'où, 1 ( ) (1) (0). soit ln 1 2 .

1

2 '( )

b) ( ) 1 . 2 1

2 ( )

1 2 1

x x x

x f x x f x

x x x x x

u dx f x f f u

x

x x h x

u dx dx dx h x x soit u

x x h x

+ +

+ + ⇔ = + ⇔ =

+ + + + +

= = = − = +

+

 

 

= + = + = =  = +  = −

∫

∫ ∫ ∫

1 0 2

1 1 1

1 0 2 0 2

1 1 1

2 2

0 0

2

2)a)Pour tout entier naturel 1:

1

1 1

(1 )

d'après la linéarité des intégrales.

1 1

Pour tout réel [0;1], 0 et 1 0, donc 1

n n

n n

n n

n n n

n n

n u x dx

x

x x

u u dx dx

x x

x x x x

dx dx

x x

x x

x x

x

+ +

+

≥ =

+

− = −

+ +

− −

= =

+ +

∈ ≥ − ≤

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

2

1

1 0 2

1

2 0 2

(1 ) 0.

1

Par passage à l'intégral (positivité de l'intégrale ou conservation de l'ordre), on en déduit que:

(1 )

0, la suite ( ) est donc décroissante.

1

0 0

1 1

n

n n n

n n

n

x x

x x

u u dx u

x

x x

u dx

x x

+

− ≤ +

− = − ≤

+

≥ ⇔ = ≥

+ +

∫

∫

2 2 2

2

.La suite ( ) est minorée par 0.

( ) est minorée et décroissante, elle est donc convergente.

b) Pour tout réel [0;1], on a: 0 1 1 1 2 1 1 2.

1 1

En prenant l'inverse on a: 1 , en multipl

2 1

n

n

u u

x x x x

x

∈ ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤

≤ ≤

+

1 1 1

2 0 0 2 0

1 1

1 1

0 0

iant par qui est positif, on obtient:

, le passage à l'intégral donne:

2 1 2 1

1 1 1

d'où: (1).

1 1 1

2 2( 1)

1 1

lim lim

2( 1)

n

n n n n

n n

n n

n n

n n

x

x x x x

x dx dx x dx

x x

x x

u u

n n n n

n

+ +

→+∞ →+∞

≤ ≤ ≤ ≤

+ +

   

× ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

 +   +  + +

   

+ =

∫ ∫ ∫

0, le théorème des gendarmes permet de conclure que lim 0

1 ⁿ uⁿ

n = ^→+∞ =

+

Classe de terminale S

3

1 2 2

0

2 2 2

1 1 1 1

2 2

2 0 2 0 2 0 2 0

2

3)a) Pour tout entier naturel 3, on pose: 1 .

( 1) a

on a 1 (car ).

1 1 1 a

Donc on a bien .

En utilisant une intégration

n n

n n n

n

n n

n n n

n I x x dx

x x x x

u u dx dx dx x x dx a

x x x

u u I

−

− −

− −

−

≥ = +

+ = + = + = + =

+ + +

+ =

∫

∫ ∫ ∫ ∫

[ ]

1 1 1

2 2 2

0 0

2

2 1 1

0 0

1 1 1

2 1

2 0

0

par parties:

1 '( ) ( ) en posant : '( ) ( )

1

( ) 1 '( )

1

D'où: ( ) ( ) ( ) '( ) ,

soit 1

1 1 1

2 1

1

n

n n

n

n

n n

n

n

I x x dx v x w x dx v x x v x x

n

w x x w x x

x

I v x w x v x w x dx

x x x

I x dx

n n x

I n n

− − −

− −

= + = × = =

−

= + =

+

= × − ×

 

= + × −  − − × +

= −

− −

∫ ∫

∫

∫

1 1

2 2 2

0

2

2

car:

1 1 1 1 ( 1) 1

2 1

Donc finalement on a: .

1 1

comme , en remplaçant l'expression de , on obtient après simplification: ( 1) 2 . b) La suite ( ) es

n n n

n n

n n n n

n n

x x x x

dx n

x x n x

I u

n n

u u I I

nu n u

un

−

−

−

× =

+ − + − +

= −

− −

+ =

+ − =

∫

2 2

2

2

t décroissante, donc on a :

( 1) ( 1) en multipliant par ( 1)

( 1) ( 1) en ajoutant

( 1) 2 puisque ( 1) 2

ainsi on a: (2 1) 2 (2) c) La relation

n n n n

n n n n n

n n n n

n

u u n u n u n

nu n u nu n u nu

nu n u nu n u

n u

− −

−

−

≤ ⇔ − ≤ − −

⇔ + − ≤ + −

⇔ + − ≤ + − =

− ≤

(2) donne (2 1) 2 2 2 1 0

2 1

1 1 2

d'où en utilisant la relation (1)

1 2 1

2( 1)

1 2 1 2

on a l'encadrement: et en multipliant par ,

2 1 1 2 1

2( 1) 2( 1)

lim 1 et

2( 1) 2

n n

n

n n

n

n u u n

n

u n n

n

n n

u n nu

n n n

n n

n

→+∞ n

− ≤ ⇔ ≤ − >

−

≤ ≤ ≤

+ −

+

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

− + −

+ +

+ =

2 2 1

lim (en utilisant la limite du quotient de deux polynômes).

2 1 2 2

Le théorème des gendarmes permet de conclure que: lim 1 . 2 La suite ( ) converge vers 1 .

2

n

n n

n

n n

nu nu

→+∞

→+∞

= =

−

=