Exercice de révision : Suites numériques + Correction

(1)

Classe de terminale S Année scolaire 2007-2008

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Exercice de révision : suites numériques

On considère les suites (un) et (vn) définies sur IN par u0 =3 et les relations : ₁ 2

n n

n

u v

u₊ = + et 7

n n

v =u 1. Calculer v_o, u₁, v₁, u₂, v₂, u₃ et v₃.

Donner l'approximation de u₃ et v₃ lue à l'affichage de la calculatrice.

2. Justifier par récurrence que pour tout n de IN, un >0 et vn >0.

3. a. Démontrer que quel que soit n de IN,

(

^uⁿ⁺^vⁿ

)

²⁻²⁸⁼

(

^uⁿ⁻^vⁿ

)

²

b. En déduire que quel que soit n de IN : ¹ ¹

( )

²

1

n n 4 n n

n

u v u v

+ + u

+

− = −

c. Conclure que quel que soit n on a un – vn ≥ 0.

4. En s'aidant de la question 3.c., prouver que la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est croissante.

5. a. Démontrer que quel que soit n de IN*, 21

n 8 u ≥

b. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que 1 1

( )

²

1

n n 10 n n

u₊ −v₊ ≤ u −v c. En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que

2 1

1 10ⁿ

n n

u − ≤v ₋

d. Déterminer la limite de u_n – v_n à l'infini.

6. Conclure que les suites (un) et (vn) sont adjacentes et déterminer leur limite commune.

7. Justifier que u₃ est une approximation de 7 à 10^-7 près.

Correction 1. ₀

0

7 7

v 3

=u = ;

0 0

1

3 7

16 8 3

2 2 6 3

u v

u

+ +

= = = = ; ₁

1

7 7 21

8 8

3

v =u = = ;

1 1

2

8 21

64 63 127

3 8

2 2 48 48

u v

u

+ + +

= = = = ; ₂

2

7 7 336

127 127 48

v =u = =

2 2

3

127 336

32257

48 127 2, 64575

2 2 12192

u v

u

+ +

= = = ≈ ; ₃

3

7 7 85344

2, 64575 32257 32257

12192

v =u = = ≈

Il semble que les suites tendent vers 7 ≈2, 64575 2. Pn : « un > 0 et vn > 0 ».

P0 : u0 = 3 > 0 et v0 = 7/3 > 0 Po est vérifiée.

(2)

Supposons P_n vraie.

1 0

2

n n

n

u v

u₊ = + > puisque un et vn sont positifs.

et bien sûr il en résulte que ₁

1

7 0

n n

v⁺ =u ₊ >

On a bien, quel que soit n de IN, un >0 et vn >0.

3.a.

( )

² ²⁸

( )

²

( ) (

²

)

² ²⁸ ⁽ ⁾⁽ ⁾ ²⁸

2 2 28 7 7

n n n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n

n

u v u v u v u v u v u v u v u v

u v u v v

u

+ − = − ⇔ + − − = ⇔ + + − + − + =

⇔ × = ⇔ = ⇔ =

3.b.

( )

²

( ( )

²

) ⁽ ⁾

²

⁽

¹²

⁾

¹ ¹ ¹

1 1 1 1 1

1 1 1 1 7

28 7 7

4 4 4

n n

n n n n n n n n

n n n n n

u v

u v u v u u u v

u ₊ u ₊ u ₊ u₊ ⁺ ⁺ u₊ ⁺ ⁺

 + 

− = + − =  − = − = − = −

 

 

3.c. De l'égalité précédente, on conclut que un+1 – vn+1 est strictement positif quel que soit n., c'est-à-dire en remplaçant n+1 par n, on a un – vn positif pour n ≥ 1. Il faut vérifier que l'inégalité est aussi vraie pour n = 0.

0 0

7 2

3 0

3 3

u − = − = >v

Conclusion : Quel que soit n de IN, on a un – vn > 0 ou encore un > vn.

4. ₁ 2

2 2 2 0

n n n n n n n

n n n

u v u v u v u

u₊ − =u + − =u + − = − < car v_n – u_n < 0

1 1

7( )

7 7

n n 0

n n

n n n n

u u

v v

u u u u

+ +

− = − = − > car u_n+1 – u_n < 0 et u_n >0 quel que soit n.

Conclusion, la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est croissante.

5.a. On sait que un > vn or la suite vn est croissante, donc vn > v1, on a donc : ₁ 21

n n 8 u > > =v v 5.b. Par équivalence :

( )

²

( )

²

( )

²

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 5

4 10

10 4 10 4 10 2

n n n n n n n n n n

n n

u v u v u v u v u u

u u

+ + + +

+ +

− ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥

On sait que 21 5

8 2

un > > d'où le résultat.

5.c. Pn :

2 1

1 10ⁿ

n n

u − ≤v ₋

Vérifions P0 :

0 0 20 1

2 1

3 10 1 u − = <v ₋ =

Considérons Pn vraie, démontrons Pn+1 :

On sait que

( )

¹

2 2

1 1 2 1 2 1 2 (2 1) 2 2 2 2 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

n n n n

n n n n n

u₊ v₊ u v ₋ _{− ×} _× ₋ ₊₋

−

 

− ≤ − ≤   = × = × = =

× ×

 

5.d. On a :

2 1

0 1

10ⁿ

n n

u v ₋

≤ − ≤ et on sait que

2 1

lim 1 0

10

ⁿ

n→+∞ −

=

^,

(3)

donc,

d'après le théorème des gendarmes, lim ( _n _n) 0

n u v

→+∞ − =

6. Les suites (un) et (vn) sont adjacentes elles sont donc convergentes vers la même limite L.

Celle-ci vérifie la relation 7 7

lim 0 7

n lim

n n

n

v L et L L

u L

→+∞

= ⇔ = > ⇔ =

3

7

3 3 2 1 8 1

1 1

10 10

u − ≤ v 10

₋

=

₋

=

⁻