Physique G´ en´ erale
Corrig´e de la 10`eme s´erie d’exercices 23 octobre 2012
Variation de la fonction d’´ etat entropie Machine thermique
1. Variation d’entropie
Volume T2
i T1
A
B
C
D
Pression
isotherm e
La courbe ABCD est une isotherme T2 du gaz parfait et on op`ere les transformations de mani`ere r´eversible.
Point principal : L’entropie ´etant une fonction d’´etat, sa variation est nulle dans tout processus o`u on retourne `a l’´etat initial.
a) Consid´erons le processus i→A→D →i. Dans ce processus, ∆SiADi = 0. Nous pouvons par ailleurs d´ecomposer la variation d’entropie en :
∆SiADi = ∆SiA + ∆SAD + ∆SDi = 0 ⇒ ∆SiD = −∆SDi = ∆SiA + ∆SAD Calculons ∆SAD : puisque la transformationA →Dse fait sur une isotherme de mani`ere r´eversible et nous pouvons utiliser le Th. de Clausius :
∆SAD = Z D
A
δQ T = 1
T2
Z D
A
δQ = QAD T2
1
Point important : pour calculer QAD, nous nous aidons du premier principe de la ther- modynamique. Comme nous avons un processus isotherme sur un gaz parfait, la varia- tion d’´energie interne est nulle (l’´energie interne d’un gaz parfait ne d´epend que de sa temp´erature !) , par cons´equent :
∆Uisotherme = 0 ⇒ QAD = −WAD = NKT2 lnVD
VA > 0 Donc :
∆SiD = ∆SiA + ∆SAD
| {z }
>0
⇒ ∆SiD > ∆SiA
b) Nous venons de voir que QAD = NKT2 lnVD
VA > 0 . Il en est de mˆeme de QAB
et de QAC :
QAB = NKT2 lnVB
VA < QAC = NKT2 lnVC
VA < QAD Par cons´equent :
∆SiA < ∆SiB = ∆SiA+ ∆SAB < ∆SiC = ∆SiA+ ∆SAC < ∆SiD = ∆SiA+ ∆SAD
puisque : ∆SAB = QAB
T2
, ∆SAC = QAC
T2
, ∆SAD = QAD
T2
et que nous avons les in´egalit´es
QAB < QAC < QAD
Des quatre processus propos´es, c’est la transformation i→D qui entraˆıne la plus forte variation d’entropie.
2. Machines thermiques
a) Nous recherchons la quantit´eminimalede chaleur soutir´ee `a une source chaude par une machine `a vapeur. Le rendement de cette derni`ere doit donc ˆetre maximale, c.`a.d.
´egale `a celle de Carnot pour que cela puisse se faire. Avec les donn´ees `a disposition : source chaude `a T1 = 140 + 273 = 413 K et source froide `a T1 = 30 + 273 = 303 K, le rendement de Carnot est de
ηmax = −W Q1
= 1 − T2
T1
= 26,63 %
Pour fournir 1000 Joules de travail m´ecanique, on doit fournir `a la machine au minimum Q1 = W
η = 3754 Joules .
2
b) Nous devons `a la fois v´erifier si, sur le cycle, nous avons bien
∆U = 0 = Q + W ⇒ Q = Q1 + Q2 = −W
Avant toute autre consid´eration, v´erifier le premier principe est primordial : c’est seule- ment le bilan des ´echanges d’´energie !
L’inventeur affirme ensuite que sa machine marche entre 2 sources de chaleur, l’une `a T1 = 400 K, l’autre `a T2 = 300 K. Il convient d`es lors de v´erifier que le rendement effectivement obtenuη est bien inf´erieur ou ´egal au rendement d’une machine de Carnot fonctionnant entre ces deux sources, ηCarnot = 1 − T2
T1
= 0,25
Machine Q1 Q2 Q W Remarque 1 Remarque 2
Joule Joule Joule Joule
A 200 −175 25 −40 1erprinc. non respect´e η < ηCarnot B 500 −200 300 −400 1erprinc. non respect´e 2eme` princ. non respcet´e C 600 −200 400 −400 1erprinc. respect´e 2eme` princ. non respcet´e D 100 −90 10 −10 1erprinc. respect´e η < ηCarnot Seule la machine D a des caract´eristiques qui ne sont pas en contradiction avec le premier et le deuxi`eme principe de la thermodynamique.
3. Un cycle : recherche de son rendement
A B
C
P0, V0 D 2 P0
P0
V0 2 V0
P
V
P, V
a) Le travail fourni par le gaz dans ce cycle moteur (le cycle est parcouru sur le diagramme P-V dans le sens horaire) est ´egal `a la surface du rectangle ABCDA :
W = −∆P ×∆V = −1,01×105 · 0,0225 = −2272,50 J b) Le gaz, en A, est `a la temp´erature T0 = P0V0
R = 273,47 K.
Sur la branche AB, nous avons une compression isochore (V = constant) d’un gaz parfait monoatomique CV0 = 32R = 12,47 J/mol.K . Au point B, la temp´erature du gaz aura doubl´e, puisque la pression a doubl´e et que le volume est demeur´e constant ; donc :
∆TAB = T0 = 273,47 K. La quantit´e de chaleur ´echang´ee est de QAB = NmoleCV0 ∆T = 12,47·273,47 = 3410,17 J
3
Sur la branche BC, nous avons une d´etente isobare (`a pression constante) d’un gaz parfait monoatomique : CP0 = = CV0 + R = 52R. En C, le gaz a encore doubl´e sa temp´erature par rapport au point B puisque, sur la branche BC, la pression demeure constante et le volume a doubl´e ; donc TC = 2TB = 4TA et ∆TBC = 546,93 K.
QBC = NmoleCP0 ∆T = Nmole(CV0 + R) ∆T = 20,775·546,93 = 11362,77 J La chaleur absorb´ee par le gaz est donc :
QABC = QAB + QBC = 3410,17 + 11362,77 = 14772,94 J
c) Le rendement de ce cycle est ´egal au rapport du travail fourni par le gaz sur la quantit´e de chaleur qu’il a absorb´e :
η = − W
QABC = 2272,50
14772,94 = 0,154
Remarque : Une machine de Carnot, fonctionnant entre un r´eservoir chaud dont la temp´erature serait TC = 4TA et un r´eservoir froid `a la temp´erature TA, aurait un rendement de ηCarnot = 1 − TA
TC
= 0,75 .
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