Contrˆ ole de Probabilit´ es 2

(1)

Contrˆ ole de Probabilit´ es 2

Dur´ee: 1h30min

Exercice 1 : (8 points)

I.- La loi de Poisson de param`etre λ > 0 est la loi de toute variable al´eatoire X prenant ses valeurs dans N avec P(X =k) = e^{−λ λ}_k!^k; ∀k ∈N

1. Calculer l’esp´erance math´ematique E(X) et la variance V ar(X) de la variableX.

2. Calculer la fonction caractéristique ϕ_X de la variable X et retrouver l’expression de l’espérance mathématique et de la variance de X.

II.- On considère, maintenant,X₁ etX₂ deux variables aléatoires discrètes et indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres λ₁ etλ₂ respectivement. Soit Y la variable aléatoire définie par Y =X₁+X₂.

1. Déterminer la fonction caractéristique ϕ_Y de la variable aléatoire Y et en déduire la loi de la variable Y.

2. Trouver la loi conditionnelle de X₁ par Y. Exercice 2 : (12 points)

Soit X une variable aléatoire absolument continue qui suit une loi exponentielle Exp(λ) de paramètre λ >0 ayant pour densité de probabilitéfX(x) =

λe^−λx si x>0 0 si x <0

1. Déterminer FX la fonction de répartition deX. Donner RX sa fonction de survie définie par R_X(x) = 1−F_X(x),∀x∈R.

2. Calculer son esp´erance math´ematiqueE(X) et sa variance V ar(X).

3. Déterminer sa fonction génératrice des momentsMX.

4. En déduire l’expression des moments non-centrés E(X^k) d’ordrek >1 de X. Retrouver l’expression des moments non-centrés d’ordre 1 et 2 et de la variance deX.

5. Démontrer, en utilisant la fonction de survie définie en 1˚), que la variable aléatoire X vérifie la propriété d’absence de mémoire :

P(X > x+u/X > u) = P(X > x); ∀x>0; ∀u>0.

Réciproquement, démontrer que la seule loi absolument continue vérifiant cette propriété est la loi exponentielle.

6. Soit une suite X₁, X₂,· · ·, X_n de variables aléatoires indépendantes qui suivent la même loi exponentielle Exp(λ) de paramètre λ > 0. Notons S_n = Pn

i=1X_i. Démontrer, par récurrence, que la loi deS_n est de densité de probabilité g_n(x) =

( λⁿxⁿ⁻¹e^−λx

(n−1)! si x>0 0 si x <0 appel´ee loi d’Erlang d’ordre n.

Barˆeme : Chaque question est not´ee sur 2 points.

Bonne Chance !

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(2)

Université Abdelmalek Essaâdi Année universitaire : 2018/2019 Faculté des Sciences de Tétouan S.M.A. Semestre 6 Département de Mathématiques Contrôle de Probabilités 2

Corrig´ es

Exercice 1 : I.-

1. L’espéarnce mathématique de la variable aléatoireX ∼ P(λ) est : E(X) =

+∞

X

k=0

kP(X =k) =

+∞

X

k=0

ke^−λλ^k k!

E(X) =e^−λ

+∞

X

k=1

λ^k

(k−1)! =λe^−λ

+∞

X

k=1

λ^k−1 (k−1)!

=λe^−λ

+∞

X

k=0

λ^k

k! =λe^−λe^λ =λ Donc E(X) = λ

La variance de la variable al´eatoireX est : V ar(X) = E(X²)−E(X)²

On calcul d’abord E(X²).

E(X²) =

+∞

X

k=0

k²P(X =k) =

+∞

X

k=0

k(k−1)e^−λλ^k k! +

+∞

X

k=0

ke^−λλ^k k!

E(X²) =e^−λ

+∞

X

k=2

λ^k

(k−2)! +λ

=λ²e^−λ

+∞

X

k=2

λ^k−2

(k−2)! +λ=λ²e^−λ

+∞

X

k=0

λ^k k! +λ

=λ²e^−λe^λ+λ=λ²+λ V ar(X) = λ²+λ−λ² =λ Donc V ar(X) =λ

2. La fonction caractéristique de la variable aléatoire X ∼ P(λ) est : ϕ_X(t) = E(eîtX)

=

∞

X

k=0

e^itkP(X =k)

=

∞

X

k=0

e^itke^−λλ^k k!

= e^−λ

∞

X

k=0

(λe^it)^k k!

= e^−λexp(λe^it)

= exp(λ(e^it−1) Donc ϕ_X(t) = exp(λ(e^it−1)

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(3)

? ϕ⁰_X(t) = λie^itexp(λ(e^it−1)) ϕ⁰_X(0) =λi⇒E(X) = ¹_iϕ⁰_X(0) =λ

? ϕ⁰⁰_X(t) = λi²eîtexp(λ(eît−1)) + (λieît)²exp(λ(eît−1)) ϕ⁰⁰_X(0) =λi²+λ²i² ⇒E(X²) = _i¹2ϕ⁰⁰_X(0) =λ+λ²

DoncV ar(X) = E(X²)−E(X)² =λ+λ²−λ² =λ II.- Y =X1+X2

1. ϕ_Y(t) =E(e^itY) =E(e^it(X¹^+X²⁾)

=E(eîtX¹.eîtX²) =E(eîtX¹).E(eîtX²) (carX₁ etX₂ sont indépendantes).

=ϕ_X₁(t).ϕ_X₂(t) = exp(λ₁(eît−1)).exp(λ₂(eît−1)) Donc ϕ_Y(t) = exp((λ₁+λ₂)(eît−1))

D’o`u Y ∼ P(λ₁+λ₂)

2. Soit n, m∈Z⁺ avec m < n, on a :

P(X₁ =m/Y =n) = P(X₁ =m/X₁+X₂ =n)

= P(X₁ =m, X₁+X₂ =n) P(Y =n)

= P(X₁ =m, X₂ =n−m) P(Y =n)

= P(X₁ =m).P(X₂ =n−m)

P(Y =n) (car X₁ etX₂ sont ind´ep.)

=

e^−λ¹^λ_m!^m¹ e^−λ² ^λ

n−m 1

(n−m)!

e^−(λ¹^+λ²^{) (}^λ¹^+λ_n!²⁾ⁿ = n!λ^m₁ λ^n−m₂ m!(n−m)!(λ₁+λ₂)ⁿ

= C_n^m λ^m₁ (λ₁+λ₂)^m

λ^n−m₂ (λ₁+λ₂)^n−m

= C_n^m

λ₁ λ1+λ2

m

1− λ₁ λ1+λ2

^n−m

;m= 0,1,2,· · · , n Donc la loi conditionnelle de X₁ par Y est binomiale de param`etres n etp= _λ1+λ^λ¹

2. Exercice 2 :

1. F_X(x) = Rx

−∞f_X(t)dt =Rx

−∞λe^−λtI^[0,+∞[(t)dt donc, pour x>0

F_X(x) = Rx

0 λe^−λtdt =

−e^−λtx

0 =−e^−λx+ 1 D’o`u

FX(x) =

1−e^−λx pourx>0 0 pourx <0 et

R_X(x) = 1−F_X(x) =

e^−λx pour x>0 1 pour x <0 2. E(X) =

Z +∞

−∞

xfX(x)dx= Z +∞

−∞

xλe^−λxI^[0,+∞[(x)dx

=R+∞

0 xλe^−λxdx= [−xe^−λx]^+∞₀ +R+∞

0 e^−λxdx

par parties u=x, u⁰ = 1 v⁰ =λe^−λx, v =−e^−λx

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(4)

E(X) = 0 +

h−e^−λx λ

i+∞

0

D’o`u E(X) = ¹_λ E(X²) =

Z +∞

−∞

x²f_X(x)dx= Z +∞

−∞

x²λe^−λxI^[0,+∞[(x)dx

=R+∞

0 x²λe^−λxdx= [−x²e^−λx]^+∞₀

| {z }

=0

+2R+∞

0 xe^−λxdx

par parties u=x², u⁰ = 2x v⁰ =λe^−λx, v =−e^−λx

E(X²) = 2







−xe^−λx λ

^+∞

0

| {z }

=0

+_λ¹R+∞

0 e^−λxdx







par parties u=x, u⁰ = 1 v⁰ =e^−λx, v = ^−e_λ^−λx

E(X²) = 2

1 λ

h−e^−λx λ

i+∞

0

= _λ²2

V ar(X) = E(X²)−E(X)² = _λ²2 − _λ¹2 = _λ¹2

3. M_X(t) = E(e^tX) = Z +∞

−∞

e^txf_X(x)dx

= Z +∞

−∞

λe^txe^−λxI^[0,+∞[(x)dx= Z +∞

0

λe^txe^−λxdx

= Z +∞

0

λe^(t−λ)xdx=λ

e^(t−λ)x t−λ

^+∞

0

Donc, si t−λ <0 ou t < λ, MX(t) = − λ

t−λ = λ λ−t 4. M_X(t) =

∞

X

k=0

E(X^k)t^k k!

et, on sait que λ

λ−t = 1 1− _λ^t =

∞

X

k=0

t^k

λ^k puisque t λ <1 par identification E(X^k) = k!

λ^k pour t λ <1 on retrouve E(X) = 1

λ etE(X²) = 2 λ² d’o`u V ar(X) = 2

λ² − 1 λ² = 1

λ² 5. Absence de m´emoire :

P(X > x+u/X > x) = P(X > x+u, X > x) P(X > x)

= P(X > x+u)

P(X > x) = R_X(x+u) R_X(u)

= e^−λ(x+u)

e^−λu =e^−λx=P(X > x) R´eciproquement,

Soit X une v.a. absolument continue qui n’a pas de m´emoire. Cherchons R_X sa fonction de survie.

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(5)

On a : R_X(x+u)

R_X(u) =R_X(x) o`u x>0, u>0 C’est-`a-dire R_X(x+u) =R_X(x).R_X(u)

ou encore lnR_X(x+u) = lnR_X(x) + lnR_X(u)

CommeR_X est d´ecroissante et continue `a droite, alors il existe λ >0 tel que lnR_X(x) =−λx

Par cons´equent, RX(x) =e^−λx, pour x>0.

DoncX ∼ Exp(λ).

6. Par r´ecurrence, pourn= 2, S₂ =X₁+X₂, comme X₁ etX₂ sont ind´ependantes, on a : f_S₂(x) =

Z +∞

−∞

f_X₁(t)f_X₂(x−t)dt

o`u f_X₁ et f_X₂ sont toutes les deux celles de la loi exponentielle de param`etre λ. On a, alors, pourx>0,

f_S₂(x) = Z +∞

−∞

λ²e^−λte^−λ(x−t)I^[0,+∞[(t)I^[0,+∞[(x−t)dt

= Z +∞

−∞

λ²e^−λxI[0,+∞[∩]−∞,x](t)dt

=λ²e^−λx Z +∞

−∞

I[0,x[(t)dt

=λ²e^−λxx=g2(x), pourx>0.

Pour le rang n,S_n =Sn−1+X_n et on suppose que la loi de Sn−1 est gn−1(x) = λⁿ⁻¹xⁿ⁻²e^−λx

(n−2)! .

Comme les variables aléatoiresSn−1 etX_n sont indépendantes, la densité deS_nest, donc, pourx>0,

f_S_n(x) = Z +∞

−∞

λⁿ⁻¹tⁿ⁻²e^−λt

(n−2)! λe^−λ(x−t)I^[0,+∞[(t)I^[0,+∞[(x−t)dt

= λⁿ (n−2)!

Z +∞

−∞

tⁿ⁻²e^−λxI[0,x](t)dt

= λⁿ

(n−2)!e^−λx tⁿ⁻¹

n−1 x

0

, pourx>0

= λⁿxⁿ⁻¹e^−λx

(n−1)! =gn(x), pourx>0 La loi deS_n est, donc, bien celle d’Erlang d’ordre n