95 2 9 Espaces vectoriels

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BCPST2

95 2 9 Espaces vectoriels

Dans tout le chapitre K=R ouC

I Structure d'espaces vectoriels

A) Dénition, exemples Dénition :

On appelle K−espace vectoriel, un ensembleE muni de G d'une opération, noté +vériant :

K ∀x, y∈E, x+y∈E K ∀x, y∈E, x+y=y+x

K ∀x, y, z ∈E, x+ (y+z) = (x+y) +z K ∃x₀ ∈E,∀x∈E, x+x0 =x0+x=x.

Cet élément est appelé élément nul de E et est noté 0_E. K ∀x∈E,∃y∈E, x+y=y+x= 0_E.

Cet élément est unique et est appelé symétrique (ou opposé) de xet est noté −x. G d'une loi de composition externe : K×E → E

(λ, x) 7→ λ.x

vériant : K ∀x∈E,∀λ∈K, λ.x∈E

K ∀λ∈K, ∀x, y∈E, λ.(x+y) =λ.x+λ.y K ∀λ, µ∈K, ∀x∈E,(λ+µ).x=λ.x+µ.x K ∀λ, µ∈K, ∀x∈E,(λµ).x=λ.(µ.x) K ∀x∈E,1.x=x

On notera souventλ.x=λx.

Les éléments de E sont appelés vecteurs.

Les éléments de Ksont appelés scalaires.

Exemple :

©

G Rest un R−espace vectoriel.

G Cest un C−espace vectoriel et aussi unR-espace vectoriel.

G Kⁿ est un K-espace vectoriel.

G K^N est un K-espace vectoriel.

G SiF est un K-espace vectoriel etX un ensemble.

F^X, l'ensemble des fonctions deX dansF est un K-espace vectoriel.

G Mn,p(K)est K-espace vectoriel G K[X]est K-espace vectoriel Proposition :

E unK-espace vectoriel.

G ∀λ∈K, ∀x∈E, λx= 0_E ⇐⇒ λ= 0_K oux= 0_E G ∀λ, µ∈K, ∀x∈E, (λ−µ)x=λx−µx

G ∀λ∈K, ∀x, y∈E, λ(x−y) =λx−λy

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B) Sous-espace vectoriel Dénition :

Soit E un K−espace vectoriel et F ⊂E. F est un sous-espace vectoriel si et seulement si

F 6=∅

∀x, y∈F, ∀λ∈K, λx+y ∈F

Remarque:

SiF est un sous-espace vectoriel de E alors0E ∈F.

Proposition :

Soit (E,+, .) un espace vectoriel surKetF un sous-ev.

Alors(F,+, .) est un espace vectoriel surK.

Exemple :

©

G F ={(x, y, z)∈R³, x+y+z= 0}. G G={(x, x, x)∈R³, x∈R}.

G L'ensemble des fonctions paires, des fonctions impaires, continues G Kn[X]

C) Intersection de sous-espaces vectoriels Proposition :

Soit E un K−espace vectoriel et (Fi)1≤i≤n une famille de sous-espaces vectoriels deE. AlorsF = ∩

1≤i≤nF_i est sous-espace vectoriel.

Démonstration : Remarque:

En général,F₁∪F₂ n'est pas un sous espace vectoriel.

(Sauf siF₁ ⊂F₂ ou le contraire).

D) Espace vectoriel engendré Dénition :

Soit F = (x1, x2, . . . , xn) une famille nie de vecteurs de E.

On appelle sous-espace vectoriel engendré par F et on noteVect(F) l'ensemble : Vect(F) =

( _n X

i=1

λixi,(λ1, λ2, . . . , λn)∈Kⁿ )

C'est l'ensemble des combinaisons linéaires construites à partir de F. Exemple :

©

^R² ^{= Vect(e}¹^{, e}²⁾ oùe1 = (1,0)ete2 = (0,1).

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Proposition :

Soit F = (x₁, x₂, . . . , x_n) une famille nie de vecteurs de E. AlorsVect(F) est un sous-espace vectoriel contenantF.

De plus si F est un sous-espace vectoriel contenantF alorsVect(F)⊂F. Démonstration :

II Familles de vecteurs

A) Familles libres, familles liées Dénition :

E un espace vectoriel,F = (xi)1≤i≤n une famille nie de vecteurs de E. G On dit que F est une famille libre si et seulement si

∀(λ₁, . . . , λ_n)∈Kⁿ,

n

X

i=1

λ_ix_i = 0_E =⇒ ∀1≤i≤n, λ_i = 0_K

G On dit que F est une famille liée dans le cas contraire, c'est-à-dire

∃(λ₁, . . . , λ_n)∈Kⁿ, (λ₁, . . . , λ_n)6= (0_K, . . . ,0_K),

n

X

i=1

λ_ix_i = 0_E

Exemple :

©

G Famille d'un seul vecteur : F = (x).

F est libre si et seulement si x6= 0. G Famille de deux vecteurs : F = (x1, x2).

F est libre si et seulement si (x₁, x₂) non colinéaires.

Cette propriété est fausse dès qu'il y a plus de trois vecteurs.

Dans R² :x1 = (1,1), x2= (2,1), x3 = (−1,0).

Remarque:

G Tout sur-famille d'une famille liée est encore liée.

G Tout sous-famille d'une famille libre est encore libre.

Démonstration :

Comment montrer qu'une famille (xi)1≤i≤n est libre ? est liée ?

Méthode

Soitx∈E. Soient(λ₁, . . . , λ_n)∈Kⁿ. Ecrirex=

n

X

i=1

λixi et chercher à trouver les(λi).

â On trouve une unique solution qui est (0, . . . ,0): la famille est libre

â On trouve, en plus de la solution de(0, . . . ,0), une autre solution : la famille est liée.

Proposition :

E un espace vectoriel,F = (xi)1≤i≤n une famille libre.

Soit xn+1∈/ Vect(x1, . . . , xn). Alors(x₁, . . . , x_n, x_n+1) est libre.

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Proposition : Un exemple important

G Soit(P_i)i∈I une famille nie de polynômes non nuls.

On suppose que tous les polynômes sont de degrés distincts.

Alors cette famille est libre.

G Un cas particulier : Famille de degré étagé

Soit(P0, P1, . . . , Pn)une famille de polynômes vériant : ∀0≤i≤n,deg(Pi) =i.

Démonstration :

B) Familles génératrices Dénition :

E un espace vectoriel,F = (x_i)1≤i≤n une famille nie de vecteurs de E. On dit que F est génératrice dansE si et seulement siVect(F) =E. C'est-à-dire :

∀x∈E,∃(λ₁, . . . , λn)∈Kⁿ, x=

n

X

i=1

λixi

Exemple :

©

G ((1,0),(0,1)) G ((1,0),(0,1),(1,1)) G ((1,0))

G (1, i) Remarque:

Toute sur-famille d'une famille génératrice est génératrice.

Comment montrer qu'une famille (x₁, . . . , x_n) est génératrice ?

Méthode

â Prendrex∈E et chercher à l'écrire comme combinaison linéaire de (x1, . . . , xn): x=

n

X

i=1

λ_ix_i

â Chercher lesλi...

Un raisonnement par analyse synthèse peut-être nécessaire.

DansKⁿ, cela se traduit souvent par la résolution d'un système linéaire.

â Si on trouve que(λ_i)1≤i≤n existe sans condition sur x, la famille est génératrice.

C) Bases Dénition :

E un espace vectoriel,B= (xi)1≤i≤n une famille nie de vecteurs de E. On dit que B est une base dansE si et seulement si Best libre et génératrice.

Exemple :

©

Dans R² :

G ((1,0),(0,1)) G ((1,0),(0,1),(1,1)) G ((1,0))

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Proposition :

E un espace vectoriel,B= (xi)1≤i≤n une famille nie de vecteurs de E.

B est une base deE ⇐⇒ ∀x∈E,∃!(λ₁, . . . , λn)∈Kⁿ, x=

n

X

i=1

λixi

Les scalaires (λ₁, . . . , λ_n) sont appelés coordonnées de x dans la baseB. Démonstration :

Exemple :

©

Dans R², déterminer les coordonnées de(x, y)dans les deux bases : G ((1,0),(0,1)).

G ((1,1),(0,2)).

Bases usuelles Exemple : Rⁿ

©

On note pour 1≤i≤n, e_i = (0, . . . ,1,0. . . ,0).

Alors(e1, . . . , en) est une base deRⁿ, appelée base canonique.

Pour x= (x1, x2, . . . , xn), on ax=

n

X

i=1

xiei. Exemple : Kn[X]

©

^{(1, X, X}², . . . , Xⁿ) est une base deKn[X], appelée base canonique.

Exemple : M_n,p(K)

©

On note pour 1≤i≤n, 1≤j≤p

Ei,j =

j

↓







0 . . . 0 ... 1 ...

0 . . . 0





←i

Alors(Ei,j)1≤i≤n

1≤j≤p est une base deMn,p(K), appelée base canonique.

Pour A= (ai,j)1≤i≤n

1≤j≤p, on aA= X

1≤i≤n 1≤j≤p

ai,jEi,j.

(6)

III Espace vectoriel de dimension nie

A) Dénition Dénition :

On dit qu'un espace est de dimension nie si et seulement si il admet une famille génératrice de cardinal ni.

On dit que E est de dimension innie dans le cas contraire.

Exemple :

©

G Rⁿ est de dimension nie G R^R est de dimension innie G R^N est de dimension innie G K[X]est de dimension innie

B) Théorème de la base incomplète Théorème : Théorème de la base incomplète

Soit E un espace vectoriel de dimension nie.

Soit G= (x1, . . . , xn) une famille génératrice deE. Soit L= (y₁, . . . , y_p)une famille libre de E.

On peut compléter la famille Lavec des éléments de G pour obtenir une base.

Théorème : Théorème fondamental

Tout espace vectoriel de dimension nie admet une base de cardinal ni.

C) Théorème de la dimension Théorème : Théorème de la dimension

Alors toutes les bases de E sont de cardinal ni et de même cadinal.

Ce cardinal commun est appelé dimension de E et est notédimE Exemple :

©

^G ^dim^R

n=n

G dimKn[X] =n+ 1

D) Caractérisation des bases

SoitE un ev de dimension nie.n= dim(E).

Proposition :

G Toute famille libre a au plusnéléments.

G Toute famille génératrice a au moins néléments.

Remarque:

Toute famille den+ 1éléments est liée.

(7)

Proposition :

Soit F une famille de E.

Les propositions suivantes sont équivalentes : 1^◦) F est une base.

2^◦) F est libre etcard(F) =n.

3^◦) F est génératrice etcard(F) =n.

IV Sous-espaces vectoriels d'un ev de dimension nie

A) Sous-espace vectoriel Proposition :

Soit F un sous-espace vectoriel.

AlorsF est de dimension nie et dim(F)≤dim(E). Démonstration :

Proposition :

SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels deE.

On a

F ⊂G

dim(F) = dim(G) =⇒F =G

Démonstration :

B) Rang d'une famille de vecteurs Dénition :

Soit E un espace vectoriel Soit F une famille nie de vecteurs deE. On appelle rang de F et on note :

rg(F) = dim(Vect(F)) Proposition :

On a :

G rg(F)≤card(F)

G rg(F) = card(F) ⇐⇒ F est libre.

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95 2 11 Espaces vectoriels

Un mathématicien et un physicien suivent une conférence où il est question d'un espace de dimension 17. Le physicien : "Vraiment, un espace de dimension 17... Trois je vois, quatre avec le temps, ça va, mais 17, j'ai du mal à imaginer !" Le mathématicien :" Mais non, ce n'est pas compliqué. Il sut d'imaginer un espace de dimensionn puis de prendren=17"

Parmi les ensembles suivants, déterminer ceux qui sont des sous-espaces vectoriels des espaces vectoriels classiques :

1^◦){ polynômes de degrén} ∪ {0}

2^◦){ polynômes de degré inférieur àn}

3^◦){ polynômes de degré supérieur àn} ∪ {0}

4^◦){f :R→R/f(1) = 0}

5^◦){f :R→R/f(0) = 1}

6^◦){(u_n)∈R^N/∀n∈N, u_n+2= 4u_n+1+ 3u_n} 7^◦){(un)∈R^N/∀n∈N, un+2= 4u²_n+1+ 3un}

8^◦){(x, y, z)∈R³/5x+ 3y−z= 0}

9^◦){(x, y, z)∈R³/5x+ 3y−z= 2}

10^◦){(x, y, z)∈R³/5x²+ 3y−z= 0}

11^◦){(x, y, z)∈R³/(3x−2y)(5x−y+ 2z) = 0}

12^◦){(x, y, z)∈R³/(3x−2y)²+ (5x+ 2z)²= 0}

Soit : F le sous-espace vectoriel deR³ engendré paru= (3,−1,2)etv= (−1,2,0) F⁰ le sous-espace vectoriel de R³ engendré par u⁰ = (7,−4,4)etv⁰ = (−6,7,−2)

. Montrer que F =F⁰.

Écrire les ensembles suivants comme des espaces vectoriels engendrés par une famille de vecteurs : 1^◦){(x, y, z)∈R³, x+ 2y+z= 0}

2^◦){(x, y, z)∈R³, x+ 2y+z= 0, x−y= 0}

3^◦){(x₁, . . . , x_n)∈Kⁿ;x₁+· · ·+x_n= 0}

4^◦){P ∈Kn[X];P(a) = 0 =P(b)}, où (a, b)∈K² aveca6=b 5^◦){(u_n)n∈N∈K^N;∀n∈N, u_n+1= 5u_n}

6^◦){(u_n)n∈N∈K^N;∀n∈N, u_n+2= 4u_n+1−4u_n} 7^◦){(u_n)n∈N∈K^N;∀n∈N, u_n+2= 3u_n+1−2u_n} 8^◦){M ∈M₃(K);^tM =−M}

9^◦){P ∈Kn[X];P(a) =P⁰(a) = 0} où a∈K

Dans l'espace vectoriel des fonctions C^∞(R,R), on souhaite étudier la liberté de la famille (sin,sin◦sin,sin◦sin◦sin)

(9)

1 ) Donner le développement limité desin à l'ordre 5.

2^◦) En déduire le développement limité de sin◦sinà l'ordre 5.

3^◦) La famille est-elle libre ?

Soientu= (1,2,0,1), v= (−1,1,0,2), w= (2,1,1,0).

Compléter cette famille pour obtenir une base deR⁴.

On considère dans R³ :

x= (2,3,−1) y= (1,−1,−2) u= (3,7,0) v= (5,0,−7) Montrer que Vect(x, y) = Vect(u, v).

DansR⁴, soient :

a= (1,2,3,4), b= (1,1,1,3), c= (2,1,1,1), d= (−1,0,−1,2), e= (2,3, ,0,1) Soient U =V ect(a, b, c) etV =vect(d, e).

Calculer la dimension de U, V, U ∩V, U +V.

SoientI = 1 0

0 1

, J = 1 1

0 1

, E={M(x, y) =xI+yJ; (x, y)∈R²}. 1^◦) Montrer que E est un R-espace vectoriel. En donner une base et la dimension.

2^◦) Montrer : ∀M₁, M₂∈E, M₁M₂ ∈E.

3^◦) Quels sont les éléments inversibles de E? Montrer que dans ce cas, l'inverse est élément de E. 4^◦) Résoudre, dans E, les équations :

X² =I, X² = 0, X² =X 5^◦) Pour (x, y)∈R², calculerM(x, y)ⁿ.

(10)

Préliminaire :

Soit M ∈M₃(R). On appelle trace deM le réel, noté Tr(M) =m_1,1+m_2,2+m_3,3. Montrer que Tr : M₃(R) → R

M 7→ Tr(M)

est linéaire, c'est-à-dire :

∀M, M⁰ ∈M3(R),∀λ∈R,Tr(M +λM⁰) = Tr(M) +λTr(M⁰)

On appelle matrice semi-magique, une matriceM = (mi,j)∈M3(R) qui vérie la propriété :

∃σ(M)∈R,

∀i∈[1,3], mi,1+mi,2+mi,3=σ(M)

∀j ∈[1,3], m_1,j+m_2,j+m_3,j =σ(M) On noteSM G₃ l'ensemble des matrices semi-magiques.

On appelle matrice magique, une matrice M = (m_i,j)∈M₃(R) qui vérie la propriété : M ∈SM G3 et σ(M) = Tr(M)

On noteM G3 l'ensemble des matrices magiques.

On note :E =





1 1 1 1 1 1 1 1 1



 etV =



 1 1 1





1 ^re Partie : Propriétés générales

1^◦) Montrer queM ∈M3(R) est semi-magique si et seulement si il existe λ∈Rtel que : M V =λV et^tM V =λV

Dans ce cas, on aλ=σ(M).

En déduire queSM G3 est un sous espace-vectoriel de M3(R). Vérier queSM G₃ est stable par produit.

2^◦) Montrer queM G₃ est un sous-espace vectoriel de M₃(R). 3^◦) Montrer que la transposée d'une matrice magique est magique.

4^◦) Montrer queE est magique et vérie la propriété :∀p≥1, E^p = 3^p−1E. 5^◦) Montrer :∀M ∈SM G3, EM =σ(M)E=M E.

2 ^e Partie : Base de M G3

1^◦) Montrer que toute matrice M de M G₃ est la somme d'une matrice magique symétrique et d'une matrice magique antisymétrique, et que cette décomposition est unique.

2^◦) Construire toutes les matrices magiques antisymétriques. Préciser une base et la dimension de cet espace.

3^◦) Construire toutes les matrices magiques symétriques, de trace nulle. Préciser une base et la dimension de cet espace.

4^◦) En remarquant queM −1

3T r(M)E a une trace nulle, en déduire toutes les matrices magiques symé- triques.

5^◦) En déduire une base et la dimension deM G₃.