Fonctions : Généralités

(1)

Table des matières

I Définition et vocabulaire 1

I.1 Définitions . . . 1

I.1.1 Tableau de valeurs . . . 2

I.1.2 Courbe représentative . . . 3

I.2 Etude qualitative de fonctions . . . 4

I.2.1 Sens de variation . . . 4

I.2.2 Extrema . . . 6

I.2.3 Tableau de signes . . . 6

I.2.4 Parité et symétries . . . 7

I.3 Fonctions composées . . . 7

II Fonctions de référence 9 II.1 Fonctions linéaires et affines . . . 9

II.2 Fonction carré. . . 10

II.3 Fonction inverse. . . 11

II.4 Fonction cube . . . 12

II.5 Fonction racine carrée . . . 12

II.6 Fonctions Polynômes de degré 2. . . 13

II.7 Fonctions Polynôme . . . 14

II.8 Fonction valeur absolue . . . 15

II.9 Fonction partie entière . . . 15

II.10 Fonctions trigonométriques . . . 16

II.10.1 Définition dans un triangle rectangle . . . 16

II.10.2 Définition sur le cercle trigonométrique. . . 17

II.10.3 Courbes représentatives . . . 18

I Définition et vocabulaire

I.1 Définitions

Unefonction est la donnée

• d’un sous-ensemble Dde R, et

• d’un procédé qui à un nombre x appartenant àDassocie un nombre y.

On note :

f : D → R

x 7→ y=f(x) ,

mais parfois aussi, de façon moins rigoureuse,x7→^f y ou encore f :x7→y ou encore y=f(x).

On dit quey est l’image de x par la fonctionf et quex est unantécédent de y par la fonction f.

(2)

L’ensembleD(souvent noté D_f) s’appellel’ensemble de définition de la fonction f.

Exemple 1

Soitg la fonction définie surRparg(x) =x²+ 3.

• L’image de 5estg(5) = 5²+ 3 = 28,

• Les antécédents de 7 sont les nombresxtels queg(x) = 7, c’est à dire les solutions de l’équation x²+ 3 = 7, qui sont x=−2etx= 2. (7a donc deux antécédents : 2et−2.)

• Il n’y a pas d’antécédent de1 car l’équationg(x) = 1n’a pas de solution :x²+ 3 = 1⇐⇒x²=−2.

Remarque :Comme l’illustre cet exemple, un nombrex dans l’ensembleD possède une unique image, alors qu’un nombrey peut possèder plusieurs antécédents par f.

Remarque :Formellement, une fonction doit être donnée avec son ensemble de définition. Il est pourtant fréquent que l’on donne une fonction sans spécifier son ensemble de définition : dans ce cas, on prendra pour ensemble de définition l’ensemble ’maximal’, c’est-à-dire l’ensemble de tous les nombres réels qui ont une image calculable parf. Dans de nombreux exercices, on demande ainsi de déterminer l’ensemble de définition d’une fonction.

Exemple 2

La fonctionf :x7→ 1

2x−4 a pour ensemble de définition ]− ∞; 2 [∪] 2; +∞[. En effet, l’expression 1

2x−4 n’a de sens que pour les valeurs dextelles que2x−46= 0, c’est-à-dire pourx6= 2. On dit aussi que2est unevaleur interdite pour la fonctionf.

Mais on peut aussi considérer la fonctiong :] 2; +∞[→ R;x 7→ 1

2x−4, donnée par la même expression algébrique mais ayant un ensemble de définition différent (et qui ne contient pas la valeur interdite2).

Remarque : Une fonction peut très bien être constante, c’est-à-dire que toutes les valeurs x ont la même imagek fixée (indépendant dex). On dit alors que f est la fonction constante f(x) =k.

I.1.1 Tableau de valeurs

Pour une fonctionf donnée, on peut établir un tableau de valeurs.

Dans ce tableau, la première ligne contient des nombres réelsx, et la seconde ligne contient leurs images respectivesy=f(x).

Exemple 3

Soit la fonctionf définie surR^∗parf(x) =x+2

x, on obtient le tableau suivant (grâce par exemple à une calculatrice) :

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3

f(x) −4,7 −3,7 −3 −3 ∅ 3 3 3,7

(on notera que le fait quef n’est pas définie en0est représenté par le symbole∅).

(3)

I.1.2 Courbe représentative

Dans tout le reste du chapitre, on munit le plan d’un repère orthonormal.

Un tableau de valeur donne une liste limitée d’informations sur une fonction, car on ne peut y lire qu’un nombre fini de valeurs. Mais on peut donnergraphiquement l’ensemble des valeurs prises par une fonction :

Définition 1

Dans un repère orthogonal, l’ensemble des points de coordonnées(x;f(x))forment lacourbe repré- sentative de la fonctionf (souvent notéeC_f).

Exemple 4

Soit la fonctionf définie surRpar :f(x) = 5x x²+ 1.

On trace la portion de courbe représentative def dont les abscisses sont comprises entre−3et2 :

−3 −2 −1 1 2

−3

−2

−1 1 2 3

Cf

x y

Notons que l’on a placé sur cette courbe les points correspondant au tableau de valeurs ci-dessous :

x −3 −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 f(x) −1,5 −1,7 −2 −2,3 −2,5 −2 0 2 2,5 2,3 2

Comme l’illustre l’exemple précédent, la courbe représentative d’une fonction nous permet de déterminer l’ensemble de ses valeurs, ainsi que leurs antécédents :

Méthodepour lire une image ou un antécédent à partir d’une courbe (au degré de précision permis par le dessin bien sûr) :

(4)

Image d’un nombrex₀ :

1 2

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

on placex₀ sur l’axe des abscisses,

on se déplace verticalement pour rencontrerC_f on litf(x0) sur l’axe des ordonnées

L’image de 1 par f est−2.

Antécédent(s) d’un nombrey₀ :

1 2

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

on trace la droite (horizontale)y=y0, à partir des points d’intersection avecC_f, on lit les antécédents sur l’axe des abscisses.

Les antécédents de 1 parf sont 0 et 4.

Remarque 1

Pour toute valeurx₀ dans l’ensemble de définition de f, il existe une unique image dex₀ parf, que l’on notef(x₀). Graphiquement, cela signifie que, lorsque l’on placex₀ sur l’axe des abscisses et que l’on se déplace verticalement, on rencontre le grapheC_f de f exactement une fois.

Six₀ n’est pas dans l’ensemble de définition de f, cela signifie que, lorsque l’on place x₀ sur l’axe des abscisses et que l’on se déplace verticalement, on ne rencontre jamaisC_f.

I.2 Etude qualitative de fonctions I.2.1 Sens de variation

Définition 2

• On dit qu’une fonction f est croissante sur un intervalle I si quels que soient les réelsx1 et x₂ dans I tels que x₁ ≤x₂, on af(x₁)≤f(x₂).

Autrement dit, les images de x1 et de x2 sont rangées dans le même ordre quex1 etx2.

• On dit qu’une fonction f est décroissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x1

etx₂ dans I tels quex₁ ≤x₂, on af(x₁)≥f(x₂).

Autrement dit, les images de x₁ et de x₂ sont rangées dans l’ordre inverse dex₁ etx₂.

Exemple 5 (Sens de variation de la fonction carré)

Montrons, avec cette définition, que la fonctionf(x) =x² est croissante sur[0; +∞[ . On choisitx₁ etx₂ dans[0; +∞[tels x₁≤x₂. On calculef(x₂)−f(x₁):

f(x2)−f(x1) =x²₂−x²₁= (x1+x2)(x2−x1).

On obtient un produit de deux facteurs. Or(x₁+x₂)≥0 carx₁ et x₂ sont positifs. Et (x₂−x₁)≥0 puisque l’on a supposé quex1≤x2. Donc le produit est positif, donc f(x2)−f(x1)≥0, et on a donc montré que

f(x₁)≤f(x₂).

(5)

En conclusion,f est croissante sur [0; +∞[.

(Remarque : si on avait choisix₁ etx₂quelconques, on n’aurait rien pu dire du signe dex₁+x₂.)

Fonction croissante Fonction décroissante

Donner les variationsd’une fonction signifie découper l’ensemble de définition en intervalles sur le- quels la fonction varie dans un sens bien déterminé (ou bien croissante ou bien décroissante).

Letableau de variations d’une fonction est un tableau synthétique regroupant les informations concernant les variations de la fonction.

Exemple 6

Considérons la fonctionf donnée par la courbe suivante :

1 2 3 4

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5 C_f

Cette fonction est décroissante sur [−5;−3], croissante sur [−3; 2], décroissante sur [2; 5], puis croissante [5; 7]. Le tableau de variations de la fonctionf est :

x −5 −3 2 5 7

4 4 0

f(x) & % & %

−1 −2

Notons que le tableau de variation contient aussi, à la seconde ligne, les valeurs prises par la fonction lorsque la courbe change de sens de variation.

On peut parfois être plus précis, et parler de fonctionstrictement (dé)croissante :

(6)

• On dit qu’une fonction f est strictement croissantesur un intervalle I si quels que soient les réels x₁ etx₂ dansI tels que x₁ < x₂, on af(x₁)< f(x₂).

• On dit qu’une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x₁ etx₂ dansI tels quex₁< x₂, on af(x₁)> f(x₂).

Exemple 7 (Sens de variation de la fonction inverse)

Montrons que la fonction inversef :x7→x⁻¹ est strictement décroissante sur]0; +∞[. Soient deux réelsx1etx2tels que0< x1< x2. En divisant des deux cotés parx1, puis parx2qui sont strictement positifs, on obtient 1< ^x_x²

1, puis

1 x2 <_x¹

1. On a doncf(x₂)< f(x₁).

Exercice 1

1. Démontrer que f :x7→ ¹_x est strictement décroissante sur ]− ∞; 0[.f est-elle strictement décrois- sante sur RR\ {0}?

2. Démontrer que la fonction f(x) =x² est strictement décroissante sur ]− ∞,0[.

3. Démontrer que f :x7→√

x est strictement croissante sur [0; +∞[.

I.2.2 Extrema

Définition 3

Soit f une fonction et I un intervalle compris dans l’ensemble de définition de f. Soit x0 un réel dansI.

• La fonction f admet un maximumM sur l’intervalleI en x₀ si, quel que soit le réelx dansI, on a f(x)≤f(x0) =M.

• La fonction f admet un minimum m sur l’intervalle I en x0 si, quel que soit le réel x dansI, on a f(x)≥f(x₀) =m.

Exemple 8

Dans le cas de la fonctionf de l’exemple6 :

• Le maximum def sur[−5; 7]estM = 4, atteint pourx=−5etx= 2.

• Le minimum de f sur[−5; 7]estm=−2, atteint pourx= 5.

Attention, la valeur d’un extremum dépend de l’intervalle !

Par exemple, dans l’exemple précédent, le minimum def sur [−5; 2] estm=−1, atteint pourx=−3. On dit que cet extremum estlocalcar il faut restreindre l’ensemble d’étude pour faire de lui un extremum.

Plus précisément, on dit qu’une fonctionf, définie sur un intervalle I admet un extremum local enx∈I s’il existe des nombresa etbdansI tels que a < x < betf(x) est un extremum sur [a, b].

I.2.3 Tableau de signes

Lorsque la courbe représentative d’une fonctionf croise l’axe des abscisses, cela signifie que f s’annule en ce point. Plus généralement, sa position par rapport à l’axe des abscisses donne le signe la fonction.

On réunit au sein d’un tableau appelétableau de signesles informations concernant le signe de la fonction f sur son intervalle de définition.

Exemple 9

Le tableau de signes de la fonctionf des exemples précédents est :

x −5 −4 −1 4 7

signe def(x) + 0 − 0 + 0 − 0

(7)

I.2.4 Parité et symétries

Soit f une fonction d’ensemble de définitionD_f. On dit que D_f est centré en 0 si pour toute valeur x appartenant àD_f, alors−x appartient aussi àD_f.

Par exemple,R, [−5; 5] et ]−3;−1]∪[1; 3[ sont des exemples d’ensembles centrés en 0, tandis que [2; 18], R\ {2} et [−2; 2[ ne le sont pas.

Définition 4

Soitf une fonction dont l’ensemble de définition D_f est centré en0. On dit que

• f est pairesi pour toutx dansD_f, on a

f(−x) =f(x).

Dans ce cas, la courbe représentative de la fonction f admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.

• f est impairesi pour toutx dansD_f, on a

f(−x) =−f(x).

Dans ce cas, la courbe représentative de la fonction f admet l’origine O comme centre de symétrie.

Exemple 10 Soitf(x) =x²−3.

Son ensemble de définition estR, qui est bien centré en0.

Pour toutxréel, on a

f(−x) = (−x)²−3 =x²−3 =f(x).

Donc cette fonction est paire.

Exemple 11 Soitf(x) =^x₂ +¹_x.

Son ensemble de définition estR^∗, qui est bien centré en 0.

Pour toutxréel, on a

f(−x) = ^−x₂ +_−x¹ =−^x₂−¹_x=−f(x).

Donc cette fonction est impaire.

I.3 Fonctions composées

La section suivante propose une liste de ‘fonctions de référence’, avec leurs propriétés importantes. L’in- térêt de bien connaitre ces fonctions de référence est que nombre de fonctions que nous allons rencontrer

(8)

sont ‘construites à partir de celles-ci’, en lescomposant.

Prenons la fonction f(x) = √

2x−1. Son ensemble de définition est D_f = [¹₂; +∞[ (car 2x−1 ≥ 0 si et seulement si x ≥ ¹₂). Cette fonction est ‘construite’ de la façon suivante : pour un réel x ∈ D_f, on commence par prendre l’expression de degré un ‘2x−1’ (cf. fonctions affines ci–dessous), puis on prend la racine carrée du résultat

x7→2x−17→√

2x−1.

On dit quefest la composée de deux fonctions, qui sont les deux étapes de cette construction : la première fonction est la fonction affine 2x−1, et la seconde est la fonction racine carrée. Plus précisément, si on note

u(x) = 2x−1 et v(x) =√ x, alors on a :

f(x) =v(u(x)) =v(2x−1) =√ 2x−1.

Définition 5

Soientu etv deux fonctions. On appelle composée deu parv la fonctionx7→v(u(x)).

On note cette nouvelle fonctionv◦u.

Exemple 12

Soit u(x) = x³ et v(x) = _x+1¹ . Alors la composée v ◦u de u par v est la fonction qui à x associe (v ◦u)(x) = v(u(x)) = _x3¹+1. On peut aussi considérer la composée u◦ v de v par u, qui est la fonction qui à x associe (u◦v)(x) =u(v(x)) =

1 x+1

3

.

Notons que se sont bien deux fonctions différentes ! L’ordre dans lequel on compose les fonctions est donc important !

Ensemble de définition d’une fonction composée :

Etant données deux fonctions f et g d’ensembles de définitions respectifs Df et Dg, l’ensemble de définition de la composée x 7→ f(g(x)) de g par f est l’ensemble des valeurs de x telles quex ∈ Dg et g(x)∈D_f. (Autrement dit, on veut non seulement pouvoir évaluergen x, mais aussi pouvoir évaluer f en la valeurg(x).)

Exemple 13

Soitf(x) =¹_x etg(x) = 1−x². Quel est l’ensemble de définition de la composée de gparf,f◦g(x) =_1−x¹ 2? L’ensemble de définition de g est D_g = R : les seules valeurs interdites proviennent donc def. Or la fonction f a pour ensemble de définition]− ∞; 0[∪]0; +∞[(on ne peut pas diviser par zero). L’ensemble des valeurs dextelles que g(x)∈Df est donc l’ensemble des réelsxtels que1−x²6= 0. Or, on a

1−x²= 0⇔(1−x)(1 +x) = 0⇔x= 1 oux=−1.

Donc l’ensemble de définition de la composée degparf est]− ∞;−1[∪]−1; 1[∪]1; +∞[.

(9)

II Fonctions de référence

Dans cette section, nous dressons une liste de fonction simples, et de certaines de leurs propriétés.

II.1 Fonctions linéaires et affines

Nous avons déja rencontré ce type de fonction dans le chapitre précédent : Soientaetb sont deux réels donnés.

La fonction définie sur R par f(x) = ax+b est appelée fonction affine. Elle est représentée par une droite où :

• Le réel aest le coefficient directeur de cette droite,

• Le réel b est l’ordonnée à l’origine.

Dans le cas où b = 0, la fonction est appelée fonction linéaire, représentée par une droite passant par l’origine.

Exemple 14

Représentations graphiques de quatre fonctions affines :

• C1:f(x) =x+ 1 (en vert),

• C2:g(x) = 2 (en bleu),

• C3:h(x) =−3x−2(en rouge),

• C4:l(x) = 3

4x−3(en violet).

0

Le sens de variation d’une fonction affine est déterminé par le signe du coefficient directeur de la droite :

Propriété 1

Soitf une fonction affine définie par f(x) =ax+b, alors :

• Sia >0,f est croissante sur R,

• Sia <0,f est décroissante sur R,

• Sia= 0,f est constante sur R.

Exemple 15

• La fonctionf définie parf(x) = 3x+ 2 est croissante,

• La fonctionf définie parf(x) =−2x+ 3est décroissante,

• La fonctionf définie parf(x) = 5est constante.

Rappelons que l’équationax+b= 0 a pour unique solutionx=−^b_a (lorsquea6= 0). Suivant le signe du coefficient directeura, on obtient donc les tableaux de signes suivants :

(10)

Tableau de variations et de signe des fonctions f(x) =ax+b

a > 0

x −∞ −^b_a +∞

variations %

signe de ax+b − 0 +

−4 −2 2 4

−2 2

−b/a

x y

a < 0

x −∞ −^b_a +∞

variations &

signe de ax+b + 0 −

−4 −2 2 4

−2 2

−b/a

x y

Exemple 16

Tableau de signes des fonctions définies surRparf(x) = 2x+ 4 etg(x) =−x+ 3:

x −∞ −2 +∞

variations def %

signe de f(x) − 0 +

x −∞ 3 +∞

variations deg &

signe de g(x) + 0 −

II.2 Fonction carré

La fonction définie surRparx7−→x² s’appelle lafonction carré.

Propriété 2

La fonction carré est strictement décroissante sur ] − ∞; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ; +∞[.

(Ceci a fait l’objet de l’exemple5 dans la section I.2.1).

Tableau de variations de la fonction carré :

x −∞ 0 +∞

f & %

0

La courbe représentative de la fonction carré est uneparabole de sommetO.

(11)

−4−2 2 4 5

10 15 20 25

x y

Cette parabole admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie : la fonction carré est une fonction paire. (En effet, pour toutx∈R, nous avonsx²= (−x)², ce qui est la définition d’une fonction paire.)

II.3 Fonction inverse

La fonction définie surR^∗= ] − ∞; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞[ parx7−→ 1

x est appeléefonction inverse.

Propriété 3

La fonction inverse est strictement décroissante sur ] − ∞; 0 [ et sur ] 0 ; +∞[.

Preuve : Voir exemple 7. On montre de la même manière que g est décroissante sur ] − ∞; 0 [.

Tableau de variations de la fonction inverse :

x −∞ 0 +∞

0

g & &

0

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole de centre O. Cette hyperbole admet l’origineO du repère comme centre de symétrie : en effet, la fonction inverse est une fonction impaire.

(12)

−8 −6 −4 −2 2 4 6 8

−8

−6

−4

−2 2 4 6 8

x y

II.4 Fonction cube

La fonctioncubeest définie sur Rparf(x) =x³. Cette fonction estimpaire.

(En effet, pour tout réelx,f(−x) = (−x)³= (−1)³.x³ =−x³ =−f(x))

De plus la fonction cube est strictement croissante surR, et a courbe représentative :

−8 −6 −4 −2 2 4 6 8

−8

−6

−4

−2 2 4 6 8

x y

II.5 Fonction racine carrée

La fonctionracine carréeest définie par f(x) =√

x. Son ensemble de définition estR⁺= [0; +∞[.

Elle est strictement croissante sur [0; +∞[, et a pour représentation graphique :

−2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−2 2 4 6

x y

(13)

II.6 Fonctions Polynômes de degré 2

On appelle fonctionpolynôme du second degré toute fonction P définie surR de la forme P(x) =ax²+bx+c

oùa,betc sont des réels, appelés coefficients, aveca6= 0.

Exemple 17

Exemples de fonctions polynômes du second degré, et de fonctions similaires mais d’un autre type :

fonctions polynôme de degré2 coefficients autres fonctions

P(x) = 2x²−5x+ 3 a= 2, b=−5,c= 3 P(x) =x³+ 2x²−5x+ 3 P(x) =−x²+ 3 a=−1,b= 0,c= 3 P(x) =x−5

P(x) =−7x²+ 3x a=−7,b= 3,c= 0 f(x) =x²−5x+1 x

Tableau de variations et représentation graphique d’une fonction Polynôme de degré 2 :

Propriété 4

La fonction polynôme de degré 2 définie sur RparP(x) =ax²+bx+c est :

Suivant le signe dea, on a donc les tableaux suivants :

a > 0 :

x −∞ −_2a^b +∞

f & %

f−_2a^b

a < 0 :

x −∞ −_2a^b +∞

f−_2a^b

f % &

(14)

Exemple 18

SoitP(x) = 2x²−8x+ 7.

Alorsa= 2>0, et− b

2a = 2, et on obtient : P est décroissante sur]− ∞; 2 ],

croissante sur[ 2 +∞[.

Son minimum atteint en2vaut−1.

x −∞ 2 +∞

f & %

−1

−1 1 2 3 4 5

x y

Exemple 19 SoitP(x) =−1

2x²+ 2x−3.

Alorsa=−1

2 <0, et−b

2a = 2, et on obtient : P est croissante sur]− ∞; 2 ],

décroissante sur[ 2 +∞[.

Son maximum atteint en2vaut −1.

x −∞ 2 +∞

-1

f % &

−1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 1

x y

Dans un repère orthonormal (O, I, J), la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est uneparabole. Cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.

II.7 Fonctions Polynôme

Plus généralement, on appellefonction polynôme de degré nune fonctionP de la forme : P(x) =a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a_px^p+· · ·+a₂x²+a₁x+a₀,

où a0,a1, . . ., an sont des réels appelés coefficients de P, avec an 6= 0, et où l’entier n est le degré du polynômeP.

Une fonction polynôme est définie surR. Exemple 20

Ô La fonctionP définie parP(x) = 7x⁶−5x⁴+ 3x−11est une fonction polynôme de degré6.

Ô La fonction affineax+bavec a6= 0est une fonction polynôme de degré1.

Ô La fonction constantek aveck6= 0 est une fonction polynôme de degré0.

Ô La fonctionQdéfinie par :Q(x) =x³+x+1

x n’est pas une fonction polynôme.

Deux fonctions polynômesP et Qsont égales si et seulement si elles ont même degré et les coefficients des termes de même degré sont égaux deux à deux. .

Exemple 21

Les polynômesP(x) = 2x²−3x+ 4etR(x) =ax²+bx+c sont égaux pour a= 2 b=−3 c= 4.

(15)

On appelleracined’une fonction polynôme P toute solution xde l’équation P(x) = 0 Exemple 22

Comme nous l’avons déja vu,

• Les racines de la fonction polynôme P définie surRpar :P(x) = (x−1)(x+ 3)(x−2)sont−3, 1et2

• Les fonctions polynômes du 1^er degréax+b admettent toutes une seule racine x0=−b

a, et celles du second degré admettent0,1 ou2 solutions.

• Certaines fonctions polynômes n’ont aucune racine réelle (comme par exemplex²+ 1).

II.8 Fonction valeur absolue

La fonctionvaleur absolueest définie sur Rpar

x7−→ |x|=







x, si x≥0,

−x, si x≤0.

Remarquons que la fonction valeur absolue prend donc toujours des valeurs positives.

Notons aussi que c’est le premier exemple que nous croisons d’une fonction qui est définie par plusieurs expressions algébriques, suivant le signe de x : en particulier, pour x = 0, les deux formules coincident bien !

Propriété 5

La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ] − ∞; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ; +∞[.

La courbe représentative de la fonction valeur absolue est :

−4 −2 2 4

2 4

x y

L’axe des ordonnées est un axe de symétrie : la fonction valeur absolue est en effet une fonction paire.

II.9 Fonction partie entière

La fonction partie entière est définie sur R de la manière suivante : pour tout nombre réel x, la partie entière dex, notée E(x), est le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx.

Par exemple,E(2,345) = 3, E(−2) =−2 et E(−2,343) =−3.

(16)

Propriété 6 On a toujours

E(x)≤x < E(x) + 1, avec égalité si et seulement six est un entier relatif.

La courbe représentative de la fonction partie entière est :

−2 −1 1 2 3

−3

−2

−1 1 2 3

x y

II.10 Fonctions trigonométriques

Nous allons maintenant rappeler les définitions des fonctions cosinus, sinus et tangente. Ce sont des fonctions dont la variablex est un angle, habituellement mesuré en radians.

Nous ne rappelons pas ici la définition précise de cette notion, mais juste ces quelques équivalences avec les degrés :

valeur en radians 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ ^2π₃ ^3π₄ π ^3π₂ 2π

valeur en degrés 0 30 45 60 90 120 135 180 270 360

nom de l’angle angle nul angle droit angle plat angle plein

II.10.1 Définition dans un triangle rectangle

Commençons par définir ces fonctions pour les angles aigus (i.e. compris entre l’angle nul et de l’angle droit). SoitABC un triangle rectangle enC. Alors l’angle ˆAest bien aigu et on définit

cos ˆA= AC

AB = côté adjacent

hypothénuse et sin ˆA= BC

AB = côté opposé hypothénuse, ainsi que

tan ˆA= sin ˆA

cos ˆA = côté opposé côté adjacent. Pour l’angle nul, on a en particulier cos(0) = 1, sin(0) = 0 et tan(0) = 0.

Pour l’angle droit, on a cos(^π₂) = 0 et sin(^π₂) = 1, et la fonction tan n’est donc pas définie enx= ^π₂.

(17)

II.10.2 Définition sur le cercle trigonométrique

Pour définir les valeurs de ces fonctions pour un réel quelconque, on utilise le cercle trigonométrique.

Etant donné un repère orthonormé (O, I, J), le cercle trigonométrique est cercle de rayon 1 et de centre l’origine.

Pour un réelx quelconque, on peut parcourir le cercle trigonométrique dans le sens inverse des aiguilles d’une montre selon un angle de x radians – par exemple, pour x = π (resp. 2π ou 3π), on fait un demi-tour (resp. un tour complet ou un tour et demi) – jusqu’à un pointM du cercle. Alors on a :

• Le cosinus de x est l’abscisse de M dans le repère (O, I, J)

• Le sinus de x est l’ordonnée deM dans le repère (O, I, J) La fonction tangente est toujours définie par tan(x) = ^sin(x)_cos(x).

M

x cosx sinx

0

−

→j

−

→i

On peut vérifier les propriétés suivantes.

Propriété 7

• Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur R.

• La fonction tangente est définie sur Rprivé de tous les réels de la forme ^π₂ +kπ, oùk est un entier naturel quelconque.

• cosx est une fonction paire. sinx et tanx sont des fonctions impaires.

• −16cosx61 et −16sinx61, pour tout réelx.

• cos²x+ sin²x= 1, pour tout réel x.

De plus, les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques : pour tout réel x, on a cos(x+ 2π) = cos(x) et sin(x+ 2π) = sin(x).

La fonction tangente estπ-périodiques : pour tout réelx, on a tan(x+π) = tan(x).

Les valeurs suivantes sont à connaitre (ou, plutôt, il faut savoir les retrouver grâce au cercle trigonomé- trique : faire l’exercice !) :

x 0 π

6

π 4

π 3

π

2 π

sinx 0 1

2

√2 2

√3

2 1 0

cosx 1

√ 3 2

√ 2 2

1

2 0 −1

tanx 0 1

√

3 1 √

3 ∅ 0

(18)

II.10.3 Courbes représentatives

Ci-dessous, les courbes représentatives des fonctions cosinus (à gauche) et sinus (à droite) :

−4 −2 2 4

−1

1 x

y

−4 −2 2 4

−1

1 x

y

Enfin, la courbe représentative de la fonction tangente :

−6 −4 −2 2 4 6

−4

−2 2 4

x y