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Généralités sur les fonctions, fonctions de référence I. Notion de fonction
Définitions - Fonction et ensemble de définition
Soit D un ensemble de nombres réels, par exemple un intervalle.
Définir une fonction 𝑓 sur D revient à ……….
……….
D est ………. de la fonction : c'est l'ensemble des nombres pour lesquels il existe une ………..
Remarques
• Soit 𝑎 ∈ 𝐷. L’image du nombre 𝑎 par la fonction 𝑓 est ………. et se note … … … ..
𝑓(𝑎) se lit « … … … ».
• S'il n'est pas donné, l'ensemble de définition d'une fonction peut être obtenu par ………
………(en cherchant par exemple des valeurs ………..), par analyse du contexte lié à cette fonction (comme des distances par exemple).
• Modéliser une situation par une fonction 𝑓, c'est ………..
……… (notée en général 𝑥, 𝑡 ou 𝑛) dans un ensemble de définition, puis en définissant les valeurs associées 𝑓(𝑥) à chacune des valeurs prises par la variable (par exemple par une formule, un tableau ou une courbe).
• Vocabulaire : si 𝑏 est ……… de 𝑎, on a l'égalité … … … et 𝑎 est appelé un ………
de 𝑏 par la fonction 𝑓.
• Un nombre peut avoir … … … …. antécédents.
Définition - Expression algébrique d'une fonction
Soit 𝑓 une fonction, 𝐷 son ensemble de définition et 𝑥 ∈ 𝐷.
L'expression algébrique d'une fonction donne ………..
Exemple
La fonction 𝑔 est définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 6)2
L'ensemble de définition est … … .. : on peut calculer les images de n'importe quel nombre réel par la fonction 𝑔. Par exemple, on a 𝑔(2) = … … … ….
Remarques
• On peut parfois écrire 𝑔: 𝑥 ⟼ (𝑥 − 6)2 qui se lit « ……….. ».
• Il n'existe pas toujours ………..
Définition - Tableau de valeurs
Soit 𝑓 une fonction, 𝐷 son ensemble de définition et 𝑥 un élément de 𝐷.
Un tableau de valeurs d'une fonction 𝑓 donne, sur la première ligne (ou colonne) ………
…………et, en vis-à-vis sur la deuxième ligne (ou colonne), les ………...
Exemple
La fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 3𝑥 + 5 admet le tableau de valeurs ci-contre.
Page 2 sur 5 Remarques
• Un tableau de valeurs n'est pas ………….. : il dépend du choix des valeurs de 𝑥 sur la ………
……….
• Il s'obtient facilement avec une calculatrice (voir le TP1) ou un tableur.
II. Courbe représentative d'une fonction
Définition - Courbe représentative d'une fonction
On considère une fonction f définie sur son ensemble de définition 𝐷.
Dans un repère, la courbe d'équation … … … …. est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (𝑥 ; 𝑦) vérifient l'égalité… … … ….
Cette courbe est la ……….
Remarque
Autrement dit, cela signifie que ………. d'un point ……….. de la courbe représentative de la fonction 𝑓 vaut… ….: la courbe est donc l'ensemble des points de coordonnées … … … …. où 𝑥 parcourt l'ensemble de définition 𝐷 de la fonction 𝑓.
Exemples
① On considère la fonction 𝑓 définie sur [−2 ; 2] par 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2− 4.
La courbe représentative de la fonction 𝑓 est la courbe d'équation 𝑦 = (𝑥 − 1)2− 4 tracée ci-contre.
𝑓(1) = … … … .., donc l'image de ……… : la courbe passe par le point … … …
Le point 𝐵(−2 ; 5) est sur la courbe. Cela veut dire que … … … ….
② Soit la fonction ℎ définie par ℎ(𝑥) = 3 − 0,5𝑥2 pour tout réel 𝑥.
On a ℎ(0) = … … … .. donc le point de coordonnées 𝐴(… ; … ) ……… à la courbe représentative 𝒞ℎ de ℎ.
On peut, de la même façon, calculer et consigner les coordonnées de plusieurs points dans un tableau.
La courbe de la fonction ℎ passe par les points que l'on a obtenus.
③ On peut résoudre de manière approchée une équation ou une inéquation en utilisant la courbe représentative d'une fonction.
Par exemple, on considère une fonction 𝑓 définie sur [−1 ; 6] dont on donne ci- contre la courbe représentative 𝒞𝑓 .
De manière graphique :
• les solutions de l'équation 𝑓(𝑥) = 2 sont ………..
• l'ensemble des solutions de l’inéquation 𝑓(𝑥) ≤ 2 est … … …
→ Exercices résolus 1 et 2 page 197 – 198
Remarque - On peut tracer la courbe d'une fonction sur l'écran de la calculatrice (voir le TP1).
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III. Fonction paire et fonction impaire
Définition - Ensemble symétrique par rapport à 0
Un ensemble de ℝ (par exemple un intervalle) est dit symétrique par rapport à 0 si, ………..
……….
Exemples
L'intervalle [−5 ; 5] est ………...
L'intervalle [−4 ; 3] ………... (par
exemple … .. est dans l’intervalle mais pas ……….).
Définition - Fonction paire
Une fonction 𝑓, définie sur un ensemble de définition 𝐷 symétrique par rapport à 0, est dite paire si, pour tout réel 𝑥 de 𝐷, on a … … … ….
Propriété - Symétrie de la courbe d'une fonction paire
La courbe représentative d'une fonction paire est ………..
Remarque
Si la courbe d'une fonction semble symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, on peut conjecturer que ..
……….
Exemple
La fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥2 est paire.
En effet, l'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.
De plus, 𝑓(−𝑥) = … … … pour tout réel 𝑥.
Exercice résolu 3 page 199
Définition - Fonction impaire
Une fonction 𝑓, définie sur un ensemble de définition 𝐷 symétrique par rapport à 0, est dite impaire si, pour tout réel 𝑥 de 𝐷, on a … … … ….
Propriété - Symétrie de la courbe d'une fonction impaire
La courbe représentative d'une fonction impaire est ……….
Remarque
Si la courbe d'une fonction semble symétrique par rapport à l'origine, on peut conjecturer que ………..
………...
Exemple
La fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥3 est impaire.
En effet, l'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.
De plus, 𝑓(−𝑥) = … … … pour tout réel 𝑥.
Exercice résolu 3 page 199
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IV. Quelques exemples de fonctions de référence
Une fonction de référence est une fonction simple qui permet l’étude d’une famille plus large de fonctions.
1. Fonction carré
Définition - Fonction carré
La fonction carré est la fonction 𝑓 définie sur ℝ par … … … ..
Elle associe à chaque nombre réel ………..
Un tableau de valeurs de la fonction carré est :
Sa courbe représentative est tracée dans le repère ci-contre.
Sa courbe fait partie d'une famille de courbes appelées « ……….. ».
Propriété - Parité de la fonction carré
La fonction carré (définie sur ℝ) est ………...
Remarque
La courbe représentative de la fonction carré est ………, ce que l'on peut observer graphiquement.
2. Fonction inverse
Définition - Fonction inverse
La fonction inverse est la fonction 𝑓 définie sur ℝ∗ par … … … … ….
Elle associe à chaque nombre réel non nul son ………...
Un tableau de valeurs de la fonction inverse est :
Sa courbe représentative est tracée dans le repère ci-contre.
Sa courbe fait partie d'une famille de courbes appelées « hyperboles ».
Propriété - Parité de la fonction inverse
La fonction inverse (définie sur ℝ∗) est ………
Remarque
La courbe représentative de la fonction inverse est ………., ce que l'on peut observer graphiquement.
Page 5 sur 5 3. Fonction affine
Définition - Fonction affine
Une fonction affine est une fonction définie sur ℝ qui à 𝑥 associe … … … ..
(avec 𝑚 et 𝑝 réels).
Remarque
Les fonctions affines sont représentées graphiquement par des ……….
Exemple
𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 0,5𝑥 + 1 est une fonction affine avec 𝑚 = 0,5 et 𝑝 = 1.
Sa courbe représentative est tracée dans le repère ci-contre.
L'équation réduite de cette droite est … … … ….
4. Fonction racine carrée
Définition - Fonction racine carrée
La fonction racine carrée est la fonction 𝑓 définie sur [0 ; +∞[ par … … … Elle associe à chaque ………..
Un tableau de valeurs de la fonction racine carrée est :
Sa courbe représentative est tracée dans le repère ci-contre.
5. Fonction cube
Définition - Fonction cube
La fonction cube est la fonction f définie sur ℝ par … … … Elle associe à chaque nombre réel ………
Un tableau de valeurs de la fonction cube est :
Sa courbe représentative est tracée dans le repère ci-contre.
Propriété - Parité de la fonction cube
La fonction cube (définie sur ℝ) est ……….
Remarque
La courbe représentative de la fonction cube est ……….., ce que l'on peut observer graphiquement.
Exercice résolu 4 page 199
