Matrices

Exercices sur les matrices

1. Soient les matrices A =   20 12 −11 5 2 ₋₃   , B =   10 11 11 0 0 1   . (a) Démontrer que A est inversible et calculer A−1.

(b) Vérifier quet¡_A−1¢_{= (}t_A)−1 _et t_{(A · B) =}t_A·t_B.

2. Soient les matrices A =   12 00 23 4 1 8   , B =   10 00 10 1 0 1   , C =   65 34 52 6 0 4   . (a) Démontrer que A est inversible et calculer A−1_.

(b) Calculer B2 , B3, puis par récurrence Bn _{, n ∈ N.}

(c) Résoudre l’équation matricielle A · X · A = A · B5_{− C · A + A}2_.

3. Soit la matrice A =   01 00 13 0 1 0   . (a) Calculer A2 _{et A}3_. (b) Calculer la matrice S = A3_{+ a · A}2_{+ b · A + c · I} 3 où a, b, c ∈ R.

(c) Pour quelles valeurs de a, b, c la matrice S est-elle égale à la matrice nulle ?

4. Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Si oui, déterminer leur inverse.

A =   20 23 01 1 0 1   , B =   _{−3 −2 0}2 1 0 4 1 1   , C =   52 33 62 2 _{−1 3}   , D =   a0 a0 bc b c 0 

5. Pour quelles valeurs de m les matrices suivantes sont-elles inversibles? A =   10 m1 20 m 2 m   , B =   _{−m 0}m 3 m0 1 2 _−m  

6. Soient les matrices A =   30 13 00 0 0 3   , B =   20 03 01 0 0 3   . (a) Démontrer que A est inversible et calculer A−1.

(b) Résoudre l’équation matricielle A · X · A = B · A − A2_.

7. Soient les matrices A =   _{−3 −2 0}2 1 0 4 1 1   , B =   11 10 −31 −1 2 1   . (a) Démontrer que les matrices A et B sont inversibles et calculer A−1

et B−1_.

(b) Résoudre l’équation matricielle B · X · A = A + B · A.

8. Soient les matrices A =   03 10 04 −1 −2 −1   , B =   11 11 11 1 1 1   . (a) Démontrer que A est inversible et calculer A−1_.

(b) Calculer B2_{, B}3 _{, puis par récurrence B}n_{, n ∈ N}∗_.

(c) Résoudre l’équation matricielle A · X · A = A · B5− A2.

9. Soient les matrices A =   01 30 −1₋₂ 0 4 ₋₁   , B =   20 13 ₋₁0 0 1 ₋₃   . (a) Démontrer que A est inversible et calculer A−1_.

Exercices sur les matrices :

solutions

¯= −1 6= 0;donc A est inversible A−1₌   20 12 −11 5 2 ₋₃   −1 =   ₋₅8 −1 −31 2 10 _{−1 −4}   (b) t¡_A−1¢₌   ₋₁8 −51 ₋₁10 −3 2 ₋₄   (t_A)−1₌   21 02 52 −1 1 −3   −1 =   ₋₁8 −51 ₋₁10 −3 2 ₋₄   Donc: t¡_A−1¢_{= (}t_A)−1 t_{(A · B) =}t     20 12 −11 5 2 ₋₃     10 11 11 0 0 1     =t   20 32 23 5 7 4   =   23 02 57 2 3 4   t_B·t_{A =}   11 01 00 1 1 1     21 02 52 −1 1 −3   =   23 02 57 2 3 4   Donc: t_{(A · B) =}t_A·t_B 2. (a) det A = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 2 2 0 3 4 1 8 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

A−1=   12 00 23 4 1 8   −1 =   −3₋₄ 20 01 2 _{−1 0}   (b) B2₌   10 00 10 1 0 1   ·   10 00 10 1 0 1   =   20 00 20 2 0 2   B3₌   20 00 20 2 0 2   ·   10 00 10 1 0 1   =   40 00 40 4 0 4   Bn₌   2 n−1 _{0 2}n−1 0 0 0 2n−1 _{0 2}n−1   n ∈ N (c) A · X · A = A · B5_{− C · A + A}2 ⇔ A−1_{· A · X · A = A}−1_{· A · B}5_{− A}−1_{· C · A + A}−1_{· A}2 ⇔ X · A = B5_{− A}−1_{· C · A + A} ⇔ X · A · A−1_{= B}5_{· A}−1_{− A}−1_{· C · A · A}−1_{+ A · A}−1 ⇔ X = B5_{· A}−1_{− A}−1_{· C + I} 3 ⇔ X =   160 00 160 16 0 16   ·   −3−4 20 01 2 _{−1 0}   −   −3₋₄ 20 01 2 _{−1 0}   ·   65 34 52 6 0 4   +   10 01 00 0 0 1   ⇔ X =   −16 16 00 0 0 −16 16 0  −   _{−18 −12 −16}−8 −1 −11 7 2 8  +   10 01 00 0 0 1   ⇔ X =   −718 1713 1116 −23 14 −7   3. (a) A2₌   01 00 13 0 1 0   ·   01 00 13 0 1 0   =   00 13 01 1 0 3   A3₌   01 00 13 0 1 0   ·   00 13 01 1 0 3   =   13 01 39 0 3 1  

(b) S = A3_{+ a · A}2_{+ b · A + c · I} 3 ⇔ S =   13 01 39 0 3 1  +a   00 13 01 1 0 3  +b   01 00 13 0 1 0  +c   10 01 00 0 0 1   ⇔ S =   c + 1b + 3 3a + c + 1a a + 3b + 9b + 3 a b + 3 3a + c + 1  

(c) S est égale à la matrice nulle

⇔                c + 1 = 0 b + 3 = 0 a = 0 3a + c + 1 = 0 a + 3b + 9 = 0 3a + c + 1 = 0 ⇔    a = 0 b = −3 c = −1 4. detA = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 2 0 0 3 1 1 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯= 8 6= 0;donc A est inversible A−1₌   20 23 01 1 0 1   −1 =   3 8 − 1 4 1 4 1 8 1 4 − 1 4 −38 1 4 3 4   det B = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 0 −3 −2 0 4 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯= −1 6= 0;donc B est inversible B−1₌   _{−3 −2 0}2 1 0 4 1 1   −1 =   _{−3 −2 0}2 1 0 −5 −2 1   det C = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5 3 6 2 3 2 2 _{−1 3} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯= 1 6= 0;donc C est inversible C−1₌   52 33 62 2 _{−1 3}   −1 =   ₋₂11 −15 −123 2 −8 11 9  

det D = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 a b a 0 c b c 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯= 2abc 6= 0;donc D est inversible D−1₌   a0 a0 bc b c 0   −1 =   − c 2ab 1 2a 1 2b 1 2a − b 2ac 1 2c 1 2b 1 2c − a 2bc   5. det A = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 m 2 0 1 0 m 2 m ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= −m sim 6= 0, A est inversible A−1₌   10 m1 20 m 2 m   −1 =   −1 m2−4 m 2 m 0 1 0 1 −m_m2+2 _−m1   det B = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ m 3 0 −m 0 m 1 2 _−m ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 3m − 5m 2_{= −m (5m − 3)} si_{m 6= 0 et m 6=} 3 5, B est inversible B−1₌   _{−m 0}m 3 m0 1 2 _−m   −1 =   2 5m−3 − 3 5m−3 − 3 5m−3 m−1 5m−3 m 5m−3 m 5m−3 2 5m−3 2m−3 −3m+5m2 −_5m3₋₃   6. (a) det A = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 0 0 3 0 0 0 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯= 27 6= 0; A est donc inversible A−1₌   30 13 00 0 0 3   −1 =   1 3 − 1 9 0 0 1 3 0 0 0 1 3   (b) A · X · A = B · A − A2 ⇔ A−1_{· A · X · A = A}−1_{· B · A − A}−1_{· A}2 ⇔ X · A = A−1_{· B · A − A} ⇔ X · A · A−1_{= A}−1_{· B · A · A}−1_{− A · A}−1

⇔ X = A−1_{· B − I3} ⇔ X =   1 3 −19 0 0 1 3 0 0 0 1 3   ·   20 03 01 0 0 3   −   10 01 00 0 0 1   ⇔ X =   1 3 − 2 9 − 1 9 0 2₃ 1₃ 0 0 2₃   7. (a) detA = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 0 −3 −2 0 4 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯= −1 6= 0;donc A est inversible A−1₌   _{−3 −2 0}2 1 0 4 1 1   −1 =   _{−3 −2 0}2 1 0 −5 −2 1   det B = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ₋₃ 1 0 1 −1 2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯= −10 6= 0;donc B est inversible B−1₌   11 10 −31 −1 2 1   −1 =   1 5 7 10 − 1 10 1 5 1 5 2 5 −15 3 10 1 10   (b) B · X · A = A + B · A ⇔ B−1· B · X · A = B−1· A + B−1· B · A ⇔ X · A = B−1_{· A + A} ⇔ X · A · A−1_{= B}−1_{· A · A}−1_{+ A · A}−1 ⇔ X = B−1_{+ I} 3 ⇔ X =   1 5 7 10 − 1 10 1 5 1 5 2 5 −15 3 10 1 10   +   10 01 00 0 0 1   ⇔ X =   6 5 7 10 − 1 10 1 5 6 5 2 5 −15 3 10 11 10  

8. (a) detA = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 0 3 0 4 −1 −2 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯= −1 6= 0;donc A est inversible A−1₌   03 10 04 −1 −2 −1   −1 =   −8 −1 −41 0 0 6 1 3   (b) B2₌   11 11 11 1 1 1   ·   11 11 11 1 1 1   =   33 33 33 3 3 3   B3₌   11 11 11 1 1 1   ·   33 33 33 3 3 3   =   99 99 99 9 9 9   Bn=   3 n−1 ₃n−1 ₃n−1 3n−1 ₃n−1 ₃n−1 3n−1 ₃n−1 ₃n−1   , n ∈ N∗ (c) A · X · A = A · B5− A2 ⇔ A−1· A · X · A = A−1· A · B5− A−1· A2 ⇔ X · A = B5− A ⇔ X · A · A−1_{= B}5_{· A}−1_{− A · A}−1 ⇔ X = B5_{· A}−1_{− I} 3 ⇔ X =   8181 8181 8181 81 81 81   ·   −8 −1 −41 0 0 6 1 3   −   10 01 00 0 0 1   ⇔ X =   −162 −81 −162_{−162 −81 −162} −162 −81 −162   9. (a) detA = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 3 ₋₁ 1 0 ₋₂ 0 4 ₋₁ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯= −1 6= 0;donc A est inversible A−1₌   01 30 −1₋₂ 0 4 ₋₁   −1 =   −8 1 6_{−1 0 1} −4 0 3  

(b) A · X · A = A · B − A2 ⇔ A−1· A · X · A = A−1· A · B − A−1· A2 ⇔ X · A = B − A ⇔ X · A · A−1= B · A−1− A · A−1 ⇔ X = B · A−1− I3 ⇔ X =   20 13 ₋₁0 0 1 ₋₃   ·   −8 1 6_{−1 0 1} −4 0 3   −   10 01 00 0 0 1   ⇔ X =   −191 ₋₃1 131 11 _{−1 −5}  

Mise en pages des énoncés: Robert CUNY(IereC 5, LCD 2004)

Rédaction et mise en pages des solutions: