Exercices bac -- 2011-2016 -- matrices

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Exercices bac -- 2011-2016 -- matrices

E 1

Le gestionnaire d'un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.

Des études statistiques lui ont permis de s'apercevoir que :

• Si un internaute est sur la page n^o1, alors il ira, soit sur la page n^o2 avec la probabilité ¹ 4, soit sur la page n^o3 avec la probabilité ³

4.

• Si un internaute est sur la page n^o2, alors, soit il ira sur la page n^o1 avec la probabilité ¹ 2 soit il restera sur la page n^o2 avec la probabilité ¹

4, soit il ira sur la page n^o3 avec la probabilité ¹ 4.

• Si un internaute est sur la page n^o3, alors, soit il ira sur la page n^o1 avec la probabilité ¹ 2, soit il ira sur la page n^o2 avec la probabilité ¹

4,soit il restera sur la page n^o3 avec la probabilité ¹ 4. Pour tout entier natureln, on définit les évènements et les probabilités suivants :

An : « Après la n-ième navigation, l'internaute est sur la page n^o1 » et on note an=P (An). Bn : « Après la n-ième navigation, l'internaute est sur la page n^o2 » et on note bn=P (Bn). C_n : « Après la n-ième navigation, l'internaute est sur la page n^o3 » et on notecn=P (C_n). 1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a an+1=1

2bn+1 2cn. On admet que, de même,bn+1=1

4an+1 4bn+1

4cn et cn+1=3 4an+1

4bn+1 4cn.

Ainsi : _

















an+1 = 1 2bn+1

2cn

bn+1 = 1 4an+1

4bn+1 4cn

cn+1 = 3 4an+1

4bn+1 4cn

2. Pour tout entier naturel n, on pose U_n=



an

bn

cn



.

U₀=



a0

b0

c0



 représente la situation initiale, avec a0+b0+c0=1.

Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+1=MUn oùM est une matrice 3×3 que l'on pré- cisera.

En déduire que, pour tout entier natureln, Un=MⁿU₀.

3. Montrer qu'il existe une seule matrice colonne U=



x y z



 telle que : x+y+z=1 etMU=U. 4. Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir l'expression de Mⁿ,n étant un entier naturel non nul :

Mⁿ=





1 3+

(₋₁ 2

)n

×2 3

1 3+

(₋₁ 2

)n

−3 1 3+

(₋₁ 2

)n

−3 1

4

1 4

1 4 5

12+

(−(₋₁ 2

)n)

×2 3

5

12+⁻⁽₋⁻¹²₃⁾ⁿ ₁₂⁵ +⁻⁽₋⁻¹²₃⁾ⁿ





Pour tout entier naturel n non nul, exprimer an,bn et cn en fonction de n. En déduire que les suites (an) , (bn) et(cn)convergent vers des limites que l'on précisera.

5. Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme.

E 2

On définit les suite(un) et(vn) sur l'ensemble Ndes entiers naturels par : u0=0 ;v0=1 ,et







un+1 = un+vn

2 v_n+1 = un+2vn

3

Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites(un) et(vn). 1. Calculer u1 et v1.

2. On considère l'algorithme suivant :

Variables : u, v et w des nombres réels N etk des nombres entiers Initialisation : u prend la valeur 0

v prend la valeur 1 Début de l'algorithme

Entrer la valeur de N Pour k variant de 1 à N

w prend la valeur u u prend la valeur ^w+v

2 v prend la valeur ^w+2v Fin du Pour 3

Afficheru Afficher v Fin de l'algorithme

(a) On exécute cet algorithme en saisissant N=2. Recopier et compléter le tableau donné ci- dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.

k w u v

1 2

(b) Pour un nombre N donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?

3. Pour tout entier naturel n on définit le vecteur colonneX_n par X_n= (un

vn

)

et la matrice Apar A=

(1 2

1 1 2 3

2 3

) .

(a) Vérifier que, pour tout entier naturel n,Xn+1=AXn.

(b) Démontrer par récurrence que X_n=AⁿX₀ pour tout entier naturel n. 4. On définit les matrices P, P^′ etB par P=

( ₄

5 6 5

−⁶₅ ⁶₅ )

, P^′= (₁

2 −¹₂

1 2

1 3

) et B=

(1 0 0 ¹₆ )

. (a) Calculer le produit PP^′.

On admet queP^′BP=A.

Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, Aⁿ=P^′BⁿP. (b) On admet que pour tout entier naturel n,Bⁿ=

(1 0 0 (₁

6

)n

) . En déduire l'expression de la matrice Aⁿ en fonction de n. 5. (a) Montrer que Xn=

(₃

5−³₅(₁

6

)n 3

5+²₅(₁

6

)n

)

pour tout entier naturel n. En déduire les expressions deun et vn en fonction de n.

(b) Déterminer alors les limites des suites (un) et (vn).

E 3

Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d'une photographie.

Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE^′F^′G^′, appelé image de OEFG.

E F

G

O

E^′ F^′

G^′

Figure 1

L'objet de cet exercice est d'étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.

Partie A

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ⁽O ;⃗ı,⃗ȷ) .

Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2), (−1 ; 5) et(−3 ; 3).

La transformation du logiciel associe à tout point M(x; y) du plan le pointM^′(x^′;y^′), image du point M tel que :









x^′ = 5 4x+3

4y y^′ = 3

4x+5 4y

O

E F

G

Figure 2

1. (a) Calculer les coordonnées des points E^′, F^′ et G^′, images des points E, F et G par cette transformation.

(b) Comparer les longueurs OE et OE^′ d'une part, OG et OG^′ d'autre part.

Donner la matrice carrée d'ordre 2, notée A, telle que : (x^′

y^′ )

=A (x

y )

.

Partie B

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle OEFG lorsqu'on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

1. On considère l'algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives.

Une erreur a été commise.

Modifier cet algorithme pour qu'il permette d'afficher ces coordonnées.

Entrée Saisir un entier naturel non nulN Initialisation Affecter àxla valeur₋1

Affecter ày la valeur 5

Traitement

POURi allant de 1 àN Affecter àala valeur⁵₄x+³₄y Affecter àbla valeur³₄x+⁵₄y Affecter àxla valeura Affecter ày la valeurb FIN POUR

Sortie Afficherx, affichery 2. On a obtenu le tableau suivant :

i 1 2 3 4 5 10 15

x 2, 5 7, 25 15, 625 31,812 5 63,906 3 2 047,997 1 65 535,999 9 y 5, 5 8, 75 16, 375 32,187 5 64,093 8 2 048,002 9 65 536,000 1 Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F.

Partie C

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle OEFG. On définit la suite des pointsE_n(

xn ; yn

) du plan par E₀= E et la relation de récurrence : (x_n+1

yn+1

)

=A (xn

yn

) , où⁽xn+1;yn+1

) désignent les coordonnées du pointEn+1. Ainsi x0=2 et y0=2.

1. On admet que, pour tout entier n ⩾¹, la matrice Aⁿ peut s'écrire sous la forme : Aⁿ = (αn βn

βn αn

) .

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n⩾¹, on a : αn=2ⁿ⁻¹+ 1

2ⁿ⁺¹ et _βn=2ⁿ⁻¹− 1 2ⁿ⁺¹.

2. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, le point En est situé sur la droite d'équation y=x.

On pourra utiliser que, pour tout entier naturel n, les coordonnées ⁽xn ; yn

) du point E_n véri- fient :

(xn

yn

)

=Aⁿ (2

2 )

.

(b) Démontrer que la longueur OE_n tend vers_+∞ quand n tend vers _+∞.

E 4

On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1^er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville.

L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de mo- déliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

• l'effectif de la population est globalement constant,

• chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel n, on note vn le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1^erjanvier de l'année (2013+n) etcn le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

1. Pour tout entier naturel n, exprimer vn+1 etcn+1 en fonction de vn etcn. 2. Soit la matrice A=

(0, 95 0, 01 0, 05 0, 99 )

. On poseX=

(a b )

oùa,b sont deux réels fixés et Y=AX. Déterminer, en fonction de a et b, les réels c et d tels que Y=

(c d )

. Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel n,

X_n+1=AX_n où X_n= (vn

cn

)

. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel n, X_n=AⁿX₀.

3. Soient les matrices P= (1 −1

5 1

) etQ=

(1 1

−5 1 )

.

(a) Calculer PQ etQP. En déduire la matrice P⁻¹ en fonction de Q.

(b) Vérifier que la matrice P⁻¹AP est une matrice diagonale D que l'on précisera.

(c) Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, Aⁿ=PDⁿP⁻¹.

4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que vn=1

6

(1+5×0, 94ⁿ) v0+1

6

(1−0, 94ⁿ) c0.

Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?

E 5

Une espèce d'oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d'un archipel.

Au début de l'année 2013, 20 millions d'oiseaux de cette espèce sont présents sur l'île A et 10 millions sur l'île B.

Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d'estimer que, compte tenu des naissances, décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les proportions suivantes :

□□□ sur l'île A : 80 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 30 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente ;

□□□ sur l'île B : 20 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 70 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente.

Pour tout entier naturel n, on note an (respectivement bn) le nombre d' oiseaux (en millions) présents sur l'île A (respectivement B) au début de l'année (2013+n).

Partie A - Algorithmique et conjectures

On donne ci-contre un algorithme qui doit afficher le nombre d'oiseaux vivant sur chacune des deux iles, pour chaque année comprise entre 2013 et une année choisie par l'uti- lisateur.

Début de l'algorithme Lire n

Affecter à a la valeur 20 Affecter àb la valeur 10 Affecter ài la valeur 2013 Afficher i

Afficher a Afficher b

Tant que i<n faire

Affecter à c la valeur (0, 8a+0, 3b) Affecter à b la valeur (0, 2a+0, 7b) Affecter à a la valeurc

Fin du Tant que Fin de l 'algorithme

1. Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger.

2. On donne ci-dessous une copie d'écran des résultats obtenus après avoir corrigé l'algorithme précédent dans un logiciel d'algorithmique, l'utilisateur avant choisi l'année 2020.

⋆ ⋆ ⋆ Algorithme lancé _{⋆ ⋆ ⋆}

En l'année 2013,a prend la valeur 20 et b prend la valeur 10 En l'année 2014,a prend la valeur 19 et b prend la valeur 11 En l'année 2015,a prend la valeur 18,5 et b prend la valeur 11,5 En l'année 2016,a prend la valeur 18,25 et b prend la valeur 11,75 En l'année 2017,a prend la valeur 18,125 et b prend la valeur 11,875 En l'année 2018.a prend la valeur 18,042 5 et b prend la valeur 11,937 5 En l'année 2019,a prend la valeur 18,031 25 et b prend la valeur 11,968 75 En l'année 2020,a prend la valeur 18,015 625 et b prend la valeur 11,984 375

⋆ ⋆ ⋆ Algorithme terminé _{⋆ ⋆ ⋆}

Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites (an) et(bn).

Partie B - Étude mathématique

On note U_n la matrice colonne (an

bn

) .

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, U_n+1=MU_n, où M est une matrice carrée d'ordre 2 que l'on déterminera.

On admet alors queU_n=MⁿU₀ pour tout entier naturel n⩾¹.

2. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel n⩾¹ : Mⁿ=

(0, 6+0, 4×0, 5ⁿ 0, 6−0, 6×0, 5ⁿ 0, 4−0, 4×0, 5ⁿ 0, 4+0, 6×0, 5ⁿ )

.

On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matriceMⁿ. 3. Exprimer an en fonction de n, pour tout entier natureln⩾¹.

4. Avec ce modèle, peut-on dire qu'au bout d'un grand nombre d'années, le nombre d'oiseaux sur l'île A va se stabiliser ? Si oui, préciser vers quelle valeur.

E 6

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre

Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais non mortelle a fait son apparition.

Rapidement les scientifiques ont découvert qu'un individu pouvait être dans l'un des trois états suivants :

S : « l'individu est sain, c'est-à-dire non malade et non infecté », I : « l'individu est porteur sain, c'est-à-dire non malade mais infecté », M : « l'individu est malade et infecté ».

Partie A

Les scientifiques estiment qu'un seul individu est à l'origine de la maladie sur les 100 personnes que compte la population et que, d'une semaine à la suivante, un individu change d'état suivant le processus suivant :

□□□ parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains est égale à ¹ 3 et la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à ¹

3,

□□□ parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à 1

2.

La situation peut être représentée par un graphe probabiliste comme ci-dessous.

S

I M

1 3

1 3 1

2 1 3

1 1 2

On note Pn=(sn in mn) la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de n semaines où sn,in et mndésignent respectivement la probabilité que l'individu soit sain, porteur sain ou malade la n-ième semaine.

On a alors P₀=(0, 99 0 0, 01) et pour tout entier natureln,

















sn+1 = 1 3sn

in+1 = 1 3sn+1

2in

mn+1 = 1 3sn+1

2in+mn

1. Écrire la matrice A appeléematrice de transition, telle que pour tout entier naturel n, P_n+1=P_n×A.

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, P_n=P₀×Aⁿ.

3. Déterminer l'état probabiliste P4 au bout de quatre semaines. On pourra arrondir les valeurs à 10⁻².

Quelle est la probabilité qu'un individu soit sain au bout de quatre semaines ?

Partie B

La maladie n'évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu'au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d'enrayer l'endémie et traitent immé- diatement l'ensemble de la population.

L'évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition :

B=





 5 12

1 4

1 3 5

12 1 4

1 3 1

6 1 2

1 3





 .

On note Q_n la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de n semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination. Ainsi,Q_n=(S_n I_n M_n) oùS_n, I_n et M_n dé- signent respectivement la probabilité que l'individu soit sain, porteur sain et malade la n-ième semaine après la vaccination.

Pour tout entier natureln, on a alors Qn+1=Qn×B.

D'après la partie A,Q0=P4. Pour la suite, on prendQ0=(0, 01 0, 10 0, 89)où les coefficients ont été arrondis à10².

1. Exprimer S_n+1, I_n+1 etM_n+1 en fonction de S_n, I_n etM_n.

2. Déterminer la constante réelle k telle que B²=kJ où J est la matrice carrée d'ordre 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1.

On en déduit que pour tout entiern supérieur ou égal à 2, Bⁿ=B². 3. (a) Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, Q_n=

(1 3

1 3

1 3 )

. (b) Interpréter ce résultat en terme d'évolution de la maladie.

Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?

E 7

Candidats ayant suivis l'enseignement de spécialité mathématiques

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.

En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés.

Pour tout entier naturel n, on note an le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la n- ième année après 2013, etbn le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la n-ième année après 2013.

Ainsi, a0=300 et b0=300.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :

pour tout entier naturel n,

{an+1=0, 7an+0, 2bn+60 bn+1=0, 1an+0, 6bn+70 . On considère les matrices M=

(0, 7 0, 2 0, 1 0, 6 )

et P= (60

70 )

. Pour tout entier natureln, on note U_n=

(an

bn

) . 1. (a) Déterminer U₁.

(b) Vérifier que, pour tout entier naturel n,Un+1=M×Un+P. 2. On note I la matrice

(1 0 0 1 )

.

(a) Calculer (I−M)× (4 2

1 3 )

.

(b) En déduire que la matrice I−M est inversible et préciser son inverse.

(c) Déterminer la matrice U telle que U=M×U+P. 3. Pour tout entier naturel, on pose V_n=U_n−U.

(a) Justifier que, pour tout entier naturel n, V_n+1=M×V_n. (b) En déduire que, pour tout entier naturel n, Vn=Mⁿ×V0.

4. On admet que, pour tout entier naturel n,

V_n=





−100

3 ×0, 8ⁿ−140 3 ×0, 5ⁿ

−50

3 ×0, 8ⁿ+140 3 ×0, 5ⁿ





(a) Pour tout entier naturel n, exprimerU_n en fonction de n et en déduire la limite de la suite (an).

(b) Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme.

E 8

On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'ani- maux.

Pour tout entier naturel n, on note jn le nombre d'animaux jeunes après n années d'observation et an le nombre d'animaux adultes après n années d'observation.

Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes.

Ainsi j0=200 et a0=500.

On admet que pour tout entier natureln on a :

{ jn+1 = 0, 125jn+0, 525an

an+1 = 0, 625jn+0, 625an

On introduit les matrices suivantes : A=

(0, 125 0, 525 0, 625 0, 625 )

et, pour tout entier naturel n, Un= (jn

an

) .

1. (a) Montrer que pour tout entier naturel n, Un+1=A×Un.

(b) Calculer le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut).

(c) Pour tout entier naturel n non nul, exprimer U_n en fonction de Aⁿ et de U₀. 2. On introduit les matrices suivantes Q=

(7 3

−5 5 )

et D=

(−0, 25 0

0 1

) .

(a) On admet que la matrice Q est inversible et que Q⁻¹=

(0, 1 −0, 06 0, 1 0, 14

) . Montrer que Q×D×Q⁻¹=A.

(b) Montrer par récurrence sur n que pour tout entier naturel n non nul : Aⁿ=Q×Dⁿ×Q⁻¹. (c) Pour tout entier naturel n non nul, déterminer Dⁿ en fonction de n.

3. On admet que pour tout entier naturel n non nul,

Aⁿ=

(0, 3+0, 7×(−0, 25)ⁿ 0, 42−0, 42×(−0, 25)ⁿ 0, 5−0, 5×(−0, 25)ⁿ 0, 7 +0, 3 ×(−0, 25)ⁿ )

(a) En déduire les expressions de jn et an en fonction de n et déterminer les limites de ces deux suites.

(b) Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ?

E 9

Un volume constant de 2 200 m³ d'eau est réparti entre deux bassins A et B.

Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de deux pompes.

On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

• au départ, le bassin A contient 1 100 m³ d'eau et le bassin B contient 1 100 m³ d'eau ;

• tous les jours, 15 % du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin B est transféré vers le bassin A ;

• tous les jours, 10 % du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin du bassin A est transféré vers le bassin B, et pour des raisons de maintenance, on transfère également 5 m³ du bassin A vers le bassin B.

Pour tout entier natureln, on note :

• an le volume d'eau, exprimé en m³, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;

• bn le volume d'eau, exprimé en m³, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.

On a donc a0=1 100et b0=1 100.

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante Partie A

1. Traduire la conservation du volume total d'eau du circuit par une relation liant an etbn. 2. On utilise un tableur pour visualiser l'évolution du volume d'eau dans les bassins.

Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous :

A B C

1 Journ Volume bassin A Volume bassin B

2 0 1100,00 1100,00

3 1

4 2 1 187,50 1 012,50

5 3 1 215,63 984,38

6 4 1 236,72 963,28

7 5 1 252,54 947,46

8 6 1 264,40 935,60

9 7 1 273,30 926,10

10 8 1 279,98 920,02

11 9 1 234,98 915,02

12 10 1 288,74 911,26

13 11 1 291,55 908,45

14 12 1 293,66 906,34

15 13 1 295,25 904,75

16 14 1 296,44 903,56

17 15 1 297,33 902,67

18 16 1 298,00 902,00

19 17 1 298,50 901,50

20 18 1 298,87 901,13

3. Quelles conjectures peut-on faire sur l'évolution du volume d'eau dans chacun des bassins ? Partie B

On considère la matrice carréeM=

(0, 9 0, 15 0, 1 0, 85 )

et les matrices colonnesR= (−5

5 )

etX_n= (an

bn

) . On admet que, pour tout entier naturel n, Xn+1=MXn+R.

1. On note S= (1 300

900 )

. Vérifier que S=MS+R.

En déduire que, pour tout entier natureln, Xn+1−S=M (Xn−S).

Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel n, Xn−S=Mⁿ(X₀−S) et que Mⁿ= (0, 6+0, 4×0, 75ⁿ 0, 6−0, 6×0, 75ⁿ

0, 4−0, 4×0, 75ⁿ 0, 4+0, 6×0, 75ⁿ )

.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, Xn=

(1 300−200×0, 75ⁿ 900+200×0, 75ⁿ

) . 3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.

4. On considère que le processus est stabilisé lorsque l'entier naturel n vérifie 1 300−an<1, 5 et bn−900<1, 5.

Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé.

E 10

Une ville possède un réseau de vélos en libre service dont deux stations A et B se situent en haut d’une colline. On admet qu’aucun vélo des autres stations n’arrive en direction des stations A et B.

On constate pour chaque heuren qu’en moyenne :

• 20 % des vélos présents à l’heure n−1 à la station A sont toujours à cette station.

60 % des vélos présents à l'heure n−1 à la station A sont à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation.

• 10 % des vélos présents à l'heure n−1 à la station B sont à la station A, 30 % sont toujours à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation.

• Au début de la journée, la station A comporte 50 vélos, la station B 60 vélos.

Partie A

Au bout den heures, on note an le nombre moyen de vélos présents à la station A etbn le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note U_n la matrice colonne

(an

bn

)

et donc U₀= (50

60 )

.

1. Déterminer la matrice M telle queU_n+1=M×U_n. 2. Déterminer U1 et U2.

3. Au bout de combien d'heures reste-t-il un seul vélo dans la station A ?

Partie B

Le service décide d'étudier les effets d'un approvisionnement des stations A et B consistant à ap- porter après chaque heure de fonctionnement 30 vélos à la station A et 10 vélos à la station B.

Afin de conduire cette étude, il décide de modéliser la situation présente de la manière suivante : Au bout den heures, on note _αn le nombre moyen de vélos présents à la station A et_βn le nombre moyen de vélos présents à la station B. On noteV_n la matrice colonne

(αn

βn

) et V₀=

(50 60 )

. Dans ces conditionsV_n+1=M×V_n+R avec R=

(30 10 )

.

1. On note I la matrice (1 0

0 1 )

etN la matrice I−M.

(a) On désigne par V une matrice colonne à deux lignes.

Montrer que V=M×V+R équivaut à N×V=R.

(b) On admet que N est une matrice inversible et que N⁻¹=

(1, 4 0, 2 1, 2 1, 6 )

. En déduire que V=

(44 52 )

2. Pour tout entier naturel n, on pose W_n=V_n−V. (a) Montrer que Wn+1=M×Wn.

(b) On admet que : -- pour tout entier natureln, W_n=Mⁿ×W₀, -- pour tout entier natureln⩾^{1, Mn}= 1

2ⁿ⁻¹

(0, 2 0, 1 0, 6 0, 3 )

. Calculer, pour tout entier natureln⩾^{1, V}n en fonction de n.

(c) Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B a-t-il tendance à se stabiliser ?

E 11

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y.

D'une année sur l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réci- proquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.

Soitn un entier naturel. On note xn la quantité de fonds détenue par l'agence X, et yn la quantité de fonds détenue par l'agence Y au 1^erjanvier de l'année 2014+n, exprimées en millions d'euros.

On note U_n la matrice (xn

yn

)

et on note I= (1 0

0 1 )

.

On suppose que le 1^erjanvier de l'année 2014, l'agence X possède 50 millions d'euros et l'agence Y possède 10 millions d'euros.

L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante : U_n+1=AU_n+B,oùA=

(0, 6 0, 15 0, 2 0, 4

) etB=

(1 3 )

.

1. Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice A et le coefficient 3 de la matrice B.

2. Donner la matrice U₀ puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2015, exprimée en millions d'euros.

3. On note D=

(0, 3 0 0 0, 7

) , P=

(1 3

−2 2 )

et Q=

(0, 25 −0, 375 0, 25 0, 125

) . (a) Donner sans détailler le calcul, la matrice PDQ.

(b) Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matricielQP. Dans la suite, on admettra queQP=I.

On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul n, Aⁿ=PDⁿQ.

4. On pose pour tout entier naturel n, Vn=U_n− ( 5

20/3 )

.

(a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Vn+1=AVn.

(b) Déterminer V₀ puis pour tout entier naturel n, donner l'expression de V_n en fonction de A,n et V₀.

5. Soit n un entier naturel. On admet que

Aⁿ=

(0, 25×0, 3ⁿ+0, 75×0, 7ⁿ 0, 375 (−0, 3ⁿ+0, 7ⁿ) 0, 5 (−0, 3ⁿ+0, 7ⁿ) 0, 75×0, 3ⁿ+0, 25×0, 7ⁿ

) .

(a) Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice V_n en détaillant les calculs.

(b) En déduire l'expression de xn en fonction de n.

(c) Déterminer la limite de xn quand n tend vers _+∞ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.

E 12

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :

□□□ il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;

□□□ la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A.

Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons pour le bassin B.

Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on note respectivement an et bn les effectifs de poissons des bassins A et B au bout den années.

En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est a0=200 et celui du bassin B est b0=100.

1. Justifier que a1=400et b1=300puis calculer a2 et b2. 2. On désigne par A et B les matrices telles que A=

(0 2 1 0 )

et B= (200

100 )

et pour tout entier naturel n, on pose X_n=

(an

bn

) .

(a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n,X_n+1=AX_n+B. (b) Déterminer les réels x et y tels que

(x y )

=A (x

y )

+B.

(c) Pour tout entier naturel n, on poseY_n=

(an+400 bn+300 )

. Démontrer que pour tout entier natureln, Y_n+1=AY_n. 3. Pour tout entier naturel n, on pose Z_n=Y_2n.

(a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Z_n+1=A²Z_n. En déduire que pour tout entier naturel n, Zn+1=2Zn.

(b) On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel n, Y_2n=2ⁿY₀.

En déduire que Y2n+1=2ⁿY1 puis démontrer que pour tout entier natureln, a2n=600×2ⁿ−400 et a2n+1=800×2ⁿ−400.

4. Le bassin A a une capacité limitée à 10 000 poissons.

(a) On donne l'algorithme suivant.

Variables : a,petnsont des entiers naturels.

Initialisation : Demander à l'utilisateur la valeur dep. Traitement : Sipest pair

Affecter ànla valeur^p

Affecter àala valeur6002 ×2ⁿ−400. Sinon

Affecter ànla valeur^p−1

Affecter àala valeur8002×2ⁿ−400. Fin de Si.

Sortie : Affichera.

Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.

(b) Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.

E 13

Dans le cadre d'une étude sur les interactions sociales entre des souris, des chercheurs enferment des souris de laboratoire dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces compartiments est ouverte pendant dix minutes tous les jours à midi.

On étudie la répartition des souris dans les deux compartiments. On estime que chaque jour :

□□□ 20 % des souris présentes dans le compartiment A avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte,

□□□ 10 % des souris qui étaient dans le compartiment B avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte.

On suppose qu'au départ, les deux compartiments A et B contiennent le même effectif de souris.

On pose a0=0, 5 etb0=0, 5.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note an et bn les proportions de souris pré- sentes respectivement dans les compartiments A et B au bout de n jours, après fermeture de la porte. On désigne par U_n la matrice

(an

bn

) .

1. Soit n un entier naturel.

(a) Justifier que U₁= (0, 45

0, 55 )

.

(b) Exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn.

(c) En déduire que Un+1=MUn oùM est une matrice que l'on précisera.

On admet sans démonstration que U_n=MⁿU₀.

(d) Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours.

2. Soit la matrice P= (1 1

2 −1 )

.

(a) Calculer P². En déduire queP est inversible et P⁻¹=1 3P.

(b) Vérifier que P⁻¹MP est une matrice diagonale D que l'on précisera.

(c) Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, Mⁿ=PDⁿP⁻¹.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient

Mⁿ=



1+2×0, 7ⁿ 3

1−0, 7ⁿ 2−2×0, 7ⁿ 3

3

2+0, 7ⁿ 3



.

3. En s'aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ?

E 14

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soitn un entier naturel.

On note : X_n l'évènement « la marque X est utilisée le moisn», Y_n l'évènement « la marque Y est utilisée le moisn», Zn l'évènement « la marque Z est utilisée le moisn».

Les probabilités des évènements X_n, Y_n, Z_n sont notées respectivement xn,yn,zn. La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.

Un acheteur de la marque X le mois n, a le mois suivant : 50 % de chance de rester fidèle à cette marque,

40 % de chance d'acheter la marque Y, 10 % de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le moisn, a le mois suivant : 30 % de chance de rester fidèle à cette marque,

50 % de chance d'acheter la marque X, 20 % de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le moisn, a le mois suivant : 70 % de chance de rester fidèle à cette marque,

10 % de chance d'acheter la marque X, 20 % de chance d'acheter la marque Y.

1. (a) Exprimer xn+1 en fonction de xn,yn et zn. On admet que :

yn+1=0, 4xn+0, 3yn+0, 2zn et que zn+1=0, 1xn+0, 2yn+0, 7zn.

(b) Exprimer zn en fonction de xn et yn. En déduire l'expression de x_n+1 et y_n+1 en fonction de xn et yn.

2. On définit la suite (U_n) par U_n= (xn

yn

)

pour tout entier naturel n. On admet que, pour tout entier naturel n, U_n+1=A×U_n+Boù A=

(0, 4 0, 4 0, 2 0, 1 )

et B= (0, 1

0, 2 )

. Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 :n=0), on estime que U0=

(0, 5 0, 3 )

. On considère l'algorithme suivant :

Variables neti des entiers naturels.

A,BetUdes matrices Entrée et initialisation Demander la valeur den

i prend la valeur0 Aprend la valeur

(0, 4 0, 4 0, 2 0, 1 )

Bprend la valeur (0, 1

0, 2 )

Uprend la valeur (0, 5

0, 3 )

Traitement Tant que i < n

Uprend la valeurA×U+B i prend la valeuri+1 Fin de Tant que

Sortie AfficherU

(a) Donner les résultats affichés par cet algorithme pour n=1 puis pour n=3.

(b) Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ?

Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression deU_n en fonction de n. On note I la matrice

(1 0 0 1 )

et Nla matrice I−A. 3. On désigne par C une matrice colonne à deux lignes.

(a) Démontrer que C=A×C+B équivaut à N×C=B.

(b) On admet que N est une matrice inversible et que N⁻¹=



 45 23

20 23 10 23

30 23



.

En déduire que C=



 17 46 7 23



.

4. On note Vn la matrice telle que Vn=Un−C pour tout entier naturel n. (a) Montrer que, pour tout entier naturel n, Vn+1=A×V_n.

(b) On admet que U_n=Aⁿ×(U₀−C)+C.

Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?

E 15

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité

On considère la suite (un) définie par u0=3,u1=8 et, pour tout n supérieur ou égal à 0 : un+2=5un+1−6un.

1. Calculer u2 et u3.

2. Pour tout entier naturel n⩾², on souhaite calculer un à l'aide de l'algorithme suivant : Variables : a,betcsont des nombres réels

i etnsont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 Initialisation : aprend la valeur 3

bprend la valeur 8 Traitement : Saisirn

Pouri variant de2ànfaire cprend la valeura aprend la valeurb bprend la valeur … Fin Pour

Sortie : Afficher b

(a) Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.

On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant :

n 7 8 9 10 11 12 13 14 15

un 4 502 13 378 39 878 119 122 356 342 1 066 978 3 196 838 9 582 322 28 730 582

(b) Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite (un)?

3. Pour tout entier naturel n, on note C_n la matrice colonne (un+1

un

) . On note A la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel n,

C_n+1=AC_n.

DéterminerA et prouver que, pour tout entier naturel n, Cn=AⁿC0.

4. Soient P= (2 3

1 1 )

, D= (2 0

0 3 )

et Q=

(−1 3 1 −2

) . Calculer QP.

On admet que A=PDQ.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nuln, Aⁿ=PDⁿQ. 5. À l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l'on admet.

Pour tout entier naturel non nul n,

Aⁿ=

(−2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹ 3×2ⁿ⁺¹−2×3ⁿ⁺¹

−2ⁿ+3ⁿ 3×2ⁿ−2×3ⁿ )

. En déduire une expression deun en fonction de n.

La suite (un)a-t-elle une limite ?

E 16

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un laboratoire étudie la propagation d'une maladie sur une population.

Unindividu sainest un individu n'ayant jamais été touché par la maladie.

Unindividu maladeest un individu qui a été touché par la maladie et non guéri.

Unindividu guériest un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.

Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.

Les premières observations nous montrent que, d'un jour au jour suivant :

• 5 % des individus tombent malades ;

• 20 %des individus guérissent.

Pour tout entier naturel n, on note an la proportion d'individus sains n jours après le début de l'expérience, bn la proportion d'individus malades n jours après le début de l'expérience, et cn

celle d'individus guérisn jours après le début de l'expérience.

On suppose qu'au début de l'expérience, tous les individus sont sains, c'est à dire que a0=1, b0=0 et c0=0

1. Calculer a1, b1 et c1.

2. (a) Quelle est la proportion d'individus sains qui restent sains d'un jour au jour suivant ? En déduire an+1 en fonction de an.

(b) Exprimer bn+1 en fonction de an et de bn. On admet quecn+1=0,2bn+cn.

Pour tout entier natureln, on définit Un=



an

bn

cn





On définit les matrices A=



0,95 0 0 0,05 0,8 0

0 0,2 1



 et D=



0,95 0 0 0 0,8 0

0 0 1





On admet qu'il existe une matrice inversible P telle que D=P⁻¹×A×P et que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, Aⁿ=P×Dⁿ×P⁻¹.

3. (a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, U_n+1=A×U_n. On admet que, pour tout entier naturel n, Un=Aⁿ×U0.

(b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,

Dⁿ=



0,95ⁿ 0 0 0 0,8ⁿ 0

0 0 1





On admet que Aⁿ=





0,95ⁿ 0 0

1

3(0,95ⁿ−0,8ⁿ) 0,8ⁿ 0 1

3(3−4×0,95ⁿ+0,8ⁿ) 1−0,8ⁿ 1





4. (a) Vérifier que pour tout entier naturel n,bn=1

3(0,95ⁿ−0,8ⁿ) (b) Déterminer la limite de la suite (bn).

(c) On admet que la proportion d'individus malades croît pendant plusieurs jours, puis décroit.

On souhaite déterminer le pic épidémique, c'est à dire le moment où la proportion d'individus malades est à son maximum.

À cet effet, on utilise l'algorithme donné enannexe 2 (à rendre avec la copie), dans lequel on compare les termes successifs de la suite(bn).

Compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau fourni enannexe 2.

Conclure.

Annexe 2

À rendre avec la copie

E 4

Algorithme et tableau à compléter

Variables : b,b^′,x,y sont des réels k est un entier naturel Initialisation : Affecter àbla valeur 0

Affecter àb^′la valeur0,05 Affecter àk la valeur0 Affecter àxla valeur0,95 Affecter ày la valeur0,8 Traitement : Tant queb<b^′faire :

Affecter àk la valeurk+1 Affecter àbla valeurb^′ Affecter àxla valeur0,95x Affecter àyla valeur0,80y Affecter àb^′la valeur_···

Fin Tant que Sortie : Afficher_···

k b x y b^′ Test :b<b^′?

Après le7^epassage dans la boucle Tant que

7 0,162 8 0,663 4 0,167 8 0,165 2 V Après le8^epassage

éventuel dans la boucle Tant que Après le9^epassage éventuel dans la boucle

Tant que