.
Exercices bac -- 2011-2016 -- arithmétique et matrices
.E 1
.. correction Pondichéry 2012 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Partie A Restitution organisée de connaissanceSoit a,b,c,d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul.
Montrer que si a≡b (modn) et c≡d (modn)alors ac≡bd (modn). Partie B Inverse de 23 modulo 26
On considère l'équation
(E) : 23x−26y=1, oùx et y désignent deux entiers relatifs.
1. Vérifier que le couple (−9 ;−8) est solution de l'équation (E). 2. Résoudre alors l'équation (E).
3. En déduire un entier a tel que 0⩽a⩽25et 23a≡1 (mod 26). Partie C Chiffrement de Hill
On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :
Étape 1Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On obtient un couple d'entiers (x1;x2) où x1 correspond à la première lettre du mot et x2 cor- respond à la deuxième lettre du mot.
Étape 2 (x1;x2) est transformé en (y1; y2
) tel que :
(S1)
{ y1 ≡ 11x1+3x2 (mod 26)
y2 ≡ 7x1+4x2 (mod 26) avec0⩽y1⩽25et0⩽y2⩽25.
Étape 3(y1;y2
) est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.
Exemple : |{z}TE
mot en clair étape1
=⇒ (19, 4)étape=⇒2(13, 19)étape=⇒3 |{z}NT
mot codé
1. Coder le mot ST.
2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage :
(a) Montrer que tout couple (x1;x2) vérifiant les équations du système (S1), vérifie les équa- tions du système :
(S2)
{ 23x1 ≡ 4y1+23y2 (mod 26) 23x2 ≡ 19y1+11y2 (mod 26)
(b) À l'aide de la partie B, montrer que tout couple (x1;x2) vérifiant les équations du système (S2), vérifie les équations du système
(S3)
{ x1 ≡ 16y1+y2 (mod 26) x2 ≡ 11y1+5y2 (mod 26)
(c) Montrer que tout couple (x1;x2) vérifiant les équations du système (S3), vérifie les équa- tions du système (S1)
(d) Décoder le motYJ.
E 2
.. correction Antilles septembre 2013 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialitéPartie A
On considère l'algorithme suivant :
A et X sont des nombres entiers Saisir un entier positif A Affecter à X la valeur de A Tant que X supérieur ou égal à 26
Affecter à X la valeur X - 26 Fin du tant que
Afficher X
1. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ? 2. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
3. Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme ?
Partie B
On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :
• Étape 1: chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On obtient une matrice colonne (x1
x2
)
oùx1 correspond à la première lettre du mot et x2 corres- pond à la deuxième lettre du mot.
• Étape 2: (x1
x2
)
est transformé en (y1
y2
) tel que (y1
y2
)
= (3 1
5 2 )(x1
x2
)
La matriceC= (3 1
5 2 )
est appelée la matrice de codage.
• Étape 3: (y1
y2
)
est transformé en (z1
z2
) tel que
{ z1 ≡ y1(26) avec0 ⩽ z1 ⩽ 25 z2 ≡ y2(26) avec0 ⩽ z2 ⩽ 25
• Étape 4: (z1
z2
)
est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspon- dance donné dans l'étape 1.
Exemple: RE→
(17 4
)
→ (55
93 )
→ (3
15 )
→DP Le bloc RE est donc codé en DP Justifier le passage de
(17 4
) à
(55 93 )
puis à (3
15 )
.
1. Soient x1,x2,x1′,x2′ quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que (x1
x2
) et
(x1′ x2′ )
sont transformés lors du procédé de codage en
(z1
z2
) .
(a) Montrer que
{ 3x1+x2 ≡ 3x1′+x2′ (26) 5x1+2x2 ≡ 5x1′+2x2′ (26).
(b) En déduire que x1≡x1′ (26) et x2≡x′2 (26) puis que x1=x′1 et x2=x′2. 2. On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP :
(a) Vérifier que la matrice C′=
(2 −1
−5 3 )
est la matrice inverse de C.
(b) Calculer (
y1
y2
)
tels que (
y1
y2
)
= (
2 −1
−5 3 )(
3 15
) .
(c) Calculer (x1
x2
)
tels que
{ x1 ≡ y1 (26)avec0⩽x1⩽25 x2 ≡ y2 (26)avec0⩽x2⩽25 (d) Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
3. Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage.
On considère un bloc de deux lettres et on appelle z1 et z2 les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers x1 et x2 compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne
(z1
z2
)
par les étapes 2 et 3 du procédé de codage.
Soient y1′ et y2′ tels que (y1′
y2
)
=C′ (z1
z2
)
où C′=
(2 −1
−5 3 )
. Soient x1 et x2, les nombres entiers tels que
{ x1 ≡ y1′ (26)avec0⩽x1⩽25 x2 ≡ y2′ (26)avec0⩽x2⩽25 Montrer que
{ 3x1+x2 ≡ z1 (26) 5x1+2x2 ≡ z2 (26). . Conclure.
4. Décoder QC.
E 3
.. correction Centres Étrangers 2014 Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité Partie A : préliminaires1. (a) Soient n et N deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que : n2≡N−1 moduloN.
Montrer que :n×n3≡1 moduloN.
(b) Déduire de la question précédente un entier k1 tel que :5k1≡1 modulo26. On admettra que l'unique entierk tel que : 0⩽k⩽25 et5k≡1 modulo26 vaut 21.
2. On donne les matrices : A= (4 1
3 2 )
, B=
(2 −1
−3 4 )
, X= (x1
x2
) et Y=
(y1
y2
) . (a) Calculer la matrice 6A−A2.
(b) En déduire que A est inversible et que sa matrice inverse, notée A−1, peut s'écrire sous la forme A−1=αI+βA, ou α et βsont deux réels que l'on déterminera.
(c) Vérifier que : B=5A−1.
(d) Démontrer que si AX=Y, alors 5X=BY.
Partie B : procédure de codage
Coder le mot « ET », en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.
• Le mot à coder est remplacé par la matrice X= (x1
x2
)
, où x1 est l'entier représentant la première lettre du mot etx2l'entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspon- dance ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
• La matriceX est transformée en la matrice Y= (y1
y2
)
telle que : Y=AX.
• La matriceY est transformée en la matrice R= (r1
r2
)
, où r1 est le reste de la division eucli- dienne de y1 par 26 et r2 le reste de la division euclidienne de y2 par 26.
• Les entiers r1 et r2 donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.
Exemple :« OU » (mot à coder) →X (14
20 )
→Y= (76
82 )
→R= (24
4 )
→ « YE » (mot codé).
Partie C : procédure de décodage (on conserve les mêmes notations que pour le codage) Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y=
(y1
y2
)
telle que : Y=AX.
1. Démontrer que :
{ 5x1 = 2y1−y2
5x2 = −3y1+4y2
.
2. En utilisant la question 1. b. de lapartie A, établir que : { x1 ≡ 16y1+5y2
x2 ≡ 15y1+6y2
modulo26 3. Décoder le mot « QP ».
E 4
.. correction Amerique du Nord 2015 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialitéOn donne les matrices M=
1 1 1 1 −1 1
4 2 1
etI=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
. Partie A
1. Déterminer la matrice M2. On donne M3=
20 10 11
12 2 9
42 20 21
.
2. Vérifier que M3=M2+8M+6I.
3. En déduire que M est inversible et que M−1=1 6
(M2−M−8I) .
Partie B Étude d'un cas particulier
On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole d'équation y=ax2+bx+c passe par les points A(1 ; 1), B(−1 ;−1) et C(2 ; 5).
1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a, b etc tels que
M
a b c
=
1
−1 5
.
2. Calculer les nombres a, b et c et vérifier que ces nombres sont des entiers.
Partie C Retour au cas général
Les nombres a, b,c, p, q, r sont des entiers.
Dans un repère (O ;⃗ı,⃗ȷ)
, on considère les points A(1 ; p), B(−1 ;q) et C(2 ;r).
On cherche des valeurs de p, q et r pour qu'il existe une parabole d'équation y=ax2+bx+c passant par A, B et C.
1. Démontrer que si
a b c
=M−1
p q r
. avec a, b et c entiers. alors
−3p+q+2r ≡ 0 [6]
3p−3q ≡ 0 [6]
6p+2q−2r ≡ 0 [6]
2. En déduire que
{ q−r ≡ 0 [3]
p−q ≡ 0 [2] .
3. Réciproquement, on admet que si
q−r ≡ 0 [3]
p−q ≡ 0 [2]
A, B, C ne sont pas alignés
alors il existe trois entiers a, b et c tels que la parabole d'équation y=ax2+bx+c passe par les points A, B et C.
(a) Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si 2r+q−3p=0.
(b) On choisit p=7. Déterminer des entiers q, r, a, b et c tels que la parabole d'équation y=ax2+bx+c passe par les points A, B et C.
E 5
.. correction Asie 2015Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
On dit qu'un entier naturel non nul Nest un nombre triangulaire s'il existe un entier naturel n tel que :N=1+2+. . .+n.
Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car 10=1+2+3+4.
Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d'un entier.
On rappelle que, pour tout entier naturel non nul n, on a : 1+2+. . .+n=n(n+1)
2 .
Partie A : nombres triangulaires et carrés d'entiers
1. Montrer que 36 est un nombre triangulaire, et qu'il est aussi le carré d'un entier.
2. (a) Montrer que le nombre 1+2+. . .+n est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturelp tel que : n2+n−2p2=0.
(b) En déduire que le nombre 1+2+. . .+n est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturelp tel que : (2n+1)2−8p2=1.
Partie B : étude de l'équation diophantienne associée On considère (E) l'équation diophantienne
x2−8y2=1, oùx et y désignent deux entiers relatifs.
1. Donner deux couples d'entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solution de (E).
2. Démontrer que, si un couple d'entiers relatifs non nuls (x ; y) est solution de (E), alors les entiers relatifs x et y sont premiers entre eux.
Partie C : lien avec le calcul matriciel
Soit x et y deux entiers relatifs. On considère la matrice A= (3 8
1 3 )
. On définit les entiers relatifs x′ et y′ par l'égalité :
(x′ y′ )
=A (x
y )
.
1. Exprimer x′ et y′ en fonction de x et de y.
2. Déterminer la matrice A−1, puis exprimer x et y en fonction de x′ et y′.
3. Démontrer que (x; y) est solution de (E) si et seulement si (x′; y′)est solution de (E).
4. On considère les suites (xn) et (yn
) définies par x0=3, y0=1 et, pour tout entier naturel n,
(xn+1
yn+1
)
=A (xn
yn
)
. On admet que, ainsi définis, les nombres xn et yn sont des entiers naturels pour toute valeur de l'entiern.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, le couple (xn ;yn
) est solution de (E).
Partie D : retour au problème initial
À l'aide des parties précédentes, déterminer un nombre triangulaire supérieur à 2 015 qui est le carré d'un entier.
E 6
.. correction Métropole 2015 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité 1. On considère l'équation (E) à résoudre dans Z:7x−5y=1.
(a) Vérifier que le couple (3 ; 4) est solution de (E).
(b) Montrer que le couple d'entiers(x;y)est solution de (E) si et seulement si7(x−3)=5(y−4). (c) Montrer que les solutions entières de l'équation (E) sont exactement les couples (x; y) d'en- tiers relatifs tels que :
{ x = 5k+3
y = 7k+4 oùk∈Z.
2. Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons il y ax jetons rouges ety jetons verts. Sachant que7x−5y=1, quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs ?
Dans la suite, on supposera qu'il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts.
3. On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte.
• Lorsqu'on est en A :
Si le jeton tiré est rouge, le pion va en B. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en A.
• Lorsqu'on est en B :
Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en B.
• Lorsqu'on est en C :
Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en B. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en C.
Au départ, le pion est sur le sommet A.
Pour tout entier naturel n, on note an, bn etcn les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape n.
On note Xn la matrice ligne (an bn cn
) etT la matrice
0, 72 0, 12 0, 16 0, 12 0, 72 0, 16 0, 12 0, 16 0, 72
. Donner la matrice ligne X0 et montrer que, pour tout entier naturel n,
Xn+1=XnT.
4. On admet que T=PDP−1 oùP−1=
3 10
37 110
4 11 1
10 −101 0 0 111 −111
et D=
1 0 0 0 0, 6 0 0 0 0, 56
.
(a) À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P. On pourra remarquer qu'ils sont entiers.
(b) Montrer que Tn=PDnP−1.
(c) Donner sans justification les coefficients de la matrice Dn.
On note αn,βn,γn les coefficients de la première ligne de la matrice Tn ainsi :
Tn=
αn βn γn
. . . . . . . .
On admet queαn= 3 10+ 7
10×0, 6n etβn=37−77×0, 6n+40×0, 56n
110 .
On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.
5. On rappelle que, pour tout entier naturel n, Xn=X0Tn.
(a) Déterminer les nombres an, bn, à l'aide des coefficients αn et βn. En déduirecn. (b) Déterminer les limites des suites (an), (bn)et (cn).
(c) Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire ?
E 7
.. correction Asie 2016Candidat/e/s ayant suivi l'enseignement de spécialité
L'objet du problème est l'étude d'une méthode de cryptage, dite « chiffrement de Hill », dans un cas particulier. Cette méthode nécessite une matrice de la forme
(a b c s )
, dont les coefficients sont des nombres entiers choisis entre 0 et 25, et tels que ad−bc soit premier avec 26.
Cette matrice est connue seulement de l'émetteur et du destinataire.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes Partie A : quelques résultats
1. On considère l'équation (E) : 9d−26m=1, où d et m désignent deux entiers relatifs.
(a) Donner une solution simple de cette équation, de sorte qued etmsoient des nombres entiers compris entre0 et 3.
(b) Démontrer que le couple (d,m) est solution de l'équation (E) si et seulement si :
9(d−3)=26(m−1).
(c) En déduire que les solutions de l'équation (E) sont les nombres entiers relatifs de la forme : { d = 26k+3
m = 9k+1 , avec k∈Z.
2. (a) Soit n un nombre entier. Démontrer que si n=26k−1, avec k entier relatif, alors n et 26sont premiers entre eux.
(b) En déduire que les nombres 9d−28, avecd=26k+3 etk∈Z, sont premiers avec 26.
Partie B : cryptage et décryptage On considère la matrice A=
(9 4 7 3 )
.
On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres.
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Méthode de cryptage (pour un mot
comportant un nombre pair de lettres) Exemple : avec le mot MATH
1.On regroupe les lettres par paires. MA TH
2.On remplace les lettres par les valeurs as- sociées à l'aide du tableau précédent, et on place les couples de nombres obtenus dans des matrices colonne.
C1= (12
0 )
C2= (19
7 )
3.On multiplie les matrices colonne par la gauche par la matriceA=
(9 4 7 3
) AC1=
(108 84
)
AC2= (199
154 )
4.On remplace chaque coefficient des ma- trices colonne obtenues par leur reste dans la division euclidienne par 26.
108=4×26+4 84=3×26+6 On obtient :
(4 6 )
(17 24 )
5. On utilise le tableau de correspondance entre lettres et nombres pour obtenir le mot crypté.
EGRY
1. En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour les lettres « ES », crypter le mot « ESPION ».
2. Méthode de décryptage
Notation :lorsqu'on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation
«≡» pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire : (108
84 )
≡ (4
6 )
modulo26car 108≡4modulo26et 84≡6modulo26.
Soient a, b, x, y, x′ et y′ des nombres entiers relatifs.
On sait que si x≡x′ modulo 26 et y≡y′ modulo 26 alors : ax+b y≡ax′+b y modulo 26.
Ce résultat permet d'écrire que, siA est une matrice2×2, et Bet C sont deux matrices colonne 2×1, alors :
B≡Cmodulo26impliqueAB≡ACmodulo26.
(a) Établir que la matrice Aest inversible, et déterminer son inverse.
(b) Décrypter le mot : XQGY.
E 8
.. correction CentresetrangersS2016-exo-5.tex Candidat/e/s ayant choisi la spécialité mathématiqueLe but de cet exercice est d'étudier, sur un exemple, une méthode de chiffrement publiée en 1929 par le mathématicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffrement repose sur la donnée d'une matrice A, connue uniquement de l'émetteur et du destinataire.
Dans tout l'exercice, on note A la matrice définie par : A= (5 2
7 7 )
. Partie A -- Chiffrement de Hill
Voici les différentes étapes de chiffrement pour un mot comportant un nombre pair de lettres :
Étape 1 On divise le mot en blocs de deux lettres consécutives puis, pour chaque bloc, on effectue chacune des étapes suivantes.
Étape 2 On associe aux deux lettres du bloc les deux entiersx1etx2tous deux compris entre 0 et 25, qui correspondent aux deux lettres dans le même ordre, dans le tableau sui- vant :
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Étape 3 On transforme la matriceX= (x1
x2
)
en la matriceY= (y1
y2
)
vérifiantY=AX. Étape 4 On transforme la matriceY=
(y1
y2
)
en la matriceR= (r1
r2
)
, oùr1est le reste de la division euclidienne dey1par 26 etr2celui de la division euclidienne dey2par 26.
Étape 5 On associe aux entiersr1etr2les deux lettres correspondantes du tableau de l'étape 2.
Le bloc chiffré est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres.
Question :utiliser la méthode de chiffrement exposée pour chiffrer le mot « HILL ».
Partie B - Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement 1. Soit a un entier relatif premier avec 26.
Démontrer qu'il existe un entier relatif u tel que u×a≡1modulo26.
2. On considère l'algorithme suivant :
VARIABLES : a,u, etr sont des nombres (aest naturel et premier avec 26) TRAITEMENT : Lirea
uprend la valeur 0, etr prend la valeur 0 Tant quer̸=1
uprend la valeuru+1
rprend la valeur du reste de la division euclidienne deu×apar 26 Fin du Tant que
SORTIE Afficheru
On entre la valeur a=21 dans cet algorithme.
(a) Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu'à l'arrêt de l'algorithme.
u 0 1 2 …
r 0 21 … …
(b) En déduire que 5×21≡1modulo26. 3. On rappelle que A est la matrice A=
(5 2 7 7 )
et on note I la matrice : I= (1 0
0 1 )
. (a) Calculer la matrice 12A−A2.
(b) En déduire la matrice B telle queBA=21I. (c) Démontrer que si AX=Y, alors 21X=BY. Partie C - Déchiffrement
On veut déchiffrer le mot VLUP.
On noteX= (x1
x2
)
la matrice associée, selon le tableau de correspondance, à un bloc de deux lettres avant chiffrement, et Y=
(y1
y2
)
la matrice définie par l'égalité : Y=AX= (5 2
7 7 )
X.
Si r1 et r2 sont les restes respectifs de y1 et y2 dans la division euclidienne par 26, le bloc de deux lettres après chiffrement est associé à la matriceR=
(r1
r2
) .
1. Démontrer que :
{ 21x1 = 7y1−2y2
21x2 = −7y1+5y2
2. En utilisant la question B .2., établir que :
{ x1 ≡ 9r1+16r2 modulo26 x2 ≡ 17r1+25r2 modulo26 3. Déchiffrer le mot VLUP, associé aux matrices
(21 11 )
et (20
15 )
.
E 9
.. correction Liban 2016Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.
• On considère le système
{ n ≡ 1 [5]
n ≡ 3 [4] d'inconnue n entier relatif.
Affirmation 1 :Si n est solution de ce système alors n−11est divisible par 4 et par 5.
Affirmation 2 :Pour tout entier relatif k, l'entier 11+20k est solution du système.
Affirmation 3 :Si un entier relatif n est solution du système alors il existe un entier relatif k tel que n=11+20k.
• Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l'état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous.
Pour tout entier naturel n, on note an la probabilité que l'automate se trouve dans l'état A après n secondes et bn la probabilité que l'automate se trouve dans l'état B après n secondes. Au départ, l'automate est dans l'état B.
A B
0,3 0,2
0,7
0,8
On considère l'algorithme suivant :
Variables : aetbsont des réels Initialisation : aprend la valeur 0
bprend la valeur 1 Traitement : Pourkallant de 1 à 10
aprend la valeur0, 8a+0, 3b bprend la valeur1−a Fin Pour
Sortie : Affichera Afficherb
Affirmation 4 :En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 etb10.
Affirmation 3 :Après 4 secondes, l'automate a autant de chances d'être dans l'état A que d'être dans l'état B.
E 10
.. correction Polynésie 2016 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialitéPour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
1. Proposition 1
Pour tout entier natureln, le chiffre des unités den2+n n'est jamais égal à 4.
2. On considère la suite u définie, pourn⩾1, par un=1
npgcd(20 ;n).
Proposition 2
La suite (un) est convergente.
3. Proposition 3
Pour toutes matrices Aet B carrées de dimension 2, on a A×B=B×A.
4. Un mobile peut occuper deux positions A et B. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.
Pour tout entier natureln, on note :
□□□ An l'évènement « le mobile se trouve dans la position Aà l'étape n » et an sa probabilité.
□□□ Bn l'évènement « le mobile se trouve dans la position B à l'étape n » et bn sa probabilité.
□□□ Xn la matrice colonne (an
bn
) .
On admet que, pour tout entier naturen, Xn+1=M×Xn avec M=
(0, 55 0, 3 0, 45 0, 7 )
. Proposition 4
La probabilitéPAn(Bn+1) vaut 0,45.
Proposition 5
Il existe un état initial X0= (a0
b0
)
tel que la probabilité d'être en B à l'étape 1 est trois fois plus grande que celle d'être en A à l'étape 1, autrement dit tel que b1=3a1.
E 11
.. correction Pondichéry 2016 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Partie AOn considère les matrices Mde la forme M= (a b
5 3 )
où a et b sont des nombres entiers.
Le nombre 3a−5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M). Ainsi det(M)=3a−5b.
1. Dans cette question on suppose que det(M)̸=0 et on poseN= 1 det(M)
(3 −b
−5 a )
. Justifier queN est l'inverse de M.
2. On considère l'équation (E) : det(M)=3.
On souhaite déterminer tous les couples d'entiers (a;b) solutions de l'équation (E). (a) Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de(E).
(b) Montrer que le couple d'entiers (a ; b) est solution de (E) si et seulement si 3(a−6)= 5(b−3).
En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E).
Partie B
1. On pose Q= (6 3
5 3 )
.
En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse deQ. 2. Codage avec la matrice Q
Pour coder un mot de deux lettres à l'aide de la matrice Q= (6 3
5 3 )
on utilise la procédure ci- après :
Étape 1 :On associe au mot la matrice X= (x1
x2
)
où x1 est l'entier correspondant à la première lettre du mot et x2 l'entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de corres- pondance ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Étape 2 :La matrice X est transformée en la matriceY= (y1
y2
)
telle que Y=QX.
Étape 3 :La matrice Y est transformée en la matrice R= (r1
r2
)
telle que r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division euclidienne de y2 par 26.
Étape 4 :À la matrice R= (r1
r2
)
on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspon- dance de l'étape 1.
Exemple :JE→X= (9
4 )
→Y= (66
57 )
→R= (14
5 )
→OF. Le mot JE est codé en le mot OF.
Coder le mot DO.
3. Procédure de décodage
On conserve les mêmes notations que pour le codage.
Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que Y=QX.
(a) Démontrer que 3X=3Q−1Y puis que
{ 3x1 = 3r1−3r2 [26]
3x2 = −5r1+6r2 [26]
(b) En remarquant que 9×3≡1 [26], montrer que
{ x1 ≡ r1−r2 [26]
x2 ≡ 7r1+2r2 [26]
(c) Décoder le mot SG.
.
Correction
.E 1
.. énoncé Pondichéry 2012Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Partie A Restitution organisée de connaissance Partie B Inverse de 23 modulo 26
1. 23×(−9)−26×(−8)= −207+208=1 : le couple (−9 ;−8) est solution de l'équation (E). 2.
{ 23x−26y = 1
23×(−9)−26×(−8) = 1 =⇒ (par différence membre à membre) 23(x+9)−26(y+8)=0 ⇐⇒23(x+9)=26(y+8) (1)
Donc 23 divise26(y+8) et comme il est premier avec 26 ; il divise y+8 (théorème de Gauss) : il existe donc un entierk tel que y+8=23k ⇐⇒ y= −8+23k.
En remplaçant dans (1) y+8 par 23k, on obtient : 23(x+9)=26×23k ⇐⇒x+9=26⇐⇒ x= −9+26k.
Réciproquement les couples (−9+26k;−8+23k) vérifient(E) car 23(−9+26k)−26(−8+23k)= −207+23×26k+208−26×23k=1.
Les couples solutions de(E) sont donc de la forme : (−9+26k;−8+23k),k∈nZ.
3. Il faut trouver un (ou des) couple(s) de premier terme a tel que 0⩽a⩽25, donc vérifiant : 0⩽−9+26k⩽25⇐⇒ 9⩽26k⩽34. La solutionk=1 est évidente ce qui donne a= −9+26= 17.
Donc comme26b≡0 (mod 26), on a 23×17≡1 (mod 26).
Partie C Chiffrement de Hill
1. |{z}ST
mot en clair étape1
=⇒ (18, 19)étape=⇒2(21, 20)étape=⇒3 |{z}VU
mot codé
2. (a) (S1)
{ y1 ≡ 11x1+3x2 (mod 26) y2 ≡ 7x1+4x2 (mod 26) =⇒
{ −44x1−12x2 = −4y1 (mod 26)
21x1+12x2 = 3y2 (mod 26) =⇒ (par somme)
−23x1= −4y1+3y2 (mod 26). De même :
(S1)
{ y1 ≡ 11x1+3x2 (mod 26) y2 ≡ 7x1+4x2 (mod 26) =⇒
{ −77x1−21x2 = −7y1 (mod 26)
77x1+44x2 = 11y2 (mod 26) =⇒ (par somme) 23x2= −7y1+11y2 (mod 26) ou encore puisque
−7≡19 (mod 26) :
23x2=19y1+11y2 (mod 26).
Donc, tout couple (x1; x2) vérifiant les équations du système (S1), vérifie les équations du sys- tème :
(S2)
{ 23x1 ≡ 4y1+23y2 (mod 26) 23x2 ≡ 19y1+11y2 (mod 26)
(b) On a vu à la partie B que 23×17≡1 (mod 26) (23 a pour inverse 17 modulo 26), donc en multipliant chaque membre du système (S2) par 17, on obtient
(S2) ⇐⇒
{ 23x1×17 ≡ 4y1×17+23y2×17 (mod 26) 23x2×17 ≡ 19y1×17+11y2×17 (mod 26) =⇒
{ x1 ≡ 68y1+391y2 (mod 26) x2 ≡ 323y1+187y2 (mod 26)
Or 68≡16 (mod 26), 391≡1 (mod 26), 323≡11 (mod 26),
187≡5 (mod 26), donc finalement tout couple(x1;x2)vérifiant les équations du système(S2), vérifie les équations du système
(S3)
{ x1 ≡ 16y1+y2 (mod 26) x2 ≡ 11y1+5y2 (mod 26)
(c) On calcule 11x1+3x2=11(
16y1+y2
)+3(
11y1+5y2
)=176y1+11y2+33y1+15y2= 209y1+26y2.
Or209≡1 (mod 26) et26≡0 (mod 26), donc 11x1+3x2≡1y1+0y2 (mod 26).
De même7x1+4x2=7(
16y1+y2
)+4(
11y1+5y2
)=112y1+7y2+44y1+20y2=156y1+27y2. Or146≡0 (mod 26) et27≡1 (mod 26), donc
7x1+4x2≡0y1+1y2 (mod 26).
Conclusion : tout couple (x1;x2) vérifiant les équations du système (S3), vérifie les équations du système (S1).
Finalement les systèmes (S1) et (S3) sont équivalents.
(d) Pour YJ le couple (y1; y2
)=(24 ; 9). En appliquant les équations de (S3) on obtient : { x1 ≡ 16×24+9 (mod 26)
x2 ≡ 11×24+5×9 (mod 26) ⇐⇒
{ x1 ≡ 393 (mod 26) x2 ≡ 309 (mod 26) Or393=26×15+3, donc 393≡3 (mod 26);
309=26×11+23, donc269≡23 (mod 26).
On a donc (x1;x2)=(3 ; 23) et en utilisant le tableau le mot décodé est doncDX.
E 2
.. énoncé Antilles septembre 2013 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Partie AOn considère l'algorithme suivant :
A et X sont des nombres entiers Saisir un entier positif A Affecter à X la valeur de A Tant que X supérieur ou égal à 26
Affecter à X la valeur X−26 Fin du tant que
Afficher X
1. Si on saisit 3 comme valeur de A, le nombre X prend la valeur 3 qui est inférieure à 26 donc on n'entre pas dans la boucle « tant que » ; l'algorithme affiche la valeur de X donc 3.
2. Si on saisit 55 comme valeur de A, le nombre X prend d'abord la valeur 55 qui est supérieure à 26 ; la première fois qu'on entre dans la boucle, on remplace X par X−26=55−26=29. Le nombre 29 est encore supérieur ou égal à 26 donc on entre une seconde fois dans la boucle ; le nombre X est remplacé par X−26=29−26=3.
Le nombre 3 est strictement plus petit que 26 donc on n'entre pas dans la boucle et on affiche la valeur de X donc 3.
3. Dans cet algorithme, on soustrait 26 autant de fois que l'on peut du nombre positif X ; on obtient un nombre entier compris entre 0 et 25 qui représente le reste de la division de X par 26 et donc le reste de la division de A par 26.
Partie B
Explication du codage de RE en DP, autrement dit du passage de (17
4 )
à (3
15 )
:
C× (17
4 )
= (3 1
5 2 )(17
4 )
=
(3×17+1×4 5×17+2×4 )
= (51+4
85+8 )
= (55
93 )
Or55=2×26+3 donc 55 a pour reste 3 dans la division par 26.
Et 93=3×26+15 donc 93 a pour reste 15 dans la division par 26.
On passe donc de (55
93 )
à (3
15 )
, donc le codage de RE représenté par (17
4 )
conduit à DP représenté par
(3 15
) .
1. Soient x1,x2,x1′,x2′ quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que (x1
x2
) et
(x1′ x2′ )
sont transformés lors du procédé de codage en
(z1
z2
) .
(a) Pour transformer (x1
x2
)
par le procédé de codage, on calcule d'abord (3 1
5 2 )(x1
x2
)
=
(3x1+x2
5x1+2x2
)
; puis on détermine les restes de 3x1+x2 et de 5x1+2x2 dans la division par 26.
D'après le texte, on obtient (z1
z2
)
ce qui veut dire que z1 est le reste de 3x1+x2 dans la division par 26, et que z2 est le reste de 5x1+2x2 dans cette même division.
Or (x′1
x′2 )
est également transformé en (z1
z2
)
, donc z1 est aussi le reste de3x′1+x2′ dans la division par 26, et z2 le reste de 5x′1+2x′2 dans cette même division.
Les nombres 3x1+x2 et 3x1′+x2′ ont le même reste z1 dans la division par 26 donc ils sont congrus modulo 26. Idem pour 5x1+2x2 et 5x1′+2x2′.
On a donc :
{ 3x1+x2 ≡3x′1+x2′ (26) 5x1+2x2≡5x′1+2x′2 (26) (b){
3x1+x2 ≡3x1′+x′2 (26) 5x1+2x2≡5x1′+2x2′ (26) =⇒
{ 2 (3x1+x2)≡2(
3x′1+x′2) (26) 5x1+2x2 ≡5x′1+2x′2 (26) =⇒
{ 6x1+2x2≡6x1′+2x2′ (26)
5x1+2x2≡5x1′+2x2′ (26) =⇒ x1≡x1′ (26) (par soustraction).
{ 3x1+x2 ≡3x1′+x′2 (26)
5x1+2x2≡5x1′+2x2′ (26) =⇒
{ 5 (3x1+x2) ≡5(
3x1′+x′2) (26) 3 (5x1+2x2)≡3(
5x1′+2x2′)
(26) =⇒
{ 15x1+5x2≡15x1′+5x2′ (26)
15x1+6x2≡15x1′+6x2′ (26) =⇒ x2≡x′2 (26) (par soustraction).
Donc x1≡x1′ (26) et x2≡x2′ (26). On a :
x1≡x′1 (26) 0⩽x1⩽25 0⩽x1′⩽25
=⇒x1=x1′ et
x2≡x′2 (26) 0⩽x2⩽25 0⩽x′2⩽25
=⇒x2=x′2 Il n'y a donc qu'un couple d'entiers de[0 ; 25]
(x1
x2
)
qui se code en (z1
z2
) .
2. On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP : (a) Soit la matrice C′=
(2 −1
−5 3 )
.
C×C′= (3 1
5 2
)(2 −1
−5 3 )
=
(3×2+1×(−5) 3×(−1)+1×3 5×2+2×(−5) 5×(−1)+2×3 )
= (1 0
0 1 )
C′×C=
(2 −1
−5 3 )(3 1
5 2 )
=
(2×3+(−1)×5 2×1+(−1)×2 (−5)×3+3×5 (−5)×1+3×2 )
= (1 0
0 1 )
DoncC′ est la matrice inverse de C. (b)
(y1
y2
)
=
(2 −1
−5 3 )(3
15 )
=
(2×3+(−1)×15 (−5)×3+3×15 )
= (−9
30 )
donc
{ y1= −9 y2=30 (c) Soit
(x1
x2
) tel que
{ x1≡y1 (26)avec 0⩽x1⩽25 x2≡y2 (26)avec 0⩽x2⩽25 autrement dit
{ x1≡ −9 (26)avec 0⩽x1⩽25 x2≡30 (26)avec0⩽x2⩽25 Or
{ −9≡17 (26)avec 0⩽17⩽25 30 ≡4 (26)avec0⩽4⩽25 donc
{ x1=17 x2=4
(d) On peut penser que le décodage d'un couple de lettres se fait de la même manière que son codage en remplaçant la matriceC par la matrice C′.
3. Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage.
On considère un bloc de deux lettres et on appelle z1 et z2 les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers x1 et x2 compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne
(z1
z2
)
par les étapes 2 et 3 du procédé de codage.
Soient y1′ et y2′ tels que (y1′
y2′ )
=C′ (z1
z2
)
(y1′ y2′ )
=
(2 −1
−5 3 )(z1
z2
)
=
( 2z1−z2
−5z1+3z2
) donc
{ y′1=2z1−z2
y′2= −5z1+3z2
Soient x1 et x2, les nombres entiers tels que
{ x1≡y1′ (26) avec 0⩽x1⩽25 x2≡y2′ (26) avec 0⩽x2⩽25 3x1+x2≡3y1′+y′2≡3 (2z1−z2)+(−5z1+3z2)≡6z1−3z2−5z1+3z2≡z1 (26) 5x1+z2≡5y1′+2y2′≡5 (2z1−z2)+2 (−5z1+3z2)≡10z1−5z2−10z1+6z2
≡z2 (26) On peut donc dire :
{ 3x1+x2 ≡z1 (26) 5x1+2x2≡z2 (26) On a donc décodé la matrice colonne
(z1
z2
)
en la multipliant par la matriceC′ pour obtenir (y1′
y2′ )
puis on a pris les restes module 26 pour obtenir enfin (x1
x2
) . Le système obtenu
{ 3x1+x2 ≡z1 (26)
5x1+2x2≡z2 (26) prouve que la matrice (x1
x2
)
se code bien en (z1
z2
)
et donc que la matrice (z1
z2
)
se décode bien en (x1
x2
) .
4. Les deux lettres QC correspondent à la matrice colonne (16
2 )
. On calcule C′×
(16 2
)
=
(2 −1
−5 3 )(16
2 )
=
(2×16+(−1)×2 (−5)×16+3×2 )
= (32−2
−80+6 )
= (30
−74 )
{ 30=1×26+4 =⇒ 30≡4 (26)avec0⩽4⩽25
−74= −3×26+4=⇒ −74≡4 (26)avec0⩽4⩽25 Le nombre 4 correspond à la lettre E donc QC se décode en EE.
E 3
.. énoncé Centres Étrangers 2014 Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité Partie A : préliminaires1. (a) n2≡N−1 moduloN=⇒ ( n2)2
≡(N−1)2 moduloN
Or(N−1)2=N2−2N+1 et N2≡0 moduloNet −2N≡0 moduloN, donc (N−1)2≡1 moduloNet finalement car n4=n×n3,
n×n3≡1 moduloN.
(b) On a 52=25=26−1, donc52≡ −1 modulo26. La question précédente montre que 5×53≡1 modulo26. Donck1=53=125.
2. (a) 6A= (24 6
18 12 )
et A2= (19 6
18 7 )
, donc 6A−A2= (5 0
0 5 )
=5I (I matrice unité).
(b) On a6A−A2=A(6I−A)=5I ou encore A×1
5(6I−A)=I: cette égalité montre que la matrice A est inversible et que son inverse est
A−1=1
5(6I−A)=6 5I−1
5A. (c) A−1=6
5I−1
5A⇐⇒5A−1=6I−A=
(2 −1
−3 4 )
=B. Conclusion B=5A−1.
(d) En partant de l'égalité précédente :
B=5A−1 ⇐⇒BA=5A−1A⇐⇒ BA=5I⇐⇒BAX=5IX⇐⇒
BY=5X.
Partie B : procédure de codage
Coder le mot « ET », en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.
« ET » est codé par la matrice X= (4
19 )
.
Puis Y=AX= (35
50 )
, puis R= (9
24 )
et d'après le tableau « ET » est codé « JY ».
Partie C : procédure de décodage
Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y= (y1
y2
)
telle que : Y=AX.
1. On a Y = AX ⇐⇒ A−1Y = X ⇐⇒ 5A−1Y = 5X = BY soit Y = AX ⇐⇒
{ 5x1 = 2y1−y2
5x2 = −3y1+4y2
2. La question 1. b. de lapartie Aa montré que 5×21≡1 modulo26. Donc en reprenant le système de la question précédente et en multipliant par 21, on obtient :
{ 21×5x1 = 21×( 2y1−y2
) 21×5x2 = 21×(
−3y1+4y2
) ⇐⇒
{ 21×5x1 = 42y1−21y2
21×5x2 = −63y1+84y2 ⇐⇒
{ x1 ≡ 16y1+5y2 modulo 26 x2 ≡ 15y1+6y2 modulo 26 3. « QP » est associé à la matrice
(16 15 )
. En utilisant le résultat précédent :
{ x1 ≡ 16y1+5y2 modulo26
x2 ≡ 15y1+6y2 modulo26 ⇐⇒
{ x1 ≡ 256+75 modulo26
x2 ≡ 240+90 modulo26 ⇐⇒
{ x1 ≡ 331 modulo26 x2 ≡ 330 modulo26 ⇐⇒
{ x1 = 19 x2 = 18 Le mot décodé est donc « TS ».
