Exercices bac -- 2011-2016 -- arithmétique

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Exercices bac -- 2011-2016 -- arithmétique

E 1

Partie A : Restitution organisée de connaissances Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :

« Sip est un nombre premier et q un entier naturel premier avec p, alors q^p−1≡1 (modulop)».

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par : un=2ⁿ+3ⁿ+6ⁿ−1.

1. Calculer les six premiers termes de la suite.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est pair.

3. Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, un est divisible par 4.

On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite(un). 4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ?

5. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.

(a) Montrer que : 6×2^p−2≡3 (modulop)et 6×3^p−2≡2 (modulop). (b) En déduire que 6u_p−2≡0 (modulop).

(c) Le nombre p appartient-il à l'ensemble (E) ?

E 2

1. On considère l'équation (E) : 11x−7y=5, où x et y sont des entiers relatifs.

(a) Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs (u ; v) tels que 11u−7v=1. Trouver un tel couple.

(b) En déduire une solution particulière de l'équation (E).

(c) Résoudre l'équation (E).

(d) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ⁽O ;⃗ı,⃗ȷ)

, on considère la droite D d'équa- tion cartésienne 11x−7y−5=0. On note C l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que 0⩽x⩽⁵⁰et 0⩽y⩽⁵⁰.

Déterminer le nombre de points de la droiteDappartenant à l'ensembleC et dont les coordonnées sont des nombres entiers.

2. On considère l'équation (F) : 11x²−7y²=5, où x et y sont des entiers relatifs.

(a) Démontrer que si le couple (x;y) est solution de (F), alors x²≡2y² (mod 5).

(b) Soient x et y des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants :

Modulo 5,xest congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, x²est congru à

Modulo 5,y est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5,2y²est congru à

Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x² et de 2y² par 5 ? (c) En déduire que si le couple (x;y) est solution de (F), alors x et y sont des multiples de 5.

3. Démontrer que si x et y sont des multiples de 5, alors le couple (x; y) n'est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l'équation (F) ?

E 3

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat :

Si p est un nombre premier et a est un entier naturel non divisible par p, alors a^p−1≡ 1 (modulop).

On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par :

u0=1et, pour tout entier natureln,un+1=10un+21.

1. Calculer u1,u2 et u3.

2. (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 3un=10ⁿ⁺¹−7.

(b) En déduire, pour tout entier naturel n, l' écriture décimale deun· 3. Montrer que u2 est un nombre premier.

On se propose maintenant d'étudier la divisibilité des termes de la suite (un) par certains nombres premiers.

4. Démontrer que, pour tout entier naturel n,un n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.

5. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3un≡4−(−1)ⁿ (modulo11). (b) En déduire que, pour tout entier naturel n,un n'est pas divisible par 11.

6. (a) Démontrer l'égalité : 10¹⁶≡1(modulo17).

(b) En déduire que, pour tout entier naturel k,u16k+8 est divisible par 17.

E 4

On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS.

Théorème de BÉZOUT :

Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u;v) d'entiers relatifs vérifiant au+bv=1.

Théorème de GAUSS :

Soient a,b,c des entiers relatifs.

Si a divise le produit bc et si a etb sont premiers entre eux, alors a divise c. 1. En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS.

2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux.

Déduire du théorème de GAUSS que, si a est un entier relatif, tel que a≡0 [p]eta≡0 [q], alors a≡0 [pq].

PARTIE B

On se propose de déterminer l'ensembleS des entiers relatifsn vérifiant le système : { n ≡ 9 [17]

n ≡ 3 [5]

1. Recherche d'un élément de S.

On désigne par (u;v) un couple d'entiers relatifs tel que 17u+5v=1. (a) Justifier l'existence d'un tel couple (u;v).

(b) On pose n0=3×17u+9×5v. Démontrer quen0 appartient à S.

(c) Donner un exemple d'entier n0 appartenant à S. 2. Caractérisation des éléments de S.

(a) Soit n un entier relatif appartenant àS. Démontrer quen−n0≡0 [85].

(b) En déduire qu'un entier relatif n appartient à S si et seulement si il peut s'écrire sous la forme n=43+85k où k est un entier relatif.

3. Application :

Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons.

Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.

Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.

Combien a-t-elle de jetons ?

E 5

Partie A

On considère l'équation (E) : 25x−108y=1 où x et y sont des entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (13 ; 3) est solution de cette équation.

2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

Partie B

Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels vérifiant la relation25g−108c=1.

On rappelle le petit théorème de Fermat :

Sip est un nombre premier et a un entier non divisible par p, alors a^p−1 est congru à 1 modulo p que l'on note a^p−1≡1 [p].

1. Soit x un entier naturel.

Démontrer que si x≡a[7] et x≡a[19], alors x≡a[133]. 2. (a) On suppose que a n'est pas un multiple de 7.

Démontrer que a⁶≡1 [7] puis que a¹⁰⁸≡1 [7]. En déduire que ⁽a²⁵)g

≡a[7].

(b) On suppose que a est un multiple de 7.

Démontrer que⁽a²⁵)g

≡a[7].

(c) On admet que pour tout entier naturel a, ⁽a²⁵)g

≡a[19]. Démontrer que⁽a²⁵)g

≡a[133]. Partie C

On note A l'ensemble des entiers naturels a tels que : 1⩽a⩽²⁶. Un message, constitué d'entiers appartenant à A, est codé puis décodé.

La phase de codage consiste à associer, à chaque entier a de A, l'entier r tel que a²⁵≡r[133]

avec 0⩽r<133.

La phase de décodage consiste à associer àr , l'entierr1 tel quer¹³≡r1[133]avec0⩽r1<133.

1. Justifier que r1≡a[133].

2. Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants : 128 59. Décoder ce message.

E 6

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques Partie A

On considère l'algorithme suivant :

Variables : aest un entier naturel best un entier naturel cest un entier naturel Initialisation : Affecter àcla valeur0

Demander la valeur dea Demander la valeur deb Traitement : Tant quea⩾b

Affecter àcla valeurc+1 Affecter àala valeura−b Fin de tant que

Sortie : Afficherc Affichera

1. Faire fonctionner cet algorithme avec a=13et b=4 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.

2. Que permet de calculer cet algorithme ? Partie B

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre0 et 25.

A B C D E F G H I J K L M

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

Étape1 : À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombremcorrespondant dans le tableau.

Étape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de9m+5par26et on le notep.

Étape3 : Au nombrep, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

1. Coder la lettre U.

2. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur dem entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de p, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.

Partie C

1. Trouver un nombre entier x tel que 9x≡1 [26]. 2. Démontrer alors l'équivalence :

9m+5≡p [26]⇐⇒ m≡3p−15 [26].

3. Décoder alors la lettre B.

E 7

On note E l'ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre 0 et26.

On note A l'ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l'alphabet et un séparateur entre deux mots, noté «_⋆» considéré comme un caractère.

Pour coder les éléments deA, on procède de la façon suivante :

• Premièrement : On associe à chacune des lettres de l'alphabet, rangées par ordre alphabé- tique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc a→0,b→1, . . .z→25.

On associe au séparateur «⋆» le nombre 26.

a b c d e f g h i j k l m n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

o p q r s t u v w x y z ⋆

14 15 13 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

On dit que a a pour rang 0,b a pour rang 1, ... , z a pour rang 25et le séparateur « _⋆» a pour rang26.

• Deuxièmement : à chaque élément x de E, l'application g associe le reste de la division euclidienne de 4x+3 par 27.

On remarquera que pour tout x de E,g(x) appartient à E.

• Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang g(x). Exemple :

s→18, g(18)=21et 21→v. Donc la lettre s est remplacée lors du codage par la lettre v. 1. Trouver tous les entiers x de E tels queg(x)=x c'est-à-dire invariants par g.

En déduire les caractères invariants dans ce codage.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel x appartenant à E et tout entier naturel y appartenant àE, si y≡4x+3 modulo 27 alors x≡7y+6 modulo 27.

En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.

3. Proposer une méthode de décodage.

4. Décoder le mot « v f v ».

E 8

En montagne, un randonneur a effectué des réservations dans deux types d'hébergements : L'hébergement A et l'hébergement B.

Une nuit en hébergement A coûte 24eet une nuit en hébergement B coûte 45e.

Il se rappelle que le coût total de sa réservation est de 438e.

On souhaite retrouver les nombres x et y de nuitées passées respectivement en hébergement A et en hébergement B

1. (a) Montrer que les nombres x et y sont respectivement inférieurs ou égaux à 18 et 9.

(b) Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant afin qu'il affiche les couples (x; y) possibles.

Entrée : xety sont des nombres Traitement : Pourxvariant de0… (1)

Pouryvariant de 0 … (2)

Si … (3)

Afficherxety Fin Si

Fin Pour Fin Pour Fin traitement

2. Justifier que le coût total de la réservation est un multiple de 3.

3. (a) Justifier que l'équation 8x+15y =1 admet pour solution au moins un couple d'entiers relatifs.

(b) Déterminer une telle solution.

(c) Résoudre l'équation (E) : 8x+15y=146 où x et y sont des nombres entiers relatifs.

4. Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement A.

Montrer alors qu'il peut retrouver le nombre exact de nuits passées en hébergement A et celui des nuits passées en hébergement B.

Calculer ces nombres.

E 9

On considère l'algorithme suivant, où A etB sont des entiers naturels tels que A<B : Entrées : AetBentiers naturels tels queA<B

Variables : Dest un entier

Les variables d'entréesAetB Traitement :

Affecter àDla valeur deB−A Tant queD>0

Bprend la valeur deA Aprend la valeur deD

SiB>AAlors

Dprend la valeur deB−A Sinon

Dprend la valeur deA−B Fin Si

Fin Tant que Sortie : AfficherA 1. On entre A=12et B=14.

En remplissant le tableau donné enannexe, déterminer la valeur affichée par l'algorithme.

2. Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres Aet B. En entrant A=221 etB=331, l'algorithme affiche la valeur 1.

(a) Justifier qu'il existe des couples (x; y)d'entiers relatifs solutions de l'équation (E) 221x−331y=1.

(b) Vérifier que le couple (3 ; 2) est une solution de l'équation (E).

En déduire l'ensemble des couples (x; y) d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

3. On considère les suites d'entiers naturels (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n par

un=2+221n et

{ v0 = 3

vn+1 = vn+331

(a) Exprimer vn en fonction de l'entier naturel n.

(b) Déterminer tous les couples d'entiers naturels (p; q) tels que up=vq, 0⩽p⩽⁵⁰⁰ et 0⩽q⩽⁵⁰⁰.

Annexe à rendre avec la copie

réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

A B D

12 14

E 10

Pour deux entiers naturels non nuls a et b, on note r(a,b) le reste dans la division euclidienne de a par b.

On considère l'algorithme suivant :

Variables : cest un entier naturel

aetbsont des entiers naturels non nuls Entrées : Demandera

Demanderb

Traitement : Affecter àcle nombrer(a,b) Tant quec̸=0

Affecter àale nombreb Affecter àbla valeur dec Affecter àcle nombrer(a,b) Fin Tant que

Sortie : Afficherb

1. Faire fonctionner cet algorithme avec a=26 etb=9 en indiquant les valeurs de a, b et c à chaque étape.

2. Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls a et b.

Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls a etb sont premiers entre eux ou non.

Partie B

À chaque lettre de l'alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre 0 et 25.

A B C D E F G H I J K L M

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

Étape 1 :on choisit deux entiers naturels p et q compris entre0 et25.

Étape 2 :à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier x correspondant dans le tableau ci- dessus.

Étape 3 :on calcule l'entier x^′ défini par les relations

x^′≡px+q [26] et 0⩽x^′⩽^25.

Étape 4 :à l'entier x^′, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

1. Dans cette question, on choisit p=9 et q=2. (a) Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J.

(b) Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs u et v tels que 9u+26v=1. Donner sans justifier un couple (u,v) qui convient.

(c) Démontrer que x^′≡9x+2 [26] équivaut à x≡3x^′+20 [26]. (d) Décoder la lettre R.

2. Dans cette question, on choisit q=2 et p est inconnu. On sait que J est codé par D.

Déterminer la valeur de p (on admettra que p est unique).

3. Dans cette question, on choisit p=13 et q=2. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ?

E 11

Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls(x, y,z) tels que x²+y²=z².

Ces triplets seront nommés « triplets pythagoriciens » en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé « TP ».

Ainsi (3, 4, 5) est un TP car3²+4²=9+16=25=5². Partie A : généralités

1. Démontrer que, si (x, y, z) est un TP, et p un entier naturel non nul, alors le triplet (px,p y,pz)est lui aussi un TP.

2. Démontrer que, si (x,y,z) est un TP, alors les entiers naturels x, y etz ne peuvent pas être tous les trois impairs.

3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nuln peut s'écrire d'une façon unique sous la forme du produit d'une puissance de 2 par un entier impair :

n=2^α×k où_α est un entier naturel (éventuellement nul) etk un entier naturel impair.

L'écriture n=2^α×k est nomméedécompositionde n.

Voici par exemple lesdécompositionsdes entiers 9 et 120 : 9=2⁰×9, 120=2³×15.

(a) Donner la décomposition de l'entier 192.

(b) Soient x et z deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont x=2^α×k et z=2^β×m.

Écrire ladécompositiondes entiers naturels 2x² et z².

(c) En examinant l'exposant de 2 dans ladécompositionde 2x² et dans celle de z² , montrer qu'il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nuls (x,z)tels que 2x²=z².

On admet que la questionA - 3.permet d'établir que les trois entiers naturelsx, y et z sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels x,y jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP (x,y, z), les trois entiers naturels x, y et z seront rangés dans l'ordre suivant :

x<y<z.

Partie B : recherche de triplets pythagoriciens contenant l'entier 2015

1. Décomposer en produit de facteurs premiers l'entier 2 015 puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme(x, y, 2 015).

2. On admet que, pour tout entier naturel n , (2n+1)²+(

2n²+2n)2

=(

2n²+2n+1)2

. Déterminer un TP de la forme(2 015, y, z).

3. (a) En remarquant que 403²=169×961, déterminer un couple d'entiers naturels non nuls (x,z) tels que : z²−x²=403², avec x<403.

(b) En déduire un TP de la forme (x, 2 015, z).

E 12

On considère l'équation (E) : 15x−26k=m où x et k désignent des nombres entiers relatifs et m est un paramètre entier non nul.

1. Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs (u ; v) tel que 15u−26v=1.

Trouver un tel couple.

2. En déduire une solution particulière (x0;k0) de l'équation (E).

3. Montrer que (x;k) est solution de l'équation (E) si et seulement si 15 (x−x0)−26 (k−k0)=0.

4. Montrer que les solutions de l'équation (E) sont exactement les couples (x;k) d'entiers relatifs tels que :

{ x = 26q+7m

k = 15q+4m oùq∈Z^.

Partie B

On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous.

A B C D E F G H I J K L M

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On définit un système de codage :

□□□ à chaque lettre de l'alphabet, on associe l'entierx correspondant,

□□□ on associe ensuite à x l'entier y qui est le reste de la division euclidienne de 15x+7 par 26,

□□□ on associe à y la lettre correspondante.

Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à 4, 4 est transformé en 15 et 15 correspond à la lettre P et donc la lettre E est codée par la lettre P.

1. Coder le motMATHS.

2. Soit x le nombre associé à une lettre de l'alphabet à l'aide du tableau initial et y le reste de la division euclidienne de15x+7 par 26.

(a) Montrer alors qu'il existe un entier relatif k tel que 15x−26k=y−7. (b) En déduire que x=7y+3 (mod 26).

(c) En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré.

3. Expliquer pourquoi la lettre W dans un message codé sera décodée par la lettre B.

Décoder le mot WHL.

4. Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.

E 13

Pour tout entier naturel n non nul, on appelle S(n) le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de n.

1. Vérifier que S(6)=12 et calculer S(7).

2. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, S(n)⩾¹+n. (b) Quels sont les entiers naturels n tels queS(n)=1+n ?

3. On suppose dans cette question que n s'écrit p×q où p et q sont des nombres premiers distincts.

(a) Démontrer que S(n)=(1+p)(1+q). (b) On considère la proposition suivante :

« Pour tous entiers naturels n et m non nuls distincts, S(n×m)=S(n)×S(m)».

Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

4. On suppose dans cette question que l'entiern s'écrit p^k, où p est un nombre premier et k un nombre entier naturel non nul.

(a) Quels sont les diviseurs de n ? (b) En déduire que S(n)=1−p^k+1

1−p .

5. On suppose dans cette question que n s'écrit p¹³×q⁷, où p et q sont des nombres premiers distincts.

(a) Soit m un entier naturel.

Démontrer que m divise n si, et seulement si, il existe deux nombres entiers s et t avec 0⩽s⩽¹³et 0⩽t⩽⁷ tels quem=p^s×q^t.

(b) Démontrer que S(n)=1−p¹⁴

1−p ×1−q⁸ 1−q .

E 14

Les nombres de la forme 2ⁿ−1 où n est un entier naturel non nul sont appelésnombres de Mersenne.

1. On désigne par a,b etc trois entiers naturels non nuls tels que PGCD(b;c)=1.

Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que :

si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a. 2. On considère le nombre de Mersenne 2³³−1.

Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.

(2³³−1)

÷3

2863311530 (2³³−1)

÷4

2147483648 (2³³−1)

÷12

715827882,6 Il affirme que 3 divise⁽2³³−1)

et 4 divise ⁽2³³−1)

et 12 ne divise pas ⁽2³³−1) . (a) En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question1.? (b) Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas ⁽2³³−1)

.

(c) En remarquant que 2≡ −1 [3], montrer que, en réalité, 3 ne divise pas 2³³−1. (d) Calculer la somme S=1+2³+(

2³)2

+( 2³)3

+ ··· +( 2³)10

. (e) En déduire que 7 divise 2³³−1.

3. On considère le nombre de Mersenne 2⁷−1. Est-il premier ? Justifier.

4. On donne l'algorithme suivant où MOD(N,k)représente le reste de la division euclidienne de Npar k.

Variables : nentier naturel supérieur ou égal à 3 kentier naturel supérieur ou égal à 2 Initialisation : Demander à l'utilisateur la valeur den.

Affecter àkla valeur 2.

Traitement : Tant que MOD(2ⁿ−1,k)̸=0etk⩽^p2n−1 Affecter àk la valeurk+1

Fin de Tant que.

Sortie : Afficherk. Sik>p

2ⁿ−1

Afficher« CAS 1 » Sinon

Afficher« CAS 2 » Fin de Si

(a) Qu'affiche cet algorithme si on saisit n=33? Et si on saisit n=7?

(b) Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre k affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?

(c) Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?

E 15

Les entiers naturels 1, 11, 111, 1 111, …sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1.

Pour tout entier naturel p non nul, on noteN_p le rep-unit s'écrivant avec p fois le chiffre 1 : Np= 11 . . . 1| {z }

prépétitions du chiffre 1

=

k=∑p−1 k=0

10^k.

Dans tout l'exercice, p désigne un entier naturel non nul.

L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units.

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

1. Montrer que N_p n'est divisible ni par 2 ni par 5.

2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de N_p par 3.

(a) Prouver que, pour tout entier naturel j, 10^j≡1mod3. (b) En déduire que N_p≡pmod3.

(c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit N_p soit divisible par 3.

3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de N_p par 7.

(a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où a est l'unique entier relatif appartenant à{−3 ;−2 ;−1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3} tel que 10^m≡amod7.

On ne demande pas de justification.

m 0 1 2 3 4 5 6

a

(b) Soit p un entier naturel non nul.

Montrer que 10^p≡1mod7 si et seulement si p est un multiple de 6. On pourra utiliser la division euclidienne dep par 6.

(c) Justifier que, pour tout entier nature p non nul, Np=10^p−1

9 .

(d) Démontrer que « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».

(e) En déduire que N_p est divisible par 7 si et seulement si p est un multiple de 6.

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait

1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à2.

On suppose que l'écriture décimale de n² se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire n²≡1mod10. (a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.

n≡. . . [10] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n²≡. . . [10]

(b) En déduire qu'il existe un entier naturel m tel que : n=10m+1 ou n=10m−1.

(c) Conclure que n²≡1mod20.

2. Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Quel est le reste de la division euclidienne deN_p par 20 ?

3. En déduire que, pour p entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit Np n'est pas le carré d'un entier.

E 16

Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls(a,b), on note pgcd(a,b) le plus grand diviseur com- mun de a et b. Le plan est muni d'un repère ⁽O ;⃗ı,⃗ȷ)

. 1. Exemple. Soit _∆1 la droite d'équation y=5

4x−2 3.

(a) Montrer que si (x,y) est un couple d'entiers relatifs alors l'entier 15x−12y est divisible par 3.

(b) Existe-il au moins un point de la droite _∆1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.

Généralisation

On considère désormais une droite _∆ d'équation (E) : y= m nx−p

q où m,n,p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd(m,n)=pgcd(p,q)=1. Ainsi, les coefficients de l'équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que _∆ est une droite rationnelle. Le but de l'exer- cice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante surm,n,p et q pour qu'une droite rationnelle∆ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.

2. On suppose ici que la droite _∆ comporte un point de coordonnées ⁽x0,y0

) où x0 et y0 sont des entiers relatifs.

(a) En remarquant que le nombre n y0−mx0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np.

(b) En déduire que q divise n.

3. Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple ⁽x0,y0

) d'en- tiers relatifs tels quey0=m

nx0−p q.

(a) On posen=qr, oùr est un entier relatif non nul. Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qr u−mv=1.

(b) En déduire qu'il existe un couple ⁽x0,y0

) d'entiers relatifs tels que y0=m

nx0−p q.

4. Soit _∆ la droite d'équation y=3 8x−7

4. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordon- nées sont des entiers relatifs ? Justifier.

5. On donne l'algorithme suivant :

Variables : M, N, P, Q : entiers relatifs non nuls, tels que pgcd(M, N) = pgcd(P, Q)=1

X: entier naturel

Entrées : Saisir les valeurs deM, N, P, Q Traitement et sorties :

SiQdiviseNalors Xprend la valeur0 Tant que

(M NX−P

Qn'est pas entier ) et

(

−M NX−P

Qn'est pas entier )

faire Xprend la valeurX+1 Fin tant que

Si ^M NX−P

Q est entier alors AfficherX,M

NX−P Q Sinon

Afficher₋X,−M NX−P

Q Fin Si

Sinon

Afficher « Pas de solution » Fin Si

(a) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P, Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M, N) = pgcd(P, Q)=1.

(b) Que permet-il d'obtenir ?

.

Correction

E 1

Enseignement de spécialité

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Soienta,b etc trois entiers non nuls ; supposons que adivise le produit bc et quea etb soient premiers entre eux.

Il existe donc un entier k tel que bc=ka. D'autre part puisque a et b soient premiers entre eux, il existe d'après le théorème de Bezout deux entiers u et v tels que : au+bv=1 ou en multipliant parc non nul :

acu+bc v=c et en remplaçant bc par ka : acu+kav=c ⇐⇒a(cu+kv)=c.

Cette égalité montre que a divise c.

Partie B

1. On calcule : u1=2+3+6−1=10; u2=4+9+36−1=48;

u3=8+27+216−1=250; u4=16+81+1 296−1=1 392; u5=32+243+7 776−1=8 050; u6=64+729+46 656−1=47 448. 2. On a : 2≡0 mod 2 =⇒2ⁿ≡0 mod 2;

3≡1 mod 2=⇒ 3ⁿ≡1 mod 2; 6≡0 mod 2=⇒ 6ⁿ≡0 mod 2.

Doncun=2ⁿ+3ⁿ+6ⁿ−1≡0+1+0−1≡0 mod 2 un est donc pair.

Ou encore2ⁿ et6ⁿ sont pairs ; 3ⁿ et 1 sont impairs, donc leur différence est paire et par somme un est pair.

3. n est pair : il existe donc k∈N^∗ tel que n=2k.

On peut donc écrire :un=u2k=2^2k+3^2k+6^2k−1=4^k+9^k+2^2k×3^2k−1=4^k+4^k×9^k+9^k−1. Comme 4≡0 mod 4, 4^k≡0 mod 4;

4^k×9^k≡0 mod 4;

9≡1 mod 4, donc 9^k≡1 mod 4, d'où par somme :

u2k≡0+0+1−1=0 mod 4, c'est-à-dire queu2k est un multiple de 4.

4. On a vu que 2 divise u1, que 3 divise u2, que 5 divise u3 et 7 divise u5. Donc 2, 3, 5 et 7 appartiennent à l'ensemble (E)

5. (a) D'après le théorème de Fermat, 2 étant premier avec p, on a 2^p−1≡1 modp. Donc6×2^p−2=3×2^p−1 ⇐⇒3 modp.

D'autre part 3 étant premier avec p, 3^p−1≡1 modp. Donc6×3^p−2=2×3^p−1≡2 modp.

(b) Par définition : 6up−2=6(

2^p−2+3^p−2+6^p−2−1)

= 6×2^p−2+6×3^p−2+6^p−1−6.

On a vu que 6×2^p−2≡3 modp, que 6×3^p−2≡2 modp et on a 6^p−1≡1 modp car p premier avec 2 et 3 est premier avec 6.

Donc6×up−2≡3+2+1−6 modp soit 6×up−2≡0 modp. (c) On vient de démontrer que 6×up−2≡0 modp : donc p divise

6×up−2, mais p et 6 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gaussp diviseup−2. Conclusion : tout entier p premier appartient à l'ensemble (E)

E 2

1. (a) Les entiers 11 et 7 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Bézout, il existe un couple(u;v)d'entiers relatifs tels que 11u−7v=1. Par ailleurs 11×2−7×3=1, le couple (2 ; 3)répond alors à la question.

(b) On a, en multipliant chaque membre de la dernière égalité par 5,

11×10−7×15=5. Le couple (10 ; 15) est donc une solution particulière de (E).

(c) Soit (x; y) une solution de (E), alors 11x−7y=11×10−7×15, d'où :

11(x−10)=7(y−15). (1)

7 divise11(x−10) et est premier avec 11, donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise x−10 : il existe donc un entier relatifk tel que x−10=7k. En remplaçant x−10par 7k dans (1), puis en simplifiant, on en déduit que y−15=11k. Ainsi, si (x; y) est solution de (E), alors néces- sairement (x ; y) est de la forme (10+7k ; 15+11k) avec k∈Z. Réciproquement, on vérifie aisément que de tels couples sont bien solutions de (E).

(d) Un point de D à coordonnées entières appartient à C si et seulement si







x∈Z^; y∈Z 11x−7y=5

0⩽x⩽^{50 ; 0}⩽y⩽^{50 ⇔}

{ (x; y)solution de (E)

0⩽x⩽^{50 ; 0}⩽y⩽⁵⁰ On cherche donc tous les entiers relatifs k tels que 0⩽¹⁰+7k⩽⁵⁰ et 0⩽¹⁵+11k⩽⁵⁰, ce qui équivaut à ₋¹⁰

7 ⩽k⩽⁵⁰ 7 et

−15

11⩽k⩽³⁵

11. Les seules valeurs possibles de k sont ₋1, 0, 1, 2 et 3. Il y a donc cinq points deC donc les coordonnées sont entières :

A(3 ; 4) B(10 ; 15) C(17 ; 26) D(24 ; 37) E(31 ; 48).

2. (a) On a 11≡1 (5), 7≡2 (5) et 5≡0 (5), par conséquent, si le couple (x; y) est solution de (F), en « passant » aux congruences : 11x²−7y²=5 devient x²−2y²≡0 (5), c'est-à-dire x²≡2y²(5).

(b) On calcule aisément :

Modulo 5,xest congru à 0 1 2 3 4 Modulo 5,x²est congru à 0 1 4 4 1

Modulo 5,y est congru à 0 1 2 3 4 Modulo 5,2y²est congru à 0 2 3 3 2

Les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x² par 5 sont donc 0, 1 et 4. De même, les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de2y² par 5 sont 0, 2 et 3.

(c) Si (x ; y) est solution de (F), alors x²≡2y²(5) ce qui n'est possible, d'après les tableaux précédents, que six≡0 (5) et y≡0 (5), c'est-à-dire si x et y sont des multiples de 5.

3. Supposons que xet y sont deux entiers multiples de 5. Alors il existe des entiersaetbtels que x=5a et y=5b. En « réinjectant » cela dans l'équation (F) on a alors : 11×25a²−7×25b²=5, c'est-à-dire25(11a²−7b²)=5, ce qui est impossible (5 n'est pas multiple de 25 !). L'équation (F) ne possède donc aucune solution.

E 3

1. u1=10u0+21 or u0=1 donc u1=10×1+21=31; u2=10u1+21=10×31+21=331;

u3=10u2+21=10×31+21=3331. 2. (a)

• Initialisation10⁰⁺¹−7=10−7=3=3×1=3u0 donc on a bien la propriété vraie au rang 0.

• Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n, 3un=10ⁿ⁺¹−7 alors 3un+1=3(10un+21)=10×(3un)+63=10(10ⁿ⁺¹−7)+63

=10^(n+1)+1−70+63=10^(n+1)+1−7. La propriété est donc bien héréditaire.

• La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout naturel n :3un=10ⁿ⁺¹−7.

(b) Pour tout naturel n, 10ⁿ⁺¹−7=1 0 . . . 0| {z }

n+1

−7=9 . . . 9| {z }

n

3, donc par division par 3, un = 10ⁿ⁺¹−7

3 =3 . . . 3| {z }

n

1.

3. u2=331avec ^p331≈18, 2 or 331 n'est divisible ni par 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 : les nombres premiers inférieurs ou égaux à 18.u2 est donc premier.

4. D'après 2.a., pour tout naturel n,un=33...31 avec n chiffres 3

• Le chiffre des unités deun est 1, impair, donc 2 ne divise pas un.

• La somme de ses chiffres est3+3+...+3+1≡1 (modulo 3) donc 3 ne divise pas un.

• Le chiffre des unités deun est 1, différent de 0 et 5, donc 5 ne divise pas un. (a) 10= −1+11 et₋7=4−11 donc 10≡ −1 et ₋7≡4 (modulo 11),

donc 3un=10ⁿ⁺¹−7≡(−1)ⁿ⁺¹+4≡(−1)¹(−1)ⁿ+4≡4−(−1)ⁿ (modulo 11)

(b) Si un était divisible par 11 alors 3un le serait a fortiori, or pour n pair 3un≡4−1≡3 (modulo 11) et pour n impair 3un≡4−(−1)≡5 (modulo 11) donc 11 ne divise pas un. 5. (a) 17 est un nombre premier qui ne divise pas 16 donc d'après le petit théorème de Fermat, 10¹⁶≡1 (modulo 17).

(b) Pour tout naturel k, 3u_16k+8=10^16k+9−7=( 10¹6)k

×10⁹−7≡1^k×10⁹−7 (modulo 17).

Or 6×17=102 donc 10²≡ −2 (modulo 17) donc 10⁹=10×(

10²)4

≡10(−2)⁴≡10×16≡10(−1)≡ −10 et donc

3u16k+8≡ −10−7≡ −17≡0 (modulo 17) donc 17 divise 3u16k+8. Or 17 est premier avec 3 et d'après le théorème de Gauss, 17 diviseu16k+8.

E 4

1. Soient a et b deux entiers premiers entre eux. D'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifsu et v tels que au+bv=1.

En multipliant parc, on obtient auc+bc v=c.

On suppose que a divise bc ; alors a divise bc v et comme a divise auc, a divise la somme auc+bc v, donc a divise c.

2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux. Soit a relatif tel que a≡0 [p] et a≡0 [q].

Alors, il existe k et k^′ relatifs tels que a=kp et a=k^′q d'où kp=k^′q.

p divise k^′q etp est premier avecq, donc, d'après le théorème de Gauss,p divise k^′. Il existe k^′′∈Z, k^′=pk^′′.

Alors a=k^′q=k^′′pq d'où a≡0 [pq]. PARTIE B

On se propose de déterminer l'ensembleS des entiers relatifsn vérifiant le système : { n ≡ 9 [17]

n ≡ 3 [5]

1. Recherche d'un élément de S.

On désigne par (u;v) un couple d'entiers relatifs tel que 17u+5v=1.

(a) 17 et 5 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Bézout, il existe u etv entiers relatifs tels que 17u+5v=1.

(b) On pose n0=3×17u+9×5v.

Soit(u;v)un couple solution, donc 17u+5v=1. On en déduit que17u≡1 [5] et5v≡1 [17]. Alors n0=3×17u+9×5v≡9×5v[17]≡9×1 [17]≡9 [17].

De même :n0=3×17u+9×5v≡3×17u[5]≡3×1 [5]≡3 [5]. Par conséquent,n0∈S.

(c) Appliquons l'algorithme d'Euclide : 17=3×5+2 et 5=2×2+1, d'où 1=5−2×2

=5−(17−5×3)×2=17×(−2)+5×7. On peut prendre (u; v)=(−2 ; 7).

On obtient alors n0=213 (ce n'est évidemment pas la seule valeur !) 2. Caractérisation des éléments de S.

(a) Soit n un entier relatif appartenant àS. n≡9 [17] etn0≡9 [17]donc n−n0≡0 [17]. De même,n≡3 [5] et n0≡3 [5] donc n−n0≡0 [5].

17 et 5 sont premiers entre eux, donc d'après la partie A, n−n0≡0 [85](car 5×17=85).

(b) On en déduit que, si n∈S,n≡n0[85]donc n≡213 [85]. Or 213=170+43=2×85+43≡43 [85] donc 213≡43 [85]. Par conséquent :n∈S ⇐⇒n≡43 [85] donc n=43+85k, k∈Z.

Réciproquement, si n≡43+85k, k∈Z, il est clair que n≡9 [17] et n≡3 [5]. 3. Application :

Soit n le nombre de jetons. On a : n≡9 [17] et n≡3 [5]. D'après ce qui précède, on a :n=43+85k.

On sait que 300⩽n⩽⁴⁰⁰, donc 300⩽⁴³+85k⩽⁴⁰⁰. On en déduit que k=4 et que Zoé a 383jetons.

E 5

On considère l'équation (E) : 25x−108y=1 où x et y sont des entiers relatifs.

1. 25×13−108×3=325−224=1, le couple (13 ; 3) est bien solution de l'équation25x−108y= 1.

2. (x0;y0)=(13 ; 3) est une solution particulière de l'équation (E).

(x;y)est solution de (E) équivaut à 25(x−x0)=108(y−y0) avec 25et 108 premier entre eux donc 108 divise x−x0

On a donc x−x0=108k avec k entier relatif d'où alors y−y0=25k.

L'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E) est^{(13+108k; 3+25k)⧸k∈Z^}.

Partie B

Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels vérifiant la relation25g−108c=1.

1. Soit x un entier naturel.

Six≡a[7] alorsx−a est divisible par 7. De même x≡a[19]entraîne x−a divisible par 19. Or 7 et 19 sont premiers entre eux donc x−a divisible par 7×19=133. Ce qui s'écrit encore x≡a[133].

Donc si x≡a[7] et x≡a[19], alors x≡a[133]. 2. (a) On suppose que a n'est pas un multiple de 7.

7 est premier et a n'est pas un multiple de 7 donc d'après le petit théorème de Fermat on a a⁶≡1 [7].

De plus108=6×18 donc a¹⁰⁸=( a⁶)18

≡1¹⁸[7]≡1 [7]. On a donc ⁽a²⁵)g

=a^25g=a^1+108ca×( a¹⁰⁸)c

≡a×1^c[7]≡a[7]. (b) On suppose que a est un multiple de 7.

On a alors a≡0 [7] et a^25g=( a²⁵)g

≡0 (7]donc ⁽a²⁵)g

≡a[7].

(c) On admet que pour tout entier naturel a, ⁽a²⁵)g

≡a[19]. D'après les questions a. et b. on sait que l'on a aussi ⁽a²⁵)g

≡a[7] on peut donc en appliquant le résultat de la question 1. à x=(

a²5)g démontrer que ⁽a²⁵)g

≡a[133].

Partie C

On note A l'ensemble des entiers naturels a tels que : 1⩽a⩽²⁶. Un message, constitué d'entiers appartenant à A, est codé puis décodé.

La phase de codage consiste à associer, à chaque entier a de A, l'entier r tel que a²⁵≡r[133]

avec 0⩽r<133.

La phase de décodage consiste à associer àr , l'entierr1tel quer¹³≡r1[133]avec0⩽r1<133. 1. r1≡r¹³ [133]≡(

a²⁵)13

[133] avec (g , c)=(13 ; 3) vérifiant la relation 25g−108c=1 d'après la partie A.

D'où d'après la question 2.c. de la partie B, ⁽a²⁵)13

[133]≡a [133] donc finallement on bien r1≡a[133].

2. 128≡ −5 [133] donc 128¹³≡ −5¹³[133]≡ −131 [133]≡2 [133]

59⁴≡130 [133]≡ −3 [133] donc 59¹³=( 59⁴)3

×59≡ −3³×59 [133]≡ −130 [133]≡3 [133]

Le message initiale était donc : 2 3.

E 6

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques Partie A

On considère l'algorithme suivant :

Variables : aest un entier naturel best un entier naturel cest un entier naturel Initialisation : Affecter àcla valeur0

Demander la valeur dea Demander la valeur deb Traitement : Tant quea⩾b

Affecter àcla valeurc+1 Affecter àala valeura−b Fin de tant que

Sortie : Afficherc Affichera

1. En faisant tourner l'algorithme avec a=13 et b=4, on obtient :

Variables a b c

Initialisation 0

Entrées 13 4 0

Traitement 9 4 1

5 4 2

1 4 3

Sortie On affiche la valeur dec: 3 On affiche la valeur dea: 1

2. Dans cet algorithme, on retire le nombre b du nombre a autant de fois que l'on peut et on fait afficher le nombre de fois que l'on a retiré b et ce qui reste dans a; cet algorithme fournit donc le quotient (dans c) et le reste (dans a) de la division de a par b.

Partie B

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre0 et 25.

A B C D E F G H I J K L M

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

Étape1 : À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombremcorrespondant dans le tableau.

Étape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de9m+5par26et on le notep. Étape3 : Au nombrep, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

1. On va coder la lettre U.

Étape1 : La lettre U correspond àm=20.

Étape2 : 9m+5=9×20+5=185; le reste de la division de 185 par 26 estp=3. Étape3 : Au nombrep=3, on associe la lettre D.

Donc la lettre U se code en D.

2. On modifie l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de m entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur dep, calculée à l'aide du procédé de codage précédent :

Variables : mest un entier naturel pest un entier naturel Initialisation : Demander la valeur dem

Affecter àpla valeur9m+5 Traitement : Tant quep⩾²⁶

Affecter àpla valeurp−26 Fin de tant que

Sortie : Afficherp

Partie C

1. On sait que 9×3=27≡1 [26]; donc pour x=3, on a 9x≡1 [26].

2. 9m+5≡p[26]=⇒27m+15≡3p[26]⇐⇒27m≡3p−15 [26]

Or27≡1 [26] donc 27m≡m[26]

27m≡3p−15 27m≡m[26]

}

=⇒m≡3p−15 [26]

Réciproquement :

m≡3p−15 [26]⇐⇒ m+15≡3p[26]=⇒9m+135≡27p[26]

Or27≡1 [26] donc 27p≡p[26]; de plus 135=5×26+5 donc 135≡5 [26]. 135≡5 [26]=⇒9m+135≡9m+5 [26]

9m+135≡9m+5 [26]

27p ≡p[26]

9m+135≡27p[26]





=⇒9m+5≡p[26]

On peut donc dire que : 9m+5≡p[26]⇐⇒ m≡3p−15 [26]. 3. Pour décoder une lettre, on procèdera donc ainsi :

Étape1 : À la lettre que l'on veut décoder, on associe le nombrep correspondant dans le ta- bleau.

Étape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de3p−15par26et on le notem. Étape3 : Au nombrem, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

Pour décoder la lettre B :

Étape1 : À la lettre B, on associe le nombrep=1. Étape2 : 3p−15= −12≡14 [26]doncm=14. Étape3 : Au nombrem=14, on associe la lettre O.

Donc la lettre B se décode en la lettre O.

E 7

g(x)=x ⇐⇒4x+3≡x (mod 27)⇐⇒ 3x≡ −3 (mod 27) ce qui veut dire que 3x s'écrit ₋3+27k où k∈Z.

x∈E ⇐⇒ 0 ⩽ x ⩽²⁶

0 ⩽ 3x ⩽⁸¹

or3x= −3+27kdonc 0 ⩽−3+27k⩽⁸¹ 3 ⩽ 27k ⩽⁸⁴ 3

27⩽ k ⩽⁸⁴

27 Or k est entier donc k∈{ 1 , 2 , 3}

. Pourk=1, 3x= −3+27=24 donc x=8;

pour k=2,3x= −3+54=51 donc x=17; pour k=3,3x= −3+81=78 donc x=26. Les éléments deE invariants par g sont 8, 17 et 26.

Les caractères invariants dans ce codage sont les caractères correspondant à 8,17 et 26 donc ce sont les caractèresi,r et _⋆.

2. Soient x et y deux éléments de E tels que y≡4x+3 (mod 27). y≡4x+3 (mod 27)⇐⇒ 7y≡28x+21 (mod 27);

or 21≡ −6 (mod 27) et 28≡1 (mod 27) donc 28x≡x (mod 27)

7y≡28x+21 (mod 27)⇐⇒7y≡x−6 (mod 27)⇐⇒7y+6≡x (mod 27)

⇐⇒x≡7y+6 (mod 27)

On suppose qu'il existe deux caractères x et x^′ de E qui se codent par le même caractère y de E.

On a donc x≡7y+6 (mod 27) etx^′≡7y+6 (mod 27) ce qui entraîne x≡x^′ (mod 27) donc on peut écrire x=x^′+27k oùk∈Z.

Or0⩽x⩽²⁶et 0⩽x^′⩽²⁶donc k=0 et x=x^′.

Deux caractères distincts ne sont pas codés par un même caractère, donc deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.

3. Une méthode de décodage suit le même principe que la méthode de codage, en remplaçant la fonction g par la fonction f qui, à chaque élément y de E, associe le reste de la division euclidienne de 7y+6 par 27.

4. On sait que la lettre s se code en la lettre v, donc la lettre v se décode en s. La lettre f correspond au nombre y=5; 7y+6=7×5+6=35+6=41. Or 41=27×1+14 donc 14 est le reste de la division de 41 par 27.

Le nombre 14 correspond à la lettreo. Donc v f v se décode en s o s.