Universit´e de Nantes Ann´ee 2006-2007 Facult´e des Sciences et des Techniques
D´epartement de Math´ematiques
S3M02-G´eom´etrie euclidienne - S´erie d’exercices 3
Isom´etries en dimension 2 et 3
Exercice 1. DansRn, n= 2 ou 3, muni de son produit scalaire usuel <·,· >, on consid`ere un vecteur non nul u. On note D la droite vectorielle engendr´ee par u, prD la projection orthogonale sur D, prD⊥
la projection orthogonale surD⊥, sD la sym´etrie orthogonale par rapport `a la droite D, sD⊥ la sym´etrie orthogonale par rapport au planD⊥. Pour toutxdeRn, montrer que
prD(x) = < x, u >
< u, u >u , prD⊥(x) =x−< x, u >
< u, u >u , sD(x) =−x+ 2< x, u >
< u, u >u , sD⊥(x) =x−2< x, u >
< u, u >u .
Exercice 2.
1. Dans R2 muni de son produit scalaire euclidien, on consid`ere la sym´etrie orthogonale s1 par rapport
`
a la droite D1 engendr´ee par le vecteuru1= (1,1), la sym´etrie orthogonales2 par rapport `a la droite D2engendr´ee par le vecteuru2= (0,1).
(a) Donner les matrices des1et s2dans la base canonique.
(b) Caract´eriser g´eom´etriquement la transformations1◦s2.
2. Plus g´en´eralement, soientu1etu2deux vecteurs non colin´eaires deR2, soients1la sym´etrie orthogonale par rapport `a la droite engendr´ee paru1,s2la sym´etrie orthogonale par rapport `a la droite engendr´ee paru2. On pose θ=(u\1, u2). Caract´eriser g´eom´etriquement la transformations1◦s2.
Exercice 3. DansR3 muni de son produit scalaire usuel<·,·>, on consid`ere un vecteuru= (u1, u2, u3) de norme 1. On consid`ere la matriceA:= Id−2UtU, o`uU est la matrice colonne qui repr´esente le vecteur udans la base canonique. Montrer que A est orthogonale et qu’elle repr´esente dans la base canonique la sym´etrie orthogonale par rapport `a l’hyperplan d’´equationP3
i=1uixi= 0.
Exercice 4. DansR3muni de son produit scalaire usuel <·,·>, on consid`ere l’endomorphismef dont la matrice dans la base canoniqueBest :
A=1 3
1 −2 2
2 1 2
2 2 1
. 1. Montrer quef est une isom´etrie.
2. Montrer queF ={x∈R3, f(x) =−x} est une droite vectorielle.
3. D´eterminerF⊥, puis donner une base orthonorm´ee de R3 dont le premier vecteur est dansF. ´Ecrire la matrice def dans cette base. Conclusion?
Exercice 5. DansR3muni de son produit scalaire usuel <·,·>, on consid`ere l’endomorphismef dont la matrice dans la base canoniqueBest :
A=
0 0 1 1 0 0 0 1 0
.
1. Montrer quef est une isom´etrie.
2. Montrer queF ={x∈R3, f(x) =x}est une droite vectorielle.
3. D´eterminerF⊥, puis donner une base orthonorm´ee de R3 dont le premier vecteur est dansF. ´Ecrire la matrice def dans cette base. D´ecrire g´eom´etriquement la transformationf.
Exercice 6. Produit vectoriel dans R3 muni de son produit scalaire canonique.
Pourx= (x1, x2, x3) ety= (y1, y2, y3) dansR3, on pose : x∧y= (x2y3−x3y2, x3y1−x1y3, x1y2−x2y1).
1. Montrer que pour tousxety dansR3,x∧yest orthogonal `a xet `ay.
2. Montrer que pour tousxet ydansR3,kx∧yk2+< x, y >2=kxk2kyk2. Interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.
Exercice 7. DansR3muni de son produit scalaire usuel, soituun vecteur unitaire. Soitαun r´eel∈[−π, π].
Pour toutxdeR3, on d´efinit
f(x) = (1−cosα) < u, x > u+ cos(α)x+ sin(α)u∧x . 1. Montrer quef est une isom´etrie.
2. Soitv un vecteur de R3 unitaire et orthogonal `a v. V´erifier que la base (u, v, u∧v) est orthonorm´ee, puis donner la matrice def dans cette base. Interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat.
Des exercices compl´ementaires
Exercice 8. SoitR3 muni de son produit scalaire canonique not´e<·,·>. `A chaquey appartenant `a R3, on fait correspondre`y o`u`y(x) =< x, y >.
1. V´erifier que pour touty deR3,`y est lin´eaire.
2. Montrer que (b1, b2, b3) est une base deR3 si et seulement si les applications lin´eaires`1, `2 et`3sont ind´ependantes dans le dual deR3. On peut le faire directement ou en comparant la matrice de passage de la base canonique (e1, e2, e3) deR3 `a la base (b1, b2, b3) et celle de la base canonique (e∗1, e∗2, e∗3) du dual deR3 `a la base (`1, `2, `3).
Exercice 9. SoitF et Gdeux sous-espaces vectoriels deRn tels queRn soit la somme directe deF etG.
1. Montrer que sipest la projection surF parall`element `aG, alorsp2=p.
2. R´eciproquement, montrer que sipest lin´eaire, non nulle et v´erifiep2=p, alorsRnest la somme directe de Impet de Kerp.
3. On munit Rn de son produit scalaire canonique. Soit pune application lin´eaire non nulle. Montrer que pest une projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel deRn, si et seulement si p2=pet p∗=p.
Exercice 10. SoitF et Gdeux sous-espaces vectoriels de Rn tels queRn soit la somme directe de F et G.
1. Montrer que sisest la sym´etrie par rapport `aF parall`element `a G, alorss2= Id.
2. R´eciproquement, montrer que sisest lin´eaire diff´erente de l’identit´e et v´erifies2= Id, alorssest une sym´etrie.
3. On munitRnde son produit scalaire canonique. Soit sune application lin´eaire diff´erente de l’identit´e.
Montrer quesest une sym´etrie orthogonale par rapport `a un sous-espace vectoriel deRn, si et seulement sis2= Id ets∗=s.
Exercice 11. Soitf et g deux applications de Rn dansRn muni de son produit scalaire canonique, telles que, pour toutxety,< f(x), y >=< x, g(y)>. Montrer quef etg sont lin´eaires.
