Math´ematiques, LM216, ann´ee 2011-2012
Examen du 5 janvier 2012
Les quatre exercices sont ind´ependants
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es
Exercice 1
1) Chercher les points critiques de la fonction
f : (x, y)7→x3+ 8y3−6xy−1.
2) Pour chaque point critique, ´ecrire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 et d´eterminer si c’est une extremum ou non.
Exercice 2
1) Expliquer pourquoi l’ensemble
X={(x, y)∈R2|x4+y4 = 1}
est compact.
2) Trouver les points deX qui sont les plus proches de l’origine et les points qui sont le plus
´
eloign´es.
Exercice 3
1) Montrer que l’application
h : (x, y)7→(x, y+x4)
est un diff´eomorphisme de classe C1 de R2 et ´ecrire la matrice jacobienne de h et de h−1 en tout point.
2) Soitf :R2 →Rune fonction de classe C1 telle que
∂f
∂u(u, v) + 4u3∂f
∂v(u, v) = 0, pour tout (u, v)∈R2. Montrer que l’application g=f ◦h v´erifie
∂g
∂x(x, y) = 0, pour tout (x, y)∈R2.
3) Trouver toutes les fonctionsf :R2→R de classeC1 v´erifiant l’´equation
∂f
∂u(u, v) + 4u3∂f
∂u(u, v) = 0.
Exercice 4
Calculer la valeur moyenne de la fonction
f : (x, y)7→e
x y2
sur l’ensemble
D={(x, y)∈R2|1≤y≤2,0≤x≤y2}.
