G230. La balade du Roi
Le roi est placé sur la première case à gauche de la première rangée d’un échiquier 8×8 (1 en notation
échiquéenne). Il est bien connu qu’à partir de la case qu’il occupe, le Roi peut se déplacer d’une case dans n’importe quelle direction. Pour se rendre en huitième colonne ( en notation échiquéenne), la longueur minimale de son parcours est donc de 7 cases.
On constate que les nombres de parcours de longueur 7 qui le mènent aux cases , et de la huitième colonne à partir de 1 sont respectivement un carré parfait, un cube parfait, à la fois un carré et un cube parfait.
Quel est le nombre de parcours de longueur 7 qui le mènent de à sans passer par ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Pour atteindre la colonne en un parcours minimal, le roi au départ de 1 est contraint à utiliser uniquement les trois mouvements qui le font aller vers la droite. Le nombre de sous-parcours permettant d’atteindre une case donnée est alors la somme des nombres de sous-parcours permettant d’atteindre chacune des trois cases à gauche de celle-ci.
Ainsi 2 avec 196 parcours, 6 avec 27 parcours et 8 avec 1 unique parcours.
Pour aller ensuite de 2 à 9 en seulement 7 déplacements, le roi est contraint à utiliser un parcours de 6 mouvements vers le haut et 1 mouvement horizontal. Le nombre de sous-parcours de longueur permettant d’atteindre une case donnée est la somme des nombres de sous-parcours de longueur 1 permettant d’atteindre chacune des deux cases latérales ou chacune des trois cases au dessous de celle-ci.
Finalement, 358 parcours de longueur 7 permettent au roi d’aller de à sans passer par .
8 1 C3
7 1 7
6 1 6 27 C2
5 1 5 20 70
4 1 4 14 44 133
3 1 3 9 25 69 189
2 1 2 5 12 30 76 196C1
1 1 1 2 4 9 21 51 127
a b c d e f g h
8 1 6 20 44 60 58 33 6 8 7 42 147 350 596 726 639 358 7
7 1 5 14 25 21 12 5 7 6 30 90 180 246 198 102 6
6 1 4 9 12 0 4 6 5 20 50 80 81 0 5
5 1 3 5 4 3 5 4 12 24 28 20 4
4 1 2 2 2 4 3 6 9 6 3
3 1 1 1 3 2 2 2 2
2 1 0 2 1 1
1 n 1 n
a b c d e f g h a b c d e f g h
