CARACTERISATION DU TRIANGLE RECTANGLE

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4^ème – Chapitre 04 Caractérisation du triangle rectangle

CARACTERISATION DU TRIANGLE RECTANGLE

1) Définition

Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit. Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en A.

Dans un triangle rectangle le côté le plus long est appelé hypoténuse du triangle. Sur la figure ci- contre [BC] est l'hypoténuse du triangle ABC.

2) Caractérisation du triangle rectangle l'aide de la propriété de Pythagore

théorème de Pythagore

Si ABC est un triangle rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des autres côtés.

Autrement dit, si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² +AC²

Ce théorème sert à calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle à partir de celle des deux autres.

réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Autrement dit, si ABC est un triangle vérifiant BC² =AB² + AC² , alors ABC est un triangle rectangle en A.

Conséquence :

Connaissant la longueur des trois côtés d'un triangle, on calcule le carré du plus grand nombre d'une part, la somme des carrés des deux autres nombres d'autre part. Si on a égalité des résultats obtenus, alors le triangle est rectangle, sinon le triangle n'est pas rectangle.

C B

A

C B

A

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3) Caractérisation du triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle

propriété

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse.

Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en A. Le cercle de diamètre [BC] est le cercle circonscrit au triangle ABC.

Conséquence :

Le milieu O de l'hypoténuse vérifie les égalités suivantes : OA=OB=OC donc la médiane issue de A mesure la moitié de l'hypoténuse.

propriété

Si le point A appartient au cercle de diamètre [BC], alors le triangle ABC est rectangle en A.

4) Tangente à un cercle

définition

Soit (C) un cercle de centre O. Soit A un point de (C). On appelle tangente en A au cercle (C) la droite passant par A et perpendiculaire à (OA).

Sur la figure ci-contre, (d) est la tangente en A au cercle (C).

O C

B A

O C

B A

(d)

(C) A

O

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Construction de la tangente en un point à un cercle Construire la tangente en A au cercle (C) :

A

O

Méthode 1

Etape 1 Tracer (OA).

Etape 2

Tracer deux arcs de cercles de même rayon centrés en A. Ces arcs coupent (OA) en deux points B et C.

Etape 3

Tracer deux arcs de cercle de même rayons centrés respectivement en B et C. Ces arcs se coupent en un point D.

Etape 4

Tracer la droite (AD) : c'est la tangente en A au cercle (C).

A

O

C

B A

O

D

C

B A

O

D

C

B A

O

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Méthode 2

Etape 1

Tracer un arc de cercle centré en A et passant par O. Cet arc coupe le cercle en un point B.

Etape 2

Construire le symétrique du point O par rapport au point B. On appelle C le point obtenu.

Etape 3

Tracer la droite (AC) : c'est la tangente en a au cercle (C).

5) Distance d'un point à une droite

propriété

Soit (d) une droite. Soit A un point. Le point de (d) le plus proche de A est le point d'intersection de (d) et de la perpendiculaire à (d) passant par A.

Sur la figure ci-contre, le point de (d) le plus proche de A est le point H

définition

La distance AH s'appelle la distance du point A à la droite (d).

B A

O

C B

A

O

C B

A

O

H

A (d)