A445. Les quatre familles
Problème proposé par Jean Drabbe
Quatre familles composées chacune de quatre personnes constatent qu'elles ont toutes la même somme des âges de leurs membres (âges exprimés en nombres entiers), la même somme des carrés de leurs âges et la même somme des cubes des âges. De plus, les seize personnes concernées ont toutes des âges distincts entre eux. Quels sont les âges dans chacune des familles ?
Une des nombreuses solutions est : 0 23 24 47 - 2 14 33 45 - 3 12 35 44 - 5 9 38 42
Dans cette solution, pour chacune des familles, la somme des âges minimum et maximum est égale à la somme des âges intermédiaires (0 + 47 = 23 +24 ,2 + 45 = 14 + 33 , 3 + 44 = 12 + 35 , 5 + 42 = 9 + 38).
Nous dirons que cette solution est symétrique.
Une solution est dite primitive si et seulement si 0 y apparaît et le PGCD des seize âges est 1.
1) Existe-t-il une infinité de solutions primitives (on n'impose aucune borne supérieure aux âges) ? 2) Existe-t-il une solution non symétrique ?
Solution de Philippe Laugerat
Je me suis intéressé aux solutions dites symétriques (1ère question)
Avec cette remarque préliminaire, qui va faire oublier les cubes de l’énoncé.
Soient respectivement la somme, la somme des carrés et des cubes de 4 nombres tels
que .
(1)
D’après (1)
(2)
D’après (1) et (2)
On voit que la somme des cubes ne dépend que de la somme des nombres et de la somme de leurs carrés, donc, pour tous les quadruplets tels que ,dont la somme et la somme des carrés sont identiques, la somme des cubes sera aussi identique.
I.
A partir de la primitive 0, x, y, x+y, on peut obtenir des quadruplets a, b, c, d répondant à :
La résolution de ces 3 équations donne :
Et en posant
On obtient
D’où des solutions pour :
Où n est choisi de telle façon que soit un carré
Le problème se ramène donc au nombre de solutions supérieur ou égal à 3 (0, x, y, x+y est déjà une des 4 solutions demandées) de l’équation diophantienne (en n et p) : qui admet une infinité de solutions.
II.
Au passage ces douze familles qui vécurent du temps de Mathusalem :
a b c d a+b+c+d S carrés S cubes
1 0 265 300 565 1130 479450 225971750
2 1 253 312 564 1130 479450 225971750
3 4 232 333 561 1130 479450 225971750
4 6 222 343 559 1130 479450 225971750
5 13 196 369 552 1130 479450 225971750
6 15 190 375 550 1130 479450 225971750
7 25 165 400 540 1130 479450 225971750
8 34 147 418 531 1130 479450 225971750
9 46 127 438 519 1130 479450 225971750
10 48 124 441 517 1130 479450 225971750
11 67 99 466 498 1130 479450 225971750
12 75 90 475 490 1130 479450 225971750
Et ces seize-ci :
a b c d a+b+c+d S carrés S cubes
1 0 610 655 1265 2530 2401350 2532277000
2 4 558 707 1261 2530 2401350 2532277000
3 5 550 715 1260 2530 2401350 2532277000
4 7 536 729 1258 2530 2401350 2532277000
5 18 481 784 1247 2530 2401350 2532277000
6 19 477 788 1246 2530 2401350 2532277000
7 25 455 810 1240 2530 2401350 2532277000
8 40 410 855 1225 2530 2401350 2532277000
9 50 385 880 1215 2530 2401350 2532277000
10 81 322 943 1184 2530 2401350 2532277000
11 85 315 950 1180 2530 2401350 2532277000
12 99 292 973 1166 2530 2401350 2532277000
13 113 271 994 1152 2530 2401350 2532277000
14 126 253 1012 1139 2530 2401350 2532277000
15 140 235 1030 1125 2530 2401350 2532277000
16 180 190 1075 1085 2530 2401350 2532277000
III.
On cherche encore le quadruplet non symétrique de la deuxième question.
