Donc il existe dans l’assembl´ee de l’´enonc´e deux personnes, A et B, qui ne se connnaissent pas

Enonc´e n^oH128 (Diophante) Une assembl´ee conviviale

Une assembl´ee de trois personnes ou plus est dite “conviviale” si dans tout sous-groupe de trois personnes, on trouve au moins deux personnes qui se connaissent.

Cette assembl´ee conviviale a le plus grand nombre possible N de personnes compatible avec les 36 paires de personnes qui se connaissent et elle cesserait d’ˆetre conviviale avec une paire en moins. Une (N+ 1)-i`eme personne arrive et connaˆıt 5 personnes parmi lesN. L’assembl´ee peut-elle rester conviviale ? Si oui, justifier votre r´eponse.

Sinon, quel est le nombre minimum de personnes que la derni`ere personne arriv´ee devrait connaˆıtre ?

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Si toutes les personnes se connaissaient dans l’assembl´ee, l’assembl´ee reste- rait conviviale avec une paire de moins.

Donc il existe dans l’assembl´ee de l’´enonc´e deux personnes, A et B, qui ne se connnaissent pas ; alors toutes les personnes qui ne connaissent pas A connaissentB, et se connaissent entre elles, pour qu’un sous-groupe de deux de ces personnes et A v´erifie l’´enonc´e. De mˆeme, les personnes qui comme Ane connaissent pasB se connaissent toutes entre elles.

L’assembl´ee n’´etant plus conviviale d`es qu’il y a une paire en moins, c’est qu’il n’y a pas d’autre paire que celles qu’on vient de d´ecrire.

Sia personnes ne connaissent pas B, et b personnes ne connaissent pas A, le nombre des paires est

36 =C_a²+C_b²= (a²+b²−a−b)/2 = (a+b−1)²/4 + (a−b)²/4−1/4.

(a+b−1)²+ (a−b)² = 145 = 12²+ 1² = 9²+ 8², seules d´ecompositions en somme de deux carr´es parfaits.

Le nombre total de personnes peut donc ˆetre

– soitN =a+b= 13 aveca−b=±1, deux groupes de 6 et 7 personnes ; – soitN =a+b= 10 aveca−b=±8, un isol´e et un groupe de 9 personnes.

C’est la plus grande solutionN = 13 qui est `a retenir. Pour adjoindre une personne `a l’assembl´ee sans qu’elle cesse d’ˆetre conviviale, il faut que cette personne connaisse toutes les personnes d’un des deux groupes, soit au moins six. Si elle n’en connaˆıt que 5, c’est insuffisant.

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