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l’angle en R vaut 45+30=75° CR/sinK = k/sinR CR= (k /2) /sin(75) Dans le triangle CKP, l’angle en P vaut 60-45=15

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Academic year: 2022

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(1)

D2912 – Un cercle tangent à un côté [*** à la main]

Problème proposé par Jean-Louis Aymé Soit un carré ABCD. On désigne par : K un point sur [CD],

M, L deux points sur (AB) tels que le triangle KLM soit équilatéral,

P, Q les points d'intersection respectivement de (LK) et (AC) et de (MK) et (BC), R le point d'intersection de (PC) et (QK),

Démontrer que le cercle circonscrit au triangle PQR est tangent à (BC) en Q.

Solution proposée par Jean Nicot

Notons CK = k. Dans le triangle CKQ, l’angle en K vaut 60° donc CQ= k

Dans le triangle CKR, l’angle en K vaut 60° , l’angle en R vaut 45+30=75° CR/sinK = k/sinR CR= (k /2) /sin(75)

Dans le triangle CKP, l’angle en P vaut 60-45=15° , l’angle en K vaut 120° CP/sinK = k/sinP CP=(k /2) /sin(15)

CR.CP=( 3k²/4)/(2(cos(60)-cos(90))) = 3k²= CQ² Cette relation exprime la puissance de C par rapport au cercle (PQR) et donc que CQ lui est tangente en Q

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