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L’aire du triangle « à 45

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Academic year: 2022

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Casse-tête d’avril 2011

Un cercle de diamètre 10 est inscrit dans un triangle et un carré. Démontrer que la surface de la partie commune à ces deux dernières figures est au moins égale à 87.

Solution

Les points du carré qui n’appartiennent pas au triangle se regroupent dans trois triangles, dont les aires ne dépassent pas celle du triangle « à 45° », représenté plus bas.

L’aire du triangle « à 45° » est celle d’un carré de côté 5(√2-1). Elle vaut : 25(3 - 2√2) ; soit environ 4,29 (par excès).

Ainsi, l’aire de la partie du carré extérieure au triangle ne dépasse pas 12,87.

Elle est donc supérieure à 87.

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