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D108- Un carré dans un triangle

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Academic year: 2022

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D108- Un carré dans un triangle Solution

En reprenant les notations de la figure ci-dessus, on peut écrire d / a = r qui est le rapport d’homothétie des triangles APQ et ABC et d / h = BP / BA = (BA – AP) / BA = 1 – r. Il en résulte h = ar / (1-r).

Par ailleurs aire(AP )= r *aire(ABC) = 2 r SU, aire( BPS) = 2 (1r)2*aire(ABH) et aire(CQR)= (1r)2*aire(ACH).

Il en résulte aire(PQRS) = 4SU/9 = aire(ABC) – aire(APQ) – aire(BPS) – aire(CQR) = SU - r SU - 2 (1r)2SU 2r22r4/90 dont les racines sont 1/3 et 2/3. Il y a donc deux configurations possibles avec h=3 et h=12. Celle de la figure correspond à h=3.

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