A1735. Ecriture universelle **
Démontrer que tout nombre entier strictement positif peut s’écrire comme la différence de deux entiers strictement positifs qui ont le même nombre de facteurs premiers.
Nota : le dénombrement des facteurs premiers d’un entier ne prend pas en compte les puissances de ces facteurs. Par exemple 360 = 23.32.5 a trois facteurs premiers : 2, 3 et 5
Solution de Claude Felloneau
Pour tout entier strictement positifn, on notef(n) le nombre d’entiers premiers distincts qui divisentn.
— Sinest pair, on af(2n)=f(n) etn=2n−n.
— Sin est impair, soientp le plus petit entier premier impair qui ne divise pasn. On a f(pn)= 1+f(n).
Soitm= p−1
2 . Tout entier premier impairq qui divisemest strictement inférieur àp donc divisen. Ainsi tout entier premier qui divisemdivise également 2n.
On a doncf(2mn)=f(2n)=1+f(n) carnest impair.
Finalementn=pn−2mnetf(pn)=1+f(n)=f(2mn).
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