A1735– Ecriture universelle [** à la main]
Démontrer que tout nombre entier strictement positif peut s’écrire comme la différence de deux entiers strictement positifs qui ont le même nombre de facteurs premiers.
Nota:le dénombrement des facteurs premiers d'un entier ne prend pas en compte les puissances de ces facteurs. Par exemple 360 = 23.32.5 a trois facteurs premiers : 2,3 et 5
Solution proposée par Daniel Collignon
Si n est pair, alors on écrit n = 2n - n : 2n a autant de facteurs premiers que n pair, le facteur 2 étant déjà compté dans n.
Si n est impair, alors soit p le plus petit nombre premier impair ne divisant pas n, et l'on écrit n = pn - (p-1)n.
En effet, p-1=i*2^d avec i divisant n, donc pn et (p-1)n ont tous deux un facteur premier de plus que n : p pour le premier ; 2 pour le second.
