Seconde/Ensemble de nombres et calculs
1. Entiers, diviseurs, multiples :
Exercice 8244
Compléter le tableau par des croix pour indiquer si les entiers présentés sont divisibles par 2, 3, 5, 9.
Entiers 123 504 205 1433 2430
Divisible par 2 Divisible par 3 Divisible par 5 Divisible par 9 Exercice 8245
1. Donner l’expression des fractions ci-dessous sous forme
irréductible : a. 14
26 b. 66
27 c. 15
55 d. 56
40 2. Effectuer les opérations ci-dessous en simplifiant au
préalable chacun des termes du calcul : a. 15
25+ 9
15 b. 42
14−36 12 Exercice 8243
Compléter le tableau ci-dessous :
Entierx 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nombre de diviseurs de
x 2 2 3
2. Nombres premiers :
Exercice 8247
Dans la liste de nombres ci-dessous, barrer les nombres qui ne sont pas des entiers premiers :
33 47 51 28 39 49 85
Exercice 8248
1. Citer les dix entiers premiers inférieur ou égal à30.
2. Parmi les nombres ci-dessous lesquelles sont des nombres premiers.
33 47 51 28 39 49 85
3. Entiers pairs et impairs :
Exercice 233
Dans cet exercice, nous utiliserons le fait que tout entier na- turel pair (resp. impair) s’écrit sous la forme 2×n (resp.
2×n+1)oùnest un entier naturel.
Démontrer les assertions suivantes :
1. La somme de deux entiers impairs est un entier pair.
2. Le produit d’un entier pair par un entier impair est pair.
3. Le produit de deux entiers consécutifs est un entier pair.
4. La somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5.
Exercice 8246
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incom- plète, ou d’initative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
“Le nombre caché :
Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400.
Je suis pair.
Je suis divisible par 11.
J’ai aussi 3 et 5 comme diviseur.
Qui suis-je?”.
Expliquer une démarche permettant de trouver le nombre caché, et donner sa valeur.
4. Entiers et facteurs premiers :
Exercice 271
Les deux questions suivantes sont indépendantes : 1. On considère la somme suivante :
S= 30+ 31+ 32+ 33+ 34
a. Par laquelle des phrases ci-dessous peut-on traduire cette somme :
La somme des puissances des cinq premiers entiers naturels à l’exposant 3.
La somme des cinq premières puissances de 3 dont l’exposant est un entier naturel.
b. Montrer queS est le carré d’un entier dont on précis- era la valeur.
2. Trouver l’entiern∈Nvérifiant l’égalité : 10n= 100100 Exercice 234
1. Décomposer les entiers108 et30en facteurs premiers.
2. Mettre en avant votre démarche pour les deux questions suivantes :
a. Simplifier la fraction 30 108.
b. Effectuer la soustraction ci-dessous et donner le résul- tat sous forme de fraction irréductible :
5 108 − 7
30 Exercice réservé 240
Nous allons étudier l’algorithme de décomposition en produit de facteurs premiers les entiers.
1. Citer les huit entiers premiers inférieurs à 20.
Le tableau ci-contre représente l’algorithme de décomposition en produit de facteurs premiers de 30 :
La colonne de gauche représente l’entier 30 et les quotients successifs obtenus.
30 2 30÷2 = 15 15 3 15÷3 = 5
5 5 5÷5 = 1 1
La colonne de droite représente les diviseurs utilisés ; on remarquera qu’on utilise que des nombres entiers pre- miers.
L’algorithme s’arrête lorsqu’on obtient 1 dans la colonne de gauche.
2. a. Justifier, à la vue du tableau ci-dessus, l’égalité suivante :
30 2 3
5 = 1
b. Soit xun nombre réel et a,b etc trois nombres réels non-nul, Etablir l’égalité suivante :
x a b
c = x
a×b×c
c. Déduire des questions précédentes, que la décomposi- tion en facteurs premiers de 30 est :
30 = 2×3×5
3. Utiliser l’algorithme précédent afin de déterminer la dé-
suivants :
a. 84 b. 144 c. 140 d. 196
4. En déduire la décomposition en produit de facteurs pre- miers des produits suivant :
a. 84×144 b. 140×196 Exercice 255
1. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des trois entiers ci-dessous :
a. 16×25 b. 34×12 c. 72×18×10 d. 32×121
2. a. Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers naturels ci-dessous :
16et24
b. Déduire de la question précédente la décomposition en produit de facteurs premiers du produit ci-dessous :
163×242.
c. Déduire, de la question a. , la décomposition en pro- duit de facteurs premiers 245
162. Exercice réservé 256
1. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des deux entiers suivants :
a. 36×26 b. 12×21 2. En déduire le PGCD de 936 et 252.
3. Réduire la fraction : 9364 2525 Exercice 259
1. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers naturels suivants :
a. 25×72 b. 54×12 c. 32×84 d. 100×98
2. Déduire de la question 1. , déterminer : a. Le PGCD du couple(25×72 ; 54×12);
b. Le PPCM du couple (32×84 ; 100×98) d’entiers na- turels.
3. Utiliser un arbre de diviseurs pour déterminer l’ensemble des diviseurs de l’entier 315.
Exercice réservé 260
Voici la décomposition en produit de facteurs premiers de l’entier60:
360 = 23×32×5
20
30
5020×30×50=1 51 20×30×51=5 315020×31×50=3 51 20×31×51=15 32 5020×32×50=9 51 20×32×51=45 21
30
5021×30×50=9 51 21×30×51=45 315021×31×50=2 51 21×31×51=10 32 5021×32×50=6 51 21×32×51=30 22 30
5022×30×50=6 51 22×30×51=30 315022×31×50=18 51 22×31×51=90 32 5022×32×50=4 51 22×32×51=20
23 30
5023×30×50=4 51 23×30×51=20 315023×31×50=12 51 23×31×51=60 32 5023×32×50=36 51 23×32×51=180
1. Justifier que les entiers suivants sont des diviseurs de 60 : a. 21×32 b. 2×5 c. 22×30×5
2. Parmi les entiers suivants, quels sont les diviseurs de 360 :
a. 20×30×50 b. 24×3 c. 2×52 d. 23×32×5
3. Quelles conditions, sur les exposants, peut-on donner à l’entier2n×3n×5p pour qu’il soit un diviseur de 360?
4. L’arbre de décision ci-contre permet d’obtenir tous les diviseurs de l’entier360.
En vous inspirant de cet exemple, déterminer l’ensemble des diviseurs des entiers suivants :
a. 12 b. 135
Exercice 276
1. Parmi les entiers suivants, dire s’ils sont premiers ou non. Justifier vos réponses :
a. 903 b. 167
2. a. Déterminer la décomposition de 245 en produit de facteurs premiers.
b. Utiliser un arbre de choix, afin de déterminer l’ensemble des diviseurs de 245.
Exercice 277
1. Déterminer les décompositions en facteurs premiers des entiers suivants :
a. 36×54 b. 125×134 c. 280×24 2. En déduire le PGCD et le PPCM du couple
(6720 ; 16750)d’entiers naturels.
Exercice 282
Dans cet exercice, on utilisera la décomposition en produit de facteurs premiers pour répondre aux différentes questions :
1. Déterminer leP GCDdes différents couples d’entiers : a. (15 ; 21) b. (18 ; 28) c. (15 ; 22) 2. Déterminer si les deux entiers 56 et 45 sont premiers
entre eux
Exercice réservé 1727
Cet exercice a pour but d’établir la proposition suivante : Proposition :
Tout entier naturel n non-premier admet un diviseur premier compris dans l’intervalle[
2 ;√ n]
.
Pour cela, prenons un entier naturelxnon-premier ; il existe alors deux entiers naturels a et b supérieur ou égal à 2 tels que :
x=a×b
Supposons que a est plus petit que b (cela est possible en inversant au besoin le rôle de “a” et de “b”)
Pour montrer que a appartient à l’intervalle [ 2 ;√
x] nous allons faire un raisonnement par l’absurde.
Pour cela, supposons que l’entier appartient à l’intervalle ]√x; +∞[
1. Justifier l’inégalité suivante : a×b > x 2. En déduire que : a∈[
2 ;√ x]
.
La démonstration se termine du fait queaest un diviseur de xappartenant à l’intervalle[
2 ;√ x]
: soitaest premier ;
soit a n’est pas premier et a admet alors des diviseurs premiers ; ces diviseurs seront également des diviseurs premiers dexappartenant à l’intervalle considéré.
10. Nombres irrationnels :
Exercice 776
Ci-dessous sont indiqués des “diagrammes commutant”.
Retrouver les valeurs manquantes ainsi que les opérations inverses.
×2
? 5
+3
? −2
?
⋆÷2
5 ⋆
?
⋆×4
3 ⋆
+12
?
−5 ⋆
?
⋆+3,4
−2,2
2
√⋆
3 ⋆
2
√⋆ 25
2
? 1
?
√⋆ 4
2
√⋆ 1,44
2
? 2
Exercice réservé 779 On souhaite montrer que√
2 est un nombre irrationnel.
C’est à dire que le nombre√
2 ne peut s’écrire sous la forme d’un quotient a
b irréductible oùaetb seraient deux entiers.
On notera alors√ 2∈/Q.
Nous allons faire un raisonnement par l’absurde.
On suppose l’existence de deux entiers a et b vérifiant l’égalité √
2=a
b et tels que cette fraction soit irréductible.
Et nous allons développer notre raisonnement jusqu’à aboutir une contradiction mettant ainsi en échec notre hypothèse de départ.
1. Montrer queaetbvérifie l’égalité : a2= 2b2 2. En déduire queaest un entier pair.
Ainsi, il existe un entierctel que : a= 2×c.
3. En utilisant la question 1. , en déduire la parité deb.
4. Est ce que la fraction a
b est irréductible?
Nous venons d’aboutir à une contradiction. Notre raison- nement étant correct, nous devons remettre en cause notre hypothèse de départ : le nombre√
2 ne peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible.
11. Ensemble des nombres réels :
Exercice réservé 265
Dans cet exercice, nous allons montrer que, pour tout en- tier naturela,√
aest soit un nombre entier, soit un nombre non-décimal.
Un nombre décimalX(en base 10)est un nombre admettant l’écriture :
X=x0,x1x2x3· · ·xn
où
{x0 est sa partie entière, nest le nombre décimale de X
x1,x2,. . . ,xn des entiers compris entre 0 et 9 La première remarque est que puisqueXest un nombre ayant ndécimales, alorsxn est non-nul.
Exemple : pour X= 25,153. On a :
x0= 25 n= 3 x1= 1, x2= 5,x3= 3
Soit a un entier naturel, supposons que √
a est un nombre décimal non entier : a∈D ; a̸∈N
Ainsi,√
aadmet la décomposition décimale suivante :
√a=x0,x1x2x3. . . xn oùnest non-nul.
1. a. Effectuer, en les posant, les opérations suivantes : 1,1×1,1 ; 1,2×1,2 ; 1,3×1,3 ; . . . ; 1,9×1,9 b. Justifier que le carré d’un nombre décimal possédant
un seul chiffre dans la partie décimale ne peut être un entier.
2. En déduire que√
ane peut être un nombre décimal.
Exercice 278
Indiquer la nature de chacun des nombres présentés ci- dessous(indiquer vos calculs si nécessaire):
a. 1 + 1
3 b.
5 3 2 9
c. √
2 d. √
7500
e.
√2
√12
f. 1+π g. (
1+√ 2)2
h.
( cosπ
3 )2
Exercice réservé 1735
On cherche a comparer les nombres suivants :
A= 1
8463 ; B = 0,000118161408 ; C= 28 848 244 140 625 1. Comparer ces trois nombres à l’aide de votre calcula-
trice.
Faîtes une conjecture.
2. En remarquant qu’on a l’écriture suivante : C=28848 512 Justifier queCest un nombre décimal à 12 chiffres dans la partie décimale.
Remarque : On admettra le théorème suivant : Une fraction a
b irréductible est un nombre décimal si, et seulement si, son dénominateur admet une décomposition en produits de fac- teurs premiers de la forme 2m×5n avec m et ndes entiers naturels.
3. Vérifier que : 8463 = 3×7×13×31.
En déduire queAest un nombre rationnel.
4. Reprendre votre conjecture de la question 1. . Exercice 269
Pour chacun des nombres ci-dessous, déterminer son ensem- ble d’appartenance :
a. 3
4 b. 5
3 c. 0,3
24 d. 5,1
1,7
e. √
18 f. √
121 g.
√24
√6
h. √ 1,44
Exercice 8023
Définitions :
On classe les nombres suivants leurs natures :
Tous les nombres entiers positifs ou nul forment l’ensemble desnombres naturelsnotéN.
Tous les nombres entiers (positifs, nul, négatifs) for- ment l’ensemble desnombres relatifsnotéZ. Tous les nombres admettant une écriture décimale for- ment l’ensemble desnombres décimauxnoté D. Tous les nombres admettant une écriture sous la forme d’un quotient de deux entiers forment l’ensemble des nombres rationnelsnotéQ.
Tous les nombres existant forment l’ensemble des nombres réelsnotéR.
Relier chacun des nombres au premier des ensembles, cités ci-dessus, auquel il appartient :
5 0,6
−3
√2 4
3
N Z D Q R
Exercice 8028
Ci-dessous, sont représentés les cinq ensembles de nom- bres les plus connus : l’ensemble des nombres naturels(N), l’ensemble des nombres relatifs (Z), l’ensemble des nom- bres décimaux(D), l’ensemble des nombres rationnels(Q), l’ensemble des nombres réels(R),
1 0 N
55 -1 Z
-4 -101
D
0,25 -5,7 2,4
Q
1
3 5
7
2 11
R
√2
1+π
2√ 7+1
Relier chacun des nombres au premier des ensembles, cités ci-dessus, auquel il appartient :
28
−7 π
3
−6
−2
−4 3
−3 2
N Z D Q R
Exercice réservé 1726
Nombre Nature On écrit
1 Entier naturel 1∈N
−5 −5∈
−3,12 −3,12∈
1 3
1 3 ∈ 4
5
4 5 ∈
√2 √
2∈ Ä√
2+1ä Ä√
2−1ä 2
Ä√
2+1ä Ä√
2−1ä
2 ∈
36×44×152 37×23
36×44×152 37×23 ∈
12. Intervalle :
Exercice 316
Compléter à l’aide des symboles∈et∈/: a. π . . .]3,14 ; 5] b. 3. . .
[ 0 ; 5
2 [
c. √
2. . .[2 ; 3]
d. 0,33. . . [1
3; 1 ]
e. −3. . .[2 ; 4]
Exercice 311
1. Recopier et compléter à l’aide du symbole d’appartenance (∈) et de non-appartenance les lignes suivantes :
a. √
2... ]1 ; 3[ b. 2
√2 ... [√ 2 ; 5]
c. 1−√
√ 11
11 ...]−∞; 0[
2. Pour chaque couple d’intervalle, donner l’ensemble ré-
sultat de leur intersection et de leur réunion : a.
[−√ 2 ;1
3 [
et ]1
3; 5 ]
b. [1 ; 6[ et [3 ; 8]
c. ]−∞;π] et ]1 ; +∞[ Exercice 1794
Pour chaque question, on a représenté un sous-ensemble de R:
en hachurant les intervalles constituants ce sous- ensemble ;
en marquant les points isolés lui-appartenant.
A l’aide des notations ensemblistes, décrire chacun de ces sous-ensembles :
a. R
−4 1 3
b. R
−3,5 −1 0 1
c. R
−2,5 π √
21
d. R
−4 0 1 3
Exercice réservé 1905
Représenter sur une droite graduée chacun des ensembles ci- dessous et donner leur écriture algébrique :
a. [
−1 ;π]
∪]√
2 ; 5[ b. ]
−∞; 2]
∪]
−1,5 ; +∞[ c. ]
−2 ; 8]
∩]
−∞; 3[ d. ]
−∞; −√ 3]
∩[
−√
3 ; +∞[ Exercice 2711
1. Simplifier l’écriture des ensembles suivants : a. ]
−∞; 3]
∩[
−2 ; 5[
b.
[5 2;√
10 [∩[
3 ;π[ c.
]−12 5 ;√
3 [∪[
−√ 3 ;9
4 [
2. Dire si les inclusions suivantes sont vraies ou fausses : a. ]
3 ;√ 17]
⊂[
−∞; 4] b.
[−2 3;
√2 2
[⊂]
−1 ; 1
√2 ]
Exercice réservé 298
Dans chaque cas, représenter sur une droite graduée les deux intervalles. Puis, déterminer leurs intersections et leurs réu- nions :
a. [0 ; 2] ; [1 ; 3] b. [0 ; 2] ; ]2 ; 3]
c. [0,33 ; 2] ; [1
3;8 9 [
Exercice 1935
Avant d’effectuer l’opération sur les intervalles demandées, représenter chacun des deux intervalles sur une droite graduée, puis donner l’ensemble résultant.
a. [ 2 ; 5]
∪]
−1 ; 7]
b. ]
3 ; +∞[
∪[ 0 ; 3[
∪{ 3} c. [
2 ; 5]
∩]
−1 ; 7]
d. ]
−∞; 3]
∩]
3 ; +∞[ Exercice réservé 337
1. Donner deux nombres réelsaetbvérifiant les deux con- ditions suivantes :
b−a= 1 et [a;b]⊂[3 4;5
2 ]
2. A l’aide des symbols d’appartenance (∈) et de non- appartenance (̸∈), indiquer les nombres appartenant à l’intervalle[−2; 1]:
0 ; −√
2 ; √
3 ; 4
; π
3. Dans chaque cas, représenter sur une droite graduée l’ensemble correspondant à la réunion ou à l’intersection demandée.
Puis donner, si possible, une écriture simplifié de cet ensemble.
a. [1 ; 2]∪[3 2;14
8 ]
b. [−1 ; 1]∪[1 ; 4]
c. [1 ; 4]∪[−4 ;−1] d. [4 ; 5]∩[−1 ; 4]
e. [−1 ; 1]∩[2 ; 3] f.
[−2 ;3 4
]∩[1 ; 100]
Exercice 4202
Quatre ensembles de nombres sont représentés ci-dessous sur une droite graduée :
a.
−1 4
b.
−1 4
c.
−1 4
d.
−1 4
Associer à chacun de ces ensembles de nombres, l’encadrement qui est vérifié par tous les nombres de cet ensemble :
1. −1⩽x⩽4 2. −1< x <4 3. −1⩽x <4 4. −1< x⩽4 Exercice 4201
Sur chaque droite ci-dessous, est un représenté un ensemble de nombres :
a.
−3
b.
−1 4
c.
1
Utiliser un intervalle pour décrire chacun de ces ensembles.
Exercice 859
Trouver les nombres vérifiant simultanément les deux inéqua- tions suivantes et représenter l’ensemble des solutions sur une droite graduée :
ß 2x+ 4 <3x−2 3x−5 <2x+ 2 Exercice 6512
Recopier les informations manquantes sur votre copie :
-∞ +∞
−4 1
−4⩽x <1
a. -∞ +∞
−4
b. -∞ +∞
0 2
c. x <2
d. −3< x⩽1
Exercice 4376
1. A l’aide des notations ensemblistes, décrire chacun de
a. R
−4 1
b. R
−4 3
c. R
−3
,5 −1 0 1
2. Compléter les pointillés avec les symboles ∈ou̸∈: a. 1... ]
−0,2 ; 3]
a. π ...]
0,5 ; 3,1] b. √
2... ] 1 ; 2[
c.
√16 4 ...]
−4 ; 4[ d. π ... ]
3,1 ; 4]
e. 1
3 ...] 0 ; 0,33[
Exercice 8032
Résoudre les inéquations ci-dessous et donner l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle :
a. x+ 1>0 b. 2x⩾4 c. x+ 2⩽5 d. 3x+ 2<−1 Exercice réservé 8063
Résoudre les inéquations ci-dessous et représenter leur en- semble de solution sur une droite graduée :
Résoudre les inéquations ci-dessous et donner l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle :
a. x+ 1>0 b. 2x+ 4⩾3 c. −x+ 3⩽5
