Décomposition en produit de facteurs irréductibles

POLYNÔMES TD

Polynômes – TD

Arithmétique dans K ^{[X ]}

Exercice 1

Effectuer les divisions euclidiennes de

1. 1+6X²+4X³−5X⁴ parX²−5X+3. 2. X³+iX²+X parX−i+1.

Exercice 2

SoientP∈K^{[X] et (}α,_β)∈K^2avecα,β.

1. Déterminer le reste dans la division euclidienne dePparX−α. 2. Déterminer le reste dans la division euclidienne dePpar (X−α)².

3. Déterminer le reste dans la division euclidienne dePpar (X−α)×(X−β).

Exercice 3

Soitn∈N^?. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 1. X²ⁿ+(X−1)ⁿparX×(X−1).

2. Xⁿ+X+1 par (X−1)². 3. ¡

cos(_θ)+sin(_θ)X¢n

parX²+1, où_θ∈R^.

Exercice 4

Déterminer les polynômesP∈K[X] tels que : 1. P(X+1)=P(X).

2. P(X²)=(X²−X+1)×P(X).

3. P⁰²=4P.

4. (X²+1)×P⁰⁰−6P=0.

5. (X+4)×P=X×P(X+1).

Exercice 5

SoitP∈C[X]. Montrer qu’il existe un unique polynômeQ∈C[X] vérifiant : pour toutz∈C^?,

Q µ

z+1 z

¶

=P(z)+P µ1

z

¶ .

Indication: commencer par le cas oùP=Xⁿet raisonner par récurrence.

Exercice 6

Déterminer les polynômes deK^[X] divisibles par leur polynôme dérivé.

Exercice 7

1. Soitn∈N^?. Montrer queX−1 diviseXⁿ−1.

2. Soientaetbdeux entiers naturels non nuls. Montrer que siadiviseb, alors X^a−1 diviseX^b−1.

3. Soientaetbdeux entiers naturels non nuls. On noterle reste dans la division euclidienne deaparb.

Montrer que le reste dans la division euclidienne deX^a−1 parX^b−1 est X^r−1.

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

TD POLYNÔMES

Racines d’un polynôme

Exercice 8

Déterminer les polynômes réelsP de degré au plus 3 tels que (X−1)²¯

¯(P−1) et (X+1)²¯

¯(P+1).

Exercice 9

Déterminer une condition nécessaire et suffisante surn∈N^{pour queX2n}+Xⁿ+1 soit divisible parX²+X+1.

Exercice 10

SoitT∈C^?. Déterminer les polynômesP∈C[X] tels que la fonction polynomiale associée soitT-périodique :

∀z∈C^,P(z+T)=P(z)

Exercice 11

SoientP∈C[X] non nul vérifiantP(X²)=P(X)P(X−1) eta∈Cune racine deP.

1. Montrer que, pour toutn∈N^,a2n est racine deP.

2. En déduire queaest nul ou de module 1.

3. Montrer que l’on a aussia= −1 ou|a+1| =1.

4. Déterminer alors tous les polynômes vérifiant cette relation.

Exercice 12

Déterminer les racines deP=(X−1)²ⁿ⁺¹−1. En déduire

2n

Y

k=0

cos µ k×π

2n+1

¶ . Exercice 13

Soitn∈N^?. Factoriser dansC^[X] le polynômeP=(X+1)ⁿ−(X−1)ⁿ. En déduire la valeur de

p

Y

k=1

1 tan³ _k×π

2p+1

´. Exercice 14

Soitn∈N^?etθ∈R^.

1. Factoriser dansC^[X] le polynômeP=(X+1)ⁿ−e^{2 in×θ}. 2. En déduire la valeur de

n−1Y

k=0

sin µ

θ+k×π n

¶ et

n−1Y

k=1

sin µk×π

n

¶ .

Exercice 15

SoitP_n=Xⁿ−X+1.

Montrer queP_npossèdenracines distinctes dansC. Exercice 16

Soitn∈N^?. Montrer que les racines deP=1+X+ 1

2!X²+ · · · + 1

n!Xⁿsont simples.

Indication :CalculerP−P⁰. Exercice 17

Soitn∈N^?,nÊ2. Montrer queX×(X+1)×(2X+1) divise (X+1)²ⁿ−X²ⁿ−2X−1.

Exercice 18

Soitn∈N. Montrer queX²divise (X+1)ⁿ−n X−1.

Exercice 19

Soit (m,n,p)∈N^{3. On noteP}=X^3m+2+X³ⁿ⁺¹+X^3r etQ=X²+X+1.

1. Montrer queQdiviseP dansC^[X] en utilisant les racines deQ.

2. Justifier queQdiviseP dansR^[X].

3. FactoriserP−QparX³−1. Retrouver le résultat de la question précédente.

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POLYNÔMES TD

Exercice 20

SoitP∈C[X] de degrénÊ1. Montrer la fonction polynomiale associée àPest surjective.

Exercice 21

SoientP∈C^{[X] eta}∈C. Donner une condition nécessaire et suffisante surPetapour queasoit racine de multiplicité 3 deQ(X)=(X−a)ס

P⁰(X)+P⁰(a)¢

−2¡

P(X)−P(a)¢ . Exercice 22

Déterminer les polynômesP deR[X] tels que :∀n∈N, Z n+1

n

P(t) dt=n²+1.

Exercice 23

SoitP∈R[X] de degré 7. On suppose queP+i est multiple de (X−i)⁴. DéterminerP⁰et en déduireP.

Décomposition en produit de facteurs irréductibles

Exercice 24

1. DécomposerX⁴+2X³+X²−2X−2 en produit de facteurs irréductibles dansR^[X].

2. DécomposerX⁶+1 en produit de facteurs irréductibles dansR^[X].

3. DécomposerX⁵+X en produit de facteurs irréductibles dansR^[X].

4. DécomposerX²ⁿ⁺¹−1 en produit de facteurs irréductibles dansR^[X].

5. DécomposerX⁹+X⁶+X³+1 en produit de facteurs irréductibles dansR^[X].

6. Décomposer (1−X²)³+8X³ en produit de facteurs irréductibles dansR^[X].

7. Décomposer 6X⁴+X³+(6 i+10)X²+(2+i)X−(4+2 i) en produit de facteurs irréductibles dansC[X] sachant que ce polynôme possède des racines réelles.

Exercice 25

Soitn∈N^?etθ∈]0,_π[. Décomposer en facteurs irréductibles dansR[X] le polynôme X²ⁿ−2 cos(_θ)Xⁿ+1.

Exercice 26

Soitn∈N. Factoriser dansR^[X] les polynômesP=1+X+ · · · +X²ⁿ, avecnÊ1, etQ=1+X+ · · · +X²ⁿ⁺¹.

Familles de polynômes classiques

Exercice 27 : Polynômes d’interpolation de Lagrange

Soitn∈Nun entier et (a₀,a₁, . . . ,a_n)∈K^{n+1 unn}+1-uplet de nombres deux à deux distincts. on définit, pour tout i∈ ‚0,nƒ,

L_i= Y

0ÉkÉn k,ⁱ

X−a_k a_i−a_k

1. Montrer que, pour touti∈ ‚0,nƒ,L_i∈Kn[X] et, pour tout (i,j)∈ ‚0,nƒ², calculerL_i(a_j).

2. Montrer que, pour toutP∈Kn[X], on a :P=

n

X

i=0

P(a_i)L_i.

3. Soit (b₀, . . . ,b_n)∈Kⁿ⁺¹. Montrer qu’il existe un unique polynômeP∈Kn[X] tel que, pour touti∈ ‚0,nƒ,P(a_i)=b_i. Exercice 28 : Polynômes de Tchebychev

Soitn∈Nun entier. On étudie les polynômes qui vérifient :

∀x∈R^,Tn(cos(x))=cos(n×x).

1. Soitn∈N. Montrer que siT_nexiste, alors il est unique.

2. Vérifier queT₀=1,T₁=X etT₂=2X²−1.

3. Montrer que, pour toutn∈N^,Pnexiste et vérifieT_n+2=2X×T_n+1−T_n.

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4. Déterminer le degré deT_nainsi que son coefficient dominant.

5. Déterminer l’ensemble des racines deT_npuis sa décomposition en produit de facteur irréductible.

6. En déduire que,

n−1

Y

k=0

cos

µ(2k+1)×π 2n

¶

=





 (−1)ⁿ²

2ⁿ−1 sinest pair

0 sinon

Application des polynômes

Exercice 29 Soitf : R → R

x 7→

(

e^−x12 six>0

0 sinon

1. Justifier que f est de classeC^∞surR^?₊^.

2. Montrer que, pour toutn∈N, il existeP_n∈R^[X] tel que, pour toutx>0,f⁽ⁿ⁾(x)=P_n µ1

x

¶

×e^−x12. 3. Pour toutn∈N, donner le degré et le coefficient dominant deP_n.

4. Montrer quef est de classeC^∞surR^.

Formule de Taylor

Exercice 30

Déterminer les polynômesP∈R[X] tels queP(2)=6,P⁰(2)=1,P⁰⁰(2)=4 et, pour toutnÊ3,P⁽ⁿ⁾(2)=0.

Fractions rationnelles

Exercice 31

Déterminer une primitive, sur un intervalle approprié, de f:x7→ x⁴−x²+1 x×(x+1)×(x−2). Exercice 32

Déterminer la décomposition en éléments simples deC^{(X) deF}= X²+X−1 X×(X²+1). Exercice 33

Déterminer la décomposition en éléments simples deR^{(X) deF}= 1

X³+1 sachant que celle-ci est de la forme F= a

X+1+ b X+c X²−X+1. Exercice 34

Déterminer la décomposition en éléments simples deR^{(X) deF}= X+1

X×(X−1)² sachant que celle-ci est de la forme F= a

X + b

X−1+ c (X−1)². Exercice 35

Soientn∈N^?etα1, . . . ,_αndes réels deux à deux distincts non nuls.

On considèrePun polynôme de degrénpossédant_α1, . . . ,_αn comme racines.

1. FactoriserP. Donner le nom d’un tel polynôme.

2. Déterminer la décomposition en éléments simples deR^{(X) de 1} X×P. 3. En déduire que

n

X

k=1

1

αk×P⁰(_αk)= − 1 P(0).

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