ai est le nombre de ces entiers strictement sup´erieurs ` a i

Enonc´e n^oE517 (Diophante) Sur un tr`es grand tableau noir

Q1 – 2010 nombres entiers strictement positifs, pas n´ecessairement distincts, sont ´ecrits en vrac sur un tr`es grand tableau noir. J’´ecris une premi`ere s´equence d’entiers a0, a1, a2, . . . , ai, . . . telle que pour i = 0,1,2, . . . a_i est le nombre de ces entiers strictement sup´erieurs

`

a i. Je continue tant que les a_i sont strictement positifs et je n’´ecris pas de z´eros. Je poursuis avec une deuxi`eme s´equence d’entiers b0, b1, b2, . . . , b<sub>j</sub>, . . . obtenue `a partir de la premi`ere s´equence selon le mˆeme proc´ed´e. Et ainsi de suite. . . Quels sont les termes de la 2010i`eme s´equence ?

Q2 – J’efface tout et j’´ecris une premi`ere s´equence de 2010 nombres entiers positifs ou nuls, pas n´ecessairement distincts : a1, a2, . . . , ai, . . . , a2010. En dessous de chacun des termesai, j’´ecris une deuxi`eme s´equence de 2010 entiers :b1, b2, . . . , b_i, . . . , b2010dans laquelle b_i est le nombre d’occurrences de l’entier a_i. Je poursuis le processus en ´ecrivant une troisi`eme s´equence de 2010 entiers strictement posi- tifs c1, c2, . . . , ci, . . . , c2010 dans laquelle ci repr´esente le nombre d’oc- currences de b<sub>i</sub>. Et ainsi de suite. . . Montrer qu’`a partir d’un certain num´ero k, les s´equences sont toutes identiques entre elles. Quelle est la plus grande valeur possible dek? Donner l’exemple d’une s´equence a1, a2, . . . , a2010 qui maximisek.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1

Je range les nombres donn´es par ordre d´ecroissant (au sens large), soit z0 ≥z1≥. . .≥z2009.

Dans un rep`erexOy, j’affecte `azkle rectanglek < x≤k+1, 0< y≤zk. La r´eunion de ces rectangles a pour fronti`ere deux segments sur les axes et un ensemble de segments formant un escalier descendant de gauche

`

a droite.

Ce domaine peut ˆetre partitionn´e en rectangles 0< x≤t_i,i < y ≤i+1.

On at0= 2010 et, siz0=M (le plus grand des nombres donn´es),t_M = 0 et tM−1 > 0. On voit que ti est le nombre des nombres donn´es > i, il s’identifie au termea_i de la premi`ere s´equence. Celle-ci a exactement M termes non nuls, pouri= 0 `a M−1.

La s´equencebj s’obtient par le mˆeme proc´ed´e, partitionnant le domaine en rectangles j < x≤j+ 1, 0 < y≤b_j. Ce sont les rectangles d´efinis avec la suitez_k etb_j =z_j.

Poursuivant le processus, toutes les s´equences de rang pair et notam- ment la 2010i`eme, sont identiques `a la s´equence des nombres donn´es rang´es par ordre d´ecroissant.

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Question 2

SoitIa l’ensemble des indicesitels queai=a1,Ib, Ic, . . . les ensembles d’indices d´efinis de la mˆeme fa¸con sur les s´equences bi, ci, . . .. Ces en- sembles forment une suite croissante (au sens large) ; en effet, sia_i =a1, c’est le nombre d’occurrences de leur valeur commune qui est inscrit en b1 etbi, donci∈Ia⇒i∈I_b.

Cette suite d’ensembles est major´ee par l’ensemble des entiers de 1 `a 2010, elle admet donc une limite. Le nombre d’indices de cet ensemble- limite (contenant l’indice 1) est la valeur qui apparaˆıtra aux rangs cor- respondants dans toutes les s´equences `a partir d’un certain rang.

Il en est de mˆeme des suites d’indices d´efinies `a partir dea2, . . . , a2010 : les divers ensembles-limites de ces suites, quand ils sont distincts, forment une partition-limite de l’ensemble des entiers de 1 `a 2010. Dans la s´equence correspondante, le terme si est le nombre d’´el´ements de l’ensemble-limite auquel appartient l’indicei.

Soit une s´equence o`u apparaissent h valeurs distinctes v1, . . . , v_h, en nombre respectivement n1, . . . , nh. La s´equence suivante sera form´ee de n1, . . . , n_h en nombre respectivement n1, . . . , n_h. Si tous les nj sont distincts, les s´equences suivantes seront identiques. S’il y a moins de h valeurs pour les nj, chaque valeur apparaissant plusieurs fois dans la liste n1, . . . , n_h sera remplac´ee par un de ses multiples, au moins le double.

Ainsi, on peut obtenir 12 s´equences distinctes de 2010 termes de la fa¸con suivante. L’in´egalit´e 2010<2¹¹ pousse `a penser que cette solution est optimale, cependant je n’exclus pas qu’un autre proc´ed´e puisse donner plus de 12 s´equences distinctes.

Je noterai S1 pour la s´equence initiale ai, S2 pour la s´equence des bi, etc. Je noteraip^q pour le nombrep r´ep´et´e q fois dans la s´equence.

S1 : 961⁹⁶¹, 25²⁵, 512⁵¹², 256²⁵⁶, 128¹²⁸, 64⁶⁴, 32³², 16¹⁶, 8⁸, 4⁴, 2², 3¹, 5¹.

S2 : 961⁹⁶¹, 25²⁵, 512⁵¹², 256²⁵⁶, 128¹²⁸, 64⁶⁴, 32³², 16¹⁶, 8⁸, 4⁴, 2², 1². S3 : 961⁹⁶¹, 25²⁵, 512⁵¹², 256²⁵⁶, 128¹²⁸, 64⁶⁴, 32³², 16¹⁶, 8⁸, 4⁴, 2⁴. S4 : 961⁹⁶¹, 25²⁵, 512⁵¹², 256²⁵⁶, 128¹²⁸, 64⁶⁴, 32³², 16¹⁶, 8⁸, 4⁸. S5 : 961⁹⁶¹, 25²⁵, 512⁵¹², 256²⁵⁶, 128¹²⁸, 64⁶⁴, 32³², 16¹⁶, 8¹⁶. S6 : 961⁹⁶¹, 25²⁵, 512⁵¹², 256²⁵⁶, 128¹²⁸, 64⁶⁴, 32³², 16³². S7 : 961⁹⁶¹, 25²⁵, 512⁵¹², 256²⁵⁶, 128¹²⁸, 64⁶⁴, 32⁶⁴. S8 : 961⁹⁶¹, 25²⁵, 512⁵¹², 256²⁵⁶, 128¹²⁸, 64¹²⁸. S9 : 961⁹⁶¹, 25²⁵, 512⁵¹², 256²⁵⁶, 128²⁵⁶. S10 : 961⁹⁶¹, 25²⁵, 512⁵¹², 256⁵¹². S11 : 961⁹⁶¹, 25²⁵, 512¹⁰²⁴. S12 : 961⁹⁶¹, 25²⁵, 1024¹⁰²⁴.

En variante, dans la solution ci-dessus on peut remplacer 961⁹⁶¹, 25²⁵ par 361³⁶¹, 625⁶²⁵.

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