A20322. Deux séries Evaluer au moyen des fonctions élémentaires la somme des séries de terme général : a/ arctan(2

A20322. Deux séries

Evaluer au moyen des fonctions élémentaires la somme des séries de terme général :

a/ arctan(2/n²), b/ arctan(1/n²).

Solution

a/ arctan(2/n²) = arctan(n+ 1)−arctan(n−1), d’où la somme des k premiers termes arctan(k+ 1) + arctank−arctan 1, avec pour limite π/2 +π/2−π/4 = 3π/4 = 2,35619444901923449. . .

b/ Plus généralement, arctan(a/n²) est l’argument du nombre complexe 1 +ia/n²; la somme cherchée est (à 2kπ près) l’argument du produit infini Q

n(1 +ia/n²).

Soitb=π^pa/2, en sorte que

1 +ia/n² = 1 + 2ib²/n²π² = 1−(b−bi)²/n²π².

On sait que^Q_n(1−z²/n²π²) = sinz/z. Ainsi le produit infini vaut sin(b−bi)

b−bi = 1 +i

2b (sinbcoshb−isinhbcosb).

Son argument estπ/4 + arg(sinb)−arctan(tanhbcotb).

Pour a= 1,b=π/√

2, l’argument du produit infini est

1,42474177842998089. . . ; c’est la somme demandée, car comprise entre 0 et P(1/n²) =π²/6 = 1,6449340668482264. . .