£ qp q £ qp m 1 +

A529. Les premiers font la paire

Déterminer successivement tous les couples de nombres premiers (p, q) tels que leur produit pq divise 1. 2^p + 2^q

2. 5^p + 5^q

3. (5^p – 2^p).(5^q – 2^q)

Solution de Claude Felloneau

1. Les solutions sont les couples (2, 2), (2, 3), (3, 2).

Si p = 2 et pq divise 2^p +2^q alors q divise 2²+2^q. Or q divise 2^q−2 car q est premier donc q divise 6. On en déduit q = 2 ou q = 3. Ce qui donne les couples (2, 2) et (2, 3) puis (3, 2) par symétrie.

Il est facile de vérifier que chacun de ces couples convient.

Il n’y en a pas d’autres d’après le lemme suivant :

Lemme : si α est un entier naturel supérieur ou égal à 2, alors il n’existe aucun couple (p, q) d’entiers naturels premiers tels que pq divise α^p+α^q, p>α et q>α.

En effet, s’il existe un couple (p, q) d’entiers premiers tels que pq divise α^p +α^q, p>α et q>α, alors :

- p divise α^p+α^q et p divise α^p−α car p est premier (petit théorème de Fermat), donc p divise α^q+α et comme p>αet p premier, p divise α^q−1+1^.

- q est impair, donc il existe deux entiers naturels a et b tels que a≥1 et q−¹=^2a

(

²b+¹

)

. On a alors

( )

^{α2b+1 2a ≡−1}

^{( )}

^{p , d’où}

( )

^{α2b+1 2a+1 ≡1}

^{( )}

^p . L’ordre m de α^2b+1 dans le groupe cyclique (Z/pZ)^* divise 2^a+1et ne divise pas 2 , donc ^a m=2^a+1. Comme m divise l’ordre de ce groupe, 2^a+1divise p – 1. Il existe donc un entier naturel non nul k tel que p−1=k×2^a+1. - De même q divise α^p−1+1, donc

( )

^{αk 2a+1 ≡−1}

^{( )}

^q . Comme précédemment, on en déduit que

l’ordre de α^k dans le groupe cyclique (Z/qZ)^* est 2^a+2 et 2^a+2 divise q−¹=^2a

(

²b+¹

)

, ce qui est impossible puisque 2 ne divise pas 2b + 1.

2. Les solutions sont les couples (2, 3), (3, 2), (2, 5), (5, 2), (5, 5), (5, 313) et (313, 5).

En effet, d’après le lemme précédent et le fait que p et q jouent des rôles symétriques, on peut se limiter à la recherche des couples (p, q) d’entiers premiers tels que pq divise 5^p +5^q et p≤5 et

q p≤ .

- Si p = 2 et pq divise 5^p +5^q alors q divise α^p+α =30. On en déduit q∈

{

^2,3,5

}

.

Si p = 2 et q = 2, alors pq=4 et 5^p +5^q =50, et 4 ne divise pas 50 donc (2, 2) ne convient pas.

Si p = 2 et q = 3, alors pq=6 et 5^p+5^q =150=25pq donc (2, 3) convient.

Si p = 2 et q = 5, alors pq=10 et 5²+5⁵ =3150=315pq donc (2, 5) convient.

- Si p = 3 et pq divise 5^p +5^q alors 3q divise 125+5^q, donc 2+5^q ≡0(3), d’où )

3 ( 0 ) 1 (

2+ − ^q ≡ . On en déduit que q est pair, ce qui est exclu puisque p≤q.

- Si p = 5 et pq divise 5^p +5^q alors q divise ^{αp+α =5}

( )

⁵⁴⁺¹ . On en déduit que q = 5 ou q divise 5⁴+1 ; dans ce dernier cas, on obtient q = 313.

Si p = 5 et q = 5, alors pq=5² et 5⁵+5⁵ =2×5³pqdonc (5, 5) convient.

Si p = 5 et q = 313, alors 5⁵ +5³¹³= pnavec n=5⁴+5³¹² ≡625+1≡0(313)donc (5, 313) convient.

3. Les solutions sont les couples (3, 3), (3, 13), (13, 3).

Si p et q sont des entiers premiers tels que p≤q et pq divise (5^p −2^p)(5^q −2^q), alors :

- Comme 2≤ p≤q, 5^p −2^p et 5^q−2^q sont impairs ainsi que (5^p−2^p)(5^q −2^q), donc p et q sont impairs.

- De plus, (5^p −2^p)(5^q−2^q)≡2^p+q (5)et 5 ne divise pas 2^p+q, donc p≠5et q≠5.

- Si p = 3 alors 3q divise 117(5^q −2^q), donc q divise 39(5^q −2^q). Or 5^q ≡5(q) et 2^q ≡2(q) puisque q≠2et q≠5, donc 117≡0(q). On en déduit que q = 3 ou q = 13.

o Si p = 3 et q = 3, alors (5^p−2^p)(5^q−2^q)=117² =39²pq. Le couple (3, 3) convient.

o Si p = 3 et q = 13, ^{(5p−2p)(5q −2q)=117}

(

^513−213

)

^=3pq

(

^513−213

)

. Le couple (3, 13) convient.

- Si p > 3, alors q≥ p≥7. On a 5^p−2^p ≡5−2≡3(p), donc 5^q −2^q ≡0(p), d’où )

( 2

5^q ≡ ^q p puis

( )

^{5r q} ≡−^1(p)avec 2

−1

= p

r .

L’ordre m de 5r dans le groupe cyclique (Z/pZ)^* divise donc 2q et ne divise pas q, donc m =2 ou m = 2q. De plus, m divise p – 1, donc m< p≤q. On a donc m = 2.

Il s’en suit

( )

^{5r 2} ≡^1(p) ; or

( )

^{5r q} ≡−^1(p)et q impair donc 5r≡−1(p)d’où 10r≡−2(p) soit 5(p−1)≡−2(p), ce qui donne 3≡0(p)soit p = 3, ce qui impossible.