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D1920 – La saga de l’angle de 60° (3

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Academic year: 2022

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D1920 – La saga de l’angle de 60° (3ème épisode)

Problème proposé par Dominique Roux

Trouver tous les triangles scalènes dont l’un des angles vaut 60° et dont les dimensions des côtés sont des nombres entiers de centimètres, l’une d’elles étant égale à 2011 cm.

Solution proposée par Patrick Gordon

1. Si 2011 est la longueur d'un des côtés de l'angle de 60°, l'autre côté ayant pour longueur x et le troisième pour longueur y.

L'équation à résoudre en nombres entiers est :

x2 - y2 - 2011 x + 4 044 121 = 0

C'est une équation de Pell-Fermat, pour laquelle le site de Dario Alejandro Alpern donne les solutions non équilatérales et non dégénérées (x ou y = 0) suivantes :

x = 3 034 096 y = 3 033 091

x = 1 012 035 y = 1 011 031

2. Si 2011 est la longueur du côté opposé à l'angle de 60°, les deux autres côtés ayant pour longueurs x et y.

L'équation à résoudre en nombres entiers est :

x2 - xy + y2 – 4 044 121 = 0

C'est une équation de Pell-Fermat, pour laquelle le site de Dario Alejandro Alpern donne les solutions non équilatérales et non dégénérées (x ou y = 0) suivantes (à une symétrie x, y près):

x = 2301 y = 880 x = 2301 y = 1421

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