Problème proposé par Dominique Roux
Trouver tous les triangles scalènes dont l’un des angles vaut 60° et dont les dimensions des côtés sont des nombres entiers de centimètres, l’une d’elles étant égale à 2011 cm.
Soit le triangle ABC, avec l’angle A valant 60°, et les longueurs des cotés notées a, b, c. Alors a2=b2+c2-bc ; 2c=d+b avec d2=4a2-3b2 ; donc 4a2-d2=3b2 , ou encore (2a+d)(2a-d)=3b2 .
Si b=2011, qui est un nombre premier, il n’y a que trois possibilités pour la décomposition 2a+d, 2a-d, à savoir : 3b2, 1 ; b2, 3 ; 3b, b.
Soit a=(3b2+1)/4, d=(3b2-1)/2, c=(3b2+2b-1)/4 : a=3033091, c=3034096 a=(b2+3)/4, d=(b2-3)/2, c=(b2+2b-3)/4 : a=1011031, c=1012035
et a=b=c (le triangle est équilatéral).
Si a=2011, b et c étant l’un plus grand l’autre plus petit que a, il suffit de
chercher pour b>a, soit puisque d2=4a2-3b2, a<b<2a/√3 , soit 2011<b≤2322 : la seule solution est b=2301, soit d=541 et c=b±d=1421 ou 880.
Ce qui fait 4 solutions autres que le triangle équilatéral (le premier coté étant celui vu sous un angle de 60°) : 3033091, 2011, 3034096 ; 1011031, 2011, 1012035 ; 2011, 2301, 1421 et 2011, 2301, 880.
